¿ Quants divisors té un determinat nombre natural ? ( artículo escrito en catalán )

Sovint, els alumnes de 1r es deixen divisors quan se'ls demana que, donat un nombre natural, trobin tots els nombres que el divideixen amb reste zero. Una manera d'evitar això és ensenyar-los a fer ús d'un diagrama d'arbre per tal que facin una cerca sistemàtica (vegeu l'exemple de la figura 1). Una vegada més es demostra aquí l'eficàcia en l'ús didàctic dels diagrames que, per altra banda, convida l'alumne a fer un exercici d'investigació i reflexió amb el treball elemental amb els nombres naturals.

Primer que tot, fan la descomposició factorial del nombre donat. Per exemple, donat el nombre natural 60, s'obté: 60 = 2² (3) (5). És força clar que els divisor de tres són, tres i u; els de 5, 1 i 5; i els de 2², 1, 2 i 4. Els productes de tots aquests divisors elementals entre ells, donaran tots els divisors de 60, sense que se'n descuidin cap.

A més a més, sense dibuixar-lo, hom pot fer un simple càlcul per saber quants divisors hi han abans de trobar-los: només caldrà multiplicar les multiplicitats de cada nivell: 3(2)(2) = 12 divisors. Això és especialment interessant en 1r curs d'ESO perquè els alumnes s'adonen de seguida dels principis del recompte, del princpio multiplicatiu i, per descomptat, també del principi de suma. $\square$

Consideremos cien bolas ordenadas en fila ...

ENUNCIADO:
Consideremos cien bolas ordenadas en fila, habiendo un hueco entre bola y bola.
a) ¿Cuántas bolas hay entre la quinta y la octava bola, ambas incluidas ? ¿ Cuántos huecos hay entre ellas?
b) ¿Cuántas bolas hay entre la undécima bola y la quincuagésimo séptima bola, ambas incluidas? ¿Cuántos huecos hay entre las dos bolas mencionadas?

SOLUCIÓN:
a) Entre la quinta y la sexta bolas, ambas incluidas, hay una bola intermedia ( la quinta bola, es decir $6-5=1$ bola entre las dos ), y, además, teniendo en cuenta las dos bolas de los extremos ( la quinta y la sexta ), contabilizamos un total de $(6-5)+2 = 1+2=3$ bolas. Pues bien, entre la quinta y la octava bolas ( ambas incluidas ) deberá haber $(8-5)+2=3+2=5$ bolas. Y, naturalmente, un hueco menos que el número de dichas bolas, es decir, $((8-5)+2)-1$ huecos, esto es, $5-1=4$ huecos.

b) Generalizando el procedimiento de recuento que hemos aplicado en el primer apartado: entre la $m$-ésima y la $n$-ésima bolas ( ambas incluidas, y siendo $m$ menor o igual que $n$ ) hay $(n-m)+2$ bolas y $((n-m)+2)-1$ huecos, esto es $(n-m)+1$ huecos, luego, particularizando entre la undécima y la quincuagésimo séptima bola hay $(57-11)+2=46+2=48$ bolas y $48-1=47$ huecos.

$\square$

Número de años que hay entre ...

ENUNCIADO:
a) Se sabe que Eratóstenes murió en el año $385$ a.C. y que Hypatia de Alejandría murió en en año $415$ d.C. ¿ Cuántos años, $n$, hay entre uno y otro evento ?
b) Albert Einstein nació en el año $1879$ y murió en el año $1955$. ¿ Cuántos años vivió ?
c) Euclides nació en el año $325$ a.C. y Pitágoras nació en el año $475$ a.C. ( Pitágoras nació en un siglo anterior al que nació Euclides ), ¿ Cuántos años hay entre estos dos eventos ?

SOLUCIÓN:
tengamos en cuenta que los años del calendario se ordenan de pasado a futuro de la siguiente forma:
... 3 a.C, 2 a.C., 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. ...Nota: Cuidado, el "año '0'" es, en nuestro calendario, el año 1 d.C.

Haciendo algunas pruebas con números sencillos para las años del evento inicial y del evento final, vemos que para hacer los cálculos que nos llevan a determinar el número de años, $n$, entre el evento del año inicial y el evento del año final, debemos proceder de la siguiente forma:
Sean $i$ y $f$ los años inicial y final, entonces:

1) Si $i$ y $f$ son años de nuestra era ( d.C. ), $n = f-i$
2) Si $i$ y $f$ son años de la era anterior ( a.C. ), $n = i-f$
3) Si $i$ es de la era anterior (a.C.) y $f$ es de nuestra era ( a.C. ), $n=(i+f)-1$


Observación sobre el caso (3): esto es así porqué, en nuestro calendario, no se utiliza el '0' para empezar a contar los años, sino que el primero año de nuestra era, se designa como año '1' ( 1 d.C.); de haber utilizado el '0' para el año inicial de nuestra era, la fórmula del computo de años sería $n=i+f$. Y, de haber utilizado números enteros negativos para los años anteriores al año inicial ( suponiendo que hubiese sido el año '0' ) y el año final ( un número entero positivo, la fórmula sería $n=f-i$, recordando que, en el caso que nos ocupa, sería $i \prec 0$ )

Procedemos ahora a dar la respuesta a las preguntas del enunciado:
a) Estamos en el caso (3), luego $n=(385+415)-1= 799$ años ( pasaron $799$ años entre el año de la muerte de Eratóstenes y el año de la muerte de Hypatia de Alejandría )
b) Estamos, ahora, en el caso (1), luego $n=1955-1879=76$ años ( Albert Einstein tenía $76$ años cuando murió )
c) Esto nos lleva al caso (2), por tanto $n=475-325 = 150$ años ( pasaron $150$ años entre el año del nacimiento de Pitágoras y el año del nacimiento de Euclides )

$\square$

[autoría]

Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante ... ¿ qué pasó con el euro que parece que falta ?

ENUNCIADO:
Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante. A la hora de pagar la cuenta, el camarero les dice que cuesta en total 30 euros, y esa cantidad es la que le pagan; sin embargo, al hablar con el compañero de caja, éste le informa que ese día el restaurante rebaja 5 euros a cada grupo de tres comensales y que, por tanto, en lugar de 30 euros les va a costar 25 euros, por lo que se le entregan cinco monedas de 1 euro para devolver esa cantidad ( 5 euros ) a los tres clientes. Sin embargo, como el camarero no dispone de monedas pequeñas, no puede repartir las cinco monedas en partes iguales entre los tres, de modo que los tres amigos deciden solventar la situación ofreciéndole 2 euros de propina al camarero, quedándose sólo 3 euros para ellos ( una moneda de 1 euro para cada uno de los tres ).

Sin embargo, al hacer cuentas sobre la solución adoptada, uno de los tres clientes se encuentra con una pega que no sabe cómo resolver y que es la siguiente:
si, cada uno hemos pagado 10 euros ( entre los tres, 30 euros ) y nos han devuelto 1 euro, a cada uno nos habrá costado la cena 9 euros; sin embargo, 9 por tres es 27, más los 2 euros que hemos dado de propina al camarero hace un total de 29 euros ... Entonces, ¿ qué ha pasado con el euro que falta para llegar a los 30 euros ( que en un principio habíamos entregado entre los tres ) ?


SOLUCIÓN:
La explicación al enigma se encuentra en el modo erróneo de hacer las cuentas del cliente que nos plantea el problema. La forma correcta de plantear la situación es la siguiente: Los 2 euros de propina no se deben contabilizar como parte del coste de la cena, que es de 25 euros sino que hay que contarlos como un añadido al gasto que supone el pago de la cuenta; así, entre los tres se han gastado 25 + 2 = 27 euros, cantidad que corresponde, precisamente, a los 9·3=27 euros que han pagado entre los tres. $\square$

[autoría]

Unidades de medida que deben saber manejar con eficacia . ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Àrea d'un triangle

Per què l'àrea d'un triangle es calcula multiplicant la longitud d'un dels seus costats per l'altura corresponent i dividint el resultat per dos ?.

Si us fixeu en la figura us adonareu del per què. L'àrea del triangle (1) és igual a la meitat de la del paral·lelogram (2) que obtenim traçant una paral·lela al costat AB que passi per C. Per altra banda, l'àrea de (2) és igual a l'àrea del rectangle (3) ja que escapcem la punta esquerra del paral·lelogram i l'empeguem a la dreta (l'àrea, evidentment, no canvia). Per tant, l'àrea del triangle de partida (1) ha de ser igual a la meitat de l'àrea del rectangle (3), amb la qual cosa podrem escriure:


$$\text{Àrea} \; = \; \dfrac{AB \cdot CP}{2}$$

Propietat d'invariància de l'àrea d'un triangle (donada una base):
Si reflexionem una mica més, del que hem dit se'n desprèn que si desplacem el punt $C$ damunt d'una recta paral·lela a la base $AB$ els triangles que anem obtenint tenen tots la mateixa àrea (observeu la figura de sota).

¿ Qué es una expresión algebraica ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Una expressió algèbrica consta d'un conjunt de lletres que anomenem variables (representen quantitats indeterminades) i també inclou nombres i operacions aritmètiques. Per exemple, 4x2y4-3xy2+2x+y+5 és una expressió algèbrica on x i y són les variables. La resolució algèbrica d'un problema consisteix precisament a determinar els valors que prenen aquestes variables per poder satisfer les condicions de l'enunciat del problema. Una expressió algèbrica pot estar formada per la suma de diverses "parts sumands" que anomenem termes. L'exemple anterior consta de 5 termes. Cada terme consta d'una part numèrica (coeficient) i una part literal (on intervenen símbols no numèrics o lletres que anomenem variables algèbriques [tot i que, a vegades, també poden ser paràmetres]); aquesta part literal pot constar de diversos factors multiplicats entre sí (quan intervé més d'una variable). Observació: En algunes expressions apareixen també altres símbols que, malgrat no representar cap variable, fan el paper de coeficients o bé d'exponents; aquests símbols s'anomenen paràmetres. Per exemple, l'expressió kx+2 és una expressió amb una sola variable (en el primer terme), el coeficient de la qual és el paràmetre k. No apareixeran, però, expressions amb paràmetres durant aquest curs. A l'exemple en negreta (on intervenen dues variables), el coeficient del primer terme és 4 i la seva part litaral és x2y4 que consta de dos factors: x2 i y4; el coeficient del segon és -3 i la seva part literal és xy2 que té dos factors: x i y2; el coeficient del tercer terme és 2 (i té només un factor, x, la part literal del terme); el coeficient del quart és 1, i la seva part literal és y. L'últim terme, 5, no té part literal i, per això, s'anomena terme independent. Un terme és de tipus polinòmic si la base de la potència és una variable i l'exponent un nombre. Observació: Hi ha expressions que tenen termes que no són de tipus polinòmic; per exemple un factor com ara 4x (que no apareix a l'exemple) és de tipus exponencial, no pas polinòmic. Aquest tipus d'expressions apareixeran en cursos venidors, però no durant l'actual. Si els termes són de tipus polinòmic es caracteritzen pel seu grau. El grau d'un factor polinòmic és el valor de l'exponent. Com que un terme pot constar de diversos factors, cada un, amb una variable diferent com a base de la potència, distingirem entre: a) grau absolut d'un terme: és igual a la suma dels exponents de les potències que, com a factors, constitueixen el terme b) grau relatiu (a una determinada variable) d'un terme: és igual al valor de l'exponent del factor que tingui com a base la variable seleccionada. Si, a més a més del coeficient, un terme consta d'un factor amb una sola variable (un sol factor literal), no cal parlar de grau relatiu del terme o grau absolut: el grau del terme és igual al valor de l'exponent de la potència del factor. Direm que dos termes són semblants si tenen la mateixa part literal. Per exemple, els termes 6x2 i 3x2 són semblant perquè tenen la mateixa part literal x2 . Naturalment, si dos termes són semblants es poden sumar; els termes als quals ens acabem de referir 6x2 i 3x2 es poden representar per un sol terme 9x2 que és igual a la suma de tots dos 6x2 + 3x2 .

[nota del autor]

¿ Qué es una igualdad algebraica ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Una igualtat algèbrica és una igualtat entre dues expressions algèbriques. Exemples d'igualtats algèbriques (equacions): a) 4x=3 b) x2=25 c) x+1=8 d) 5x-4=2x+3 e) x2 + 2x +1 = 0 L'expressió situada a l'esquerra de l'igual s'anomena primer membre; i la del costat dret, segon membre. En casos senzills com els dels tres exemples anteriors és fàcil deduir quin valor ha de prendre la variable perquè es compleixi la igualtat: a) si quatre vegades una quantitat (x) és igual a 3, aquesta quantitat ha de ser igual a la quarta part de 3, és a dir, x= 3/4 b) si el quadrat d'una indeterminada és igual a 25, només hi ha dos nombres que elevats al quadrat donen 25: 5 i -5, és a dir, x=5 o bé x=-5 c) si una quantitat indeterminada més una unitat és igual a 8, aquesta quantitat és igual, lògicament, a 8 menys una unitat: 7, és a dir, x=7 En altres casos, com ara els dos darrers exemples (d i e), ja no és immediat esbrinar el valor de la indeterminada: cal efectuar una sèries de passos per determinar-la. Un conjunt d'igualtats algèbriques amb vàries variables constitueixen un sistema d'equacions. Aprendrem a resoldre equacions polinòmiques de 1r i 2n grau i sistemes d'equacions polinòmiques senzills quan treballem els continguts dels temes 5 i 6. Per anar fent boca, però, avancem que la igualtat algèbrica donada es pot anar reduint a igualtats equivalents fins, per exemple, arribar a deduir quin és el valor que ha de prendre la variable (o indeterminada) [quan a l'equació només n'apareix només una]. A tall d'exemple descriurem a continuació els passos de resolució d'una equació molt sezilla. Exemple de resolució d'una equació senzilla: Donada l'equació 2x+1 = x +1, quan ha de valer x per tal que es complexi la igualtat ? Resolució: Tinguem en compte que, en bona lògica, si efectuem la mateixa operació a cada membre, s'obtindrà una igualtat equivalent. Comencem restant x a cada membre 2x-x+1=x-x+1 amb la qual cosa arribem a x+1=1 restant, ara, una unitat a cada membre x+1-1=1-1 ens quedarà la igualtat donada reduïda a l'expressió més simple x=0 la qual ens diu que la variable x ha de prendre el valor 0 per tal de satisfer la igualtat donada

[nota del autor]

¿ Qué es un sistema de ecuaciones ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Quan traduïm les frases de l'enunciat (literal) d'un problema, és possible que apareguin, de forma natural (quan fem la traducció de cada frase), vàries equacions, cada una amb vàries incògnites. El resultat de la traducció al llenguatge de l'àlgebra és, en aquest cas, un SISTEMA D'EQUACIONS. Exemple: Trobeu dos nombres naturals sabent que la seva suma és igual a 8, i el seu producte és igual a 12. Resolució: Podem escriure dos equacions de forma ben natural:               a+b=8               a·b = 12 Havent plantejat el sistema, a continuació, el resoldríem, però d'això ja ens en ocuparem al llarg del proper tema.

[nota del autor]

Otras forma de multiplicar números enteros. Método japonés de multiplicación por líneas.

Podemos multiplicar dos números enteros desarrollando cada factor en términos de potencias de diez, y así, hasta llegar al resultado final, tal como se muestra en el siguiente ejemplo
$14 \cdot 23 =$
  $= (1\cdot 10 +4 ) \cdot ( 2\cdot 10 +3 )$
    $= 2 \cdot 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 2 \cdot 10 + 3\cdot 1 \cdot 10 + 3 \cdot 4 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 12 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + ( 8 + 3 +1 ) \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 12 \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + ( 10+2 ) \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 1\cdot 10^2+ 2 \cdot 10 +2 $
    $= (2 + 1) \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 +2 $
    $= 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 +2 $
    $= 322$
Esto da lugar al llamado método japonés de multiplicación de números enteros o método de multiplicación por líneas, que puede verse en [ este vídeo ]
$\square$

Operaciones con años ... ( Artículo escrito en catalán )

Uns quants problemes senzills de manipulació de dates: Cas 1. Suposem que, a partir d'un cert any anterior a la nostra era transcorren una certa quantitat d'anys que fan que ens situem a un any de la nostra era. Per exemple "Des de l'any 1 aC, al cap de 2 anys, quin any serà ?" Es donen molts tipus d'errors quan els alumnes intenten resoldre un senzill problema com aquest; entre els menys greus cal remarcar que es limiten a fer la resta 2-1=1 i acaben contestant “ens trobarem a l'any 1 dC”, mentre que la resposta correcta correspon a l'any 2 dC; per comprovar-ho (o comptar-ho de forma segura), només cal pensar que en transcorre el primer any passem de l'any 1 aC a l'any 1 dC – l'any 0 no figura al nostre calendari – i, doncs, el segon transcorregut ens situa a l'any 2 dC. Dit això, podem fer una generalització de la resolució d'aquest cas concret; és a dir, en un cas semblant a l'exposat faríem el següent: any final dC = (nombre d'anys transcorreguts – any inicial aC )+1 Cas 2. És evident que si l'any d'inici és de la nostra era tan sols cal sumar el nombre d'anys transcorreguts per trobar l'any final; per exemple: si l'any d'inici és el 20 dC, al cap de 30 anys ens situem a l'any 20 dC +30 anys = any 50 dC. En un cas semblant a aquest, l'operació que cal fer és: any final dC = nombre d'anys transcorreguts + any inicial dC Cas 3. Si l'any d'inici és anterior a la nostra era i el nombre anys transcorreguts encara no ens situa a l'era present només cal fer la diferència entre l'any d'inici i el nombre d'anys transcorreguts; per exemple: si l'any d'inici és l'any 10 aC, al cap de 4 anys, ens situarem en l'any 6 aC, és a dir, només cal fer la resta (any 10 aC – 4 anys = any 6 aC). En un cas semblant: any final aC = any inicial aC - nombre d'anys transcorreguts

[nota del autor]

Calcular el área de la región coloreada ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu l'àrea acolorida de la figura

Resolució.
És força clar què cal fer: restar l'àrea del semicercle de radi igual a $10 \; \text{cm}$ de l'àrea del semicercle (buit), que té radi igual a la meitat de l'altre ( $5 \; \text{cm}$ )
$A=\dfrac{1}{2}\,\pi\,10^2-\dfrac{1}{2}\,\pi\,5^2$
que és igual a
$\dfrac{75}{2}\,\pi \; \text{cm}^2$
i, aproximant a les unitats
$A \approx 118 \; \text{cm}^2$
$\square$

[nota del autor]

Cómo evitar errores al realizar operaciones combinadas

Un problema de múltiplos con engranajes ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT
La Figura 1 mostra dues rodes dentades acoblades. A les 16:30:50, les dues marques grogues estan enfrontades. La roda petita gira a raó de 3 voltes per minut. A quina hora tornen a coincidir les marques grogues ?

SOLUCIÓ
Si comptem el nombre de dents de cada roda trobem que la petita en té 10 i la gran 28. El mínim comú múltiple d'aquests nombres de dents és 140. Vol dir això que per tornar a trobar-se les dues marques grogues caldrà que la roda petita faci 140:10 = 14 voltes, a la vegada qeu la gran en fa cinc (140:28= 5 voltes). Tenint en compte que la roda petita triga 1 minut a fer tres voltes, passaran 4 minuts i 19 segons (± 1s) (dividint 14:3 i aproximant a la primera xifra decimal). Les marques grogues tornaran a estar enfrontades a les 16:30:50+00:04:19 = 16:35:09 (± 1s)



font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif

Quina caixa es quina?

Enunciat Tres capses contenen boles de colors. En una de les capses hi han boles vermelles; en una altra hi han boles blaves; i en la tercera, boles blaves i boles vermelles, barrejades. Cada capsa té un embolcall que n'informa del contingut sense necessitat d'obrir la capsa: vermell per la capsa que conté boles vermelles; blau per la capsa que conté boles blaves; i verd per la capsa que conté boles blaves i vermelles. Un follet entremaliat ha canviat els embolcalls, de tal manera que cap capsa té el contingut que indica el color de l'embolcall. Per tant, no podem saber el contingut de les capses sense destapar-les per saber-ne el contingut real. Quin és el nombre mínim de capses que cal destapar per saber quin és el vertader contingut de cada una extraient únicament una bola de la capsa que destapem (sense mirar l'interior) ?     Resolució Com que sabem que cap dels embolcalls correspon al contingut de la capsa corresponent, destapant únicament la capsa que té l'etiqueta “mescla” i esbrinant el seu contingut real deduirem quin és el contingut de les altres dues, complint així el requeriment de l'enunciat. Vegem per què. Primer de tot, val a dir que a la capsa que té l'embolcall “mescla” no hi pot haver realment la mescla de boles vermelles i blaves, ja que així ho indica l'enunciat (l'embolcall de cada capsa és fals): necessàriament haurà de contenir només boles blaves o bé, únicament, boles vermelles. Extraiem, doncs, una sola bola i mirem el seu color (l'única observació que se'ns permet fer). Llavors, Si el color de la bola que traiem de la capsa amb l'embolcall “mescla” és blava, deduïm que la capsa amb l'embolcall “blaves” conté boles únicament boles “vermelles” i que la capsa amb l'embolcall “vermelles” contindrà boles blaves i vermelles, barrejades. Si el color de la bola que traiem de la capsa amb l'embolcall “mescla” és de color vermell , deduïm que la capsa amb l'embolcall “vermelles” conté únicament boles “blaves” i que la capsa amb l'embolcall “blaves” contindrà una barreja de boles blaves i de boles vermelles.

El problema de los calcetines ...

ENUNCIAT
En un calaix hi ha un gran nombre de mitjons tots iguals de tamany i textura, però la meitat són de color negre i l'altra meitat són de color vermell. A ulls clucs, agafem un grapat de mitjons. Quin és el nombre mínim de mitjons que cal agafar per estar segurs que ens podrem posar un mitjó del mateix color a cada peu ?

SOLUCIÓ
Ens adonem de seguida que treure dos mitjons és insuficient, perquè podem tenir la mala sort de treure'n un de cada color. Si n'agafem un més (és a dir, en total, tres) segur que almenys en tindrem dos del mateix color.

Suma de los ángulos de un triángulo

Per què la suma dels angles d'un triangle qualsevol és igual a 180º ?. Observeu la figura. Si tracem una recta paral·lela al costat $a$ que passi pel vèrtex $A$ trobem que els angles pintats de color rosa són iguals ja que el costat $c$ talla les dues rectes paral·leles amb el mateix angle; el mateix podem dir pel que fa als angles pintats de color blau. Per tant, al voltant del punt $A$, els tres angles del triangle (pintats amb els colors: verd, blau, i rosa) conformen un angle pla, és a dir, la suma de tots tres és igual a $180$º $\square$

Regla de los signos ( multiplicación y división )

El que als grans ens sembla tan evident no els ho sembla pas al menuts; el maneig de les quantitas negatives en operacions combinades i problemes els costa força. He preparat uns quants comentaris que poden ser d'interès a l'hora d'explicar coses referents al càlcul dels signes en la multiplicació de nombres enters.

En una caja hay caramelos

Enunciat
En una capsa hi ha entre 450 i 500 caramels. Si els posem en bosses de dos en sobra un; si les bosses són de tres, també en sobra un. I succeeix el mateix si fem bosses de quatre, de cinc i de sis. En qualsevol cas, el caramel que sobra, ens els cruspim. Quants caramels hi hauria a la capsa ?

Resolució
Si anomenem m al nombre de caramel de la capsa i n = m-1 al nombre de caramels que posem a les bosses (descomptem el que sobra) veiem que el nombre de caramels que van a les bosses, n, ha de ser múltiple comú de 2, de 3, de 4, i de 5. El múltiple comú més petit d'aquests (el mínim comú múltiple) és 60. Altres múltiples comuns més grans són 120, 180, ...,480, 540, etcètera, que obtenim multiplicant 60 per nombres naturals consecutius. De tots aquests (no acabaríem mai de comptar-los !) ens interessa el que és més gran que 450 i més petit que 400, és a dir 480. A les bosses hi aniran a parar, per tant, 480 caramels. Si afegim el que ha quedat – que m'acabo de menjar – són 481. Vet aquí el nombre de caramels que hi hauria a la capsa.

La comida del loro

En alguns problemes de repartiment de dues quantitats entre un cert nombre de parts on aquestes quantitats no s'acaben de repartir del tot (residus diferents de zero) es plantegen situacions interessants. Si ens donen com a dades els residus, les quantitats a repartir, i el nombre de parts amb què cal intentar fer el repartiment, resoldre'ls passa també per cercar divisors comuns en un primer pas i, tot seguit, acabar de gestionar el residu. Aquest n'és un exemple que hem comentat a classe. Enunciat Si dividim 4373 i 880 pipes entre un mateix nombre de lloros, els restes (residus) respectius dels repartiments són 8 i 7. Quants lloros hi ha sabent que són més d'una desena i menys d'una centena ? Resolució Anomem x al nombre de lloros, i q al nombre de pipes que queden per repartir (me les menjaré jo !). Pel teorema fonamental de la divisió tenim que 4373 = q.x + 8, la qual cosa vol dir que 4373-8, que és igual a 4365, és múltiple de x Semblantment, 880 = q.x + 7, la qual cosa vol dir que 800-7, que és igual a 873, també és múltiple de x Per tant, com que x ha de ser múltiple comú de 873 i de 4365. Cerquem doncs divisors comuns. Si descoposem els nombres en factors trobem que 4365 = 32.5.97, i 873 = 32.97. Els divisors de 873 són {1,3,9,97,291,873} Els divisors de 4365 són {1,3,5,9,15,45,97,291,485,873,1455,4365} Els divisor comuns de 873 i 4365 són {1,3,9,97,291,873} I, d'aquests, l'únic que és més gran que 10 i més petit que 100 és 97 Observació: No cal, de fet, trobar exhaustivament tots els divisors. A partir de la factorització de tots dos nombres (873=32.97; 4365=32.5.97) , i tenint en compte que el divisor comú que cerquem ha de tenir dues xifres, de seguida trobem que només es pot tractar del nombre 97 Per tant, vet aquí la solució, el nombre de lloros x és 97. Cada lloro es menjarà, doncs, (4365+873)/97 = 54 pipes. I jo em mejaré les 15 pipes (la suma dels dos restes) que han quedat sense repartir entre els lloros, el premi per resoldre el problema !.

En la fuente ...

ENUNCIAT
Jaume i Anna han anat a la font a omplir garrafes d'aigua. A la font hi ha dos dolls. El doll on omple en Jaume li permet omplir 4 garrafes en 16 minuts, mentre que el doll on omple Anna permet omplir 5 garrafes en 10 minuts. Tots dos comencen al mateix temps a omplir les garrafes. Quant de temps ha de passar per tal que omplin 20 garrafes ?

SOLUCIÓ
Mirem a quin ritme omplen garrafes tots dos a la vegada. Come que Jaume omple
a un ritme de 4/16 garrafes/minut (un quart de garrafa cada minut), i Anna omple 5/10 garrafes/minut (mitja garrafa per minut), entre tots dos omplen a un ritme de 1/4+1/2 =3/4 de garrafa cada minut; és a dir, en un temps (en minuts) igual 4/3 s'omple una garrafa (entre tots dos); per tant, per omplir 30 garrafes caldrà un temps igual a (4/3) minuts/garrafa x 30 garrafes = 40 minuts.
$\square$

Un cuento con números

Es pot troben en molts llibres el següent problema. És tot un clàssic. I, certament, la solució, per enginyosa, us deixarà àmb una agradable sensació de sorpresa.

ENUNCIAT
En un llogarret, fa molts anys, vivia un home vell que tenia tres fills. Tenia disset camells i, va voler cedir-los als seus tres fills. Per això, va decidir repartir-los de la manera següent: al fill gran li va cedir va cedir la meitat del grup de camells; al fill mitjà, una tercera part. I, al fill petit, una novena part. La pregunta és: com podria fer efectiu el repartiment ?

SOLUCIÓ
Els fills, de seguida s'adonen que hi ha alguna cosa curiosa en la disposició del seu pare. Així, la meitat de disset no és pas un nombre enter, tampoc ho és la tercera part de disset i, evidentment, tampoc l'és la novena part de disset. No té sentit parlar de fraccions de camell. I el seu pare mai voldria sacrificar els seus estimats camells per repartir-los com a aliment ! Així, doncs, segur que el seu savi pare ho havia fet per alguna raó, van pensar. Per què ?

    - Bé, adoneu-vos – va dir un d'ells – que si sumem les parts no obtenim pas el total de l'herència: 1/2+1/3+1/9 = 17/18. Falta una part entre divuit !. Ben segur que en aquest fet calia cercar la clau de volta per entendre la decisió del seu pare.

    Ja sé que voleu fer ! - va exclamar un altre – ja ho entenc. Mireu, si enlloc de disset camells en tingués divuit, ja no passaria això tan estrany, perquè les parts proporcionals a 1/2, 1/3 i 1/9, donen nombres enters: 9, 6, i 2, respectivament.

    - Bé, però, no teniu pas divuit camells, sino disset, pare.

    - Sí, pero fixeu-vos que la suma de 9, 6 i 2 dóna exactament el nombre de camells que us cediré, ni més ni menys: 9+6+2 = 17.

    - Però i el divuitè camell ? D'on surt, pare ? - va exclamar el més gran -. Ja ens adonem que és necessari per fer el repartiment, però no el teniu pas !

    - Oh ! Això no representa cap problema. Puc demanar al vostre oncle que em deixi un camell en préstec just abans de fer constar els meus béns que, passaran llavors a ser de 18 camells. No més necessito el camell en préstec per fer repartiment. Després d'haver-vos cedit els camells, li tornaré immediatament el camell que em sobrarà, perquè recordeu que us en cedeixo disset, i en total rebreu disset camells, 9=18/2 per al més gran de vosaltres, 6=18/3 per al mitjà, i 2=18/9 per al fill petit, que, en total, són disset, ni més ni menys. Jo em quedaré amb el divuitè camell, però, tot seguit, el tornaré al vostre oncle. Vet aquí la solució.
$\square$

Un autobus y sus pasajeros

ENUNCIADO
Dos personas viajan en un autobús (el conductor y un pasajero). A partir de la segunda parada, así como en cada una de las siguientes, se baja un pasajero y suben dos. ¿Cuántas personas viajan en el autobús entre la décima y la undécima parada?

SOLUCIÓN
Entre la primera y la segunda parada, viajan dos personas en el autobús; entre la segunda y la tercera, viajan tres personas; entre la tercera y la cuarta, viajan cuatro personas. De todo ello se desprende una clara regularidad: entre la décima y la undécima viajan once personas en el autobús. Y, en general, entre la $n$-ésima parada y la $(n+1)$-ésima parada, viajan $n+1$ personas en el autobús.
$\square$

Expresiones algebraicas. Operaciones básicas y propiedades

Com que els símbols no numèrics de les expressions algèbriques no deixen de ser representacions de nombres, podem operar els termes literals fent ús de les mateixes propietats dels nombres reals que ja coneixem. Així, per exemple, sovint farem ús de la propietat commutativa (per a la suma i per a la multiplicació): x+y = y+x, i x·y = y·x; també de la propietat associativa (també per a totes dues): x+(y+z)=(x+y)+z, i x·(y·z)=(x·y)·z; i, en especial, de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma: x(y+z)=x·y+x·z. La propietat distributiva ens serveix per traure factor comú d'una expressió, x·y+x·z-->x(y+z), o bé, a l'inversa, per expandir una expressió factoritzada d'antuvi d'aquesta manera: x(y+z)-->x·y+x·z No cal dir que les propietats de les potències també són vàlides amb símbols. Per exemple, xn·xm=xn+m (on n i m poden ser nombres positius, negatius, o fins també representar el nombre zero [Recordeu que x0=1, sempre i quan x sigui diferent de zero] Aquest curs només apareixeran expressions algèbriques de tipus polinòmic [Recordeu que el curs passat ja vareu veure estudiar una mica]. Els polinomis es poden sumar, multiplicar per nombres, i també es poden dividir; no obstant, no apareixeran divisions en aquest curs. A continuació podeu veure alguns exemples d'operacions amb expressions algèbriques de tipus polinòmic i amb una sola variable (o indeterminada): Exemple 1. Sumeu les expressions x+5 i 3x-7. Simplement cal escriure x+5 + 3x -7 i sumar els termes semblants; així obtindrem x+3x + 5-7 = 4x -2 Exemple 2. Multipliqueu les expressions x+5 i 3x-7. Cal calcular el resultat de l'operació (x+5)·(3x -7); per això (fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma) ens queda: x·3x +5·3x-7x-35, és a dir, 3x2 +15x -7x -35. Finalment, sumant els termes semblants i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, trobem com a resultat 3x2 + 8x -35. Exemple 3. Extraieu factor comú (factoritzeu) l'expressió x+3x2 Observem que els dos termes de l'expressió no són semblants, per tant, no els podem sumar, no obstant, podem escriure l'expressió com un producte de dos termes. Vegem-ho: com que x2=x·x, tenim que x+3x2 = x+3x·x i fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma queda x(1+3x)

Ejercicios varios de proporcionalidad

1. Volem comprar un article valorat en 12,50 € . Com que és època de rebaixes, ens fan un descompte del 5%. Quina quantitat haurem de pagar ?

Anomenem $x$ a la quantitat que cal pagar i plategem la següent proporció, interpretant el significat del tant per cent donat

$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{12,50}$

i d'aquí, aïllem la incògnita

$x=\dfrac{95 \cdot 12,50}{100} \approx 11,88 \, \text{euros}$
$\square$

2. Quant val la raó aritmètica entre la longitud $L$ de la circumferència i el seu diàmetre $D$ ?

$\dfrac{L}{D}=3,14159 \ldots \; = \pi$

$\square$

3. Si comprem $1650$ g d'una substància i ens costa $12,50 \, \text{euros}$, quant val la raó aritmètica entre el cost i la quàntitat que comprem (o venem) ? Quin nom se li dóna al comerç a aquesta raó aritmètic ?

La raó aritmètica a la que es refereix l'enunciat s'anomena preu de la substància que comprem/venem; en el cas concret de l'enunciat el preu té el següent valor:

$\text{preu=}\; \dfrac{12,50}{1650} \; \dfrac{\text{euros}}{\text{g}} \approx 0,008 \; \dfrac{\text{euros}}{\text{g}}$

$\square$

4. Apliqueu, ara, el concepte de proporció per resoldre la següent qüestió, relacionada amb el que s'ha dit a l'enunciat de l'exercici anterior: quant costarà una quantitat de $3450 \; \text{g}$ d'aquella substància ?

Anomenem $x$ al cost d'aquesta quantitat i plantegem la següent proporció

$\dfrac{12,50}{1650}=\dfrac{x}{3450}$

d'on, aïllant la incògnita $x$, trobem

$x=\dfrac{3450 \cdot 12,50}{1650} \approx 26,14 \, \text{euros}$

$\square$

5. Calculeu el valor de $x$ en la següent proporció
$\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{10}$

Si
$\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{10}$
s'haurà de complir que
$3 \cdot 10 = 15 \, x$
i d'aquí
$x=\dfrac{3 \cdot 10 }{15}$
que, naturalment, és igual a $2$
$\square$

6. Un article que hem comprat ens ha costat $45,00 \, \text{\euro}$ (impost de l'I.V.A., del 18%, inclòs). Quant ens costaria si no s'hagués de pagar l'impost ?

Interpretant el tant per cent de l'I.V.A. donat, podem plantejar la proporció, tenint en compte que el que se'ns demana és el preu nominal de l'article $x$:

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$

Aïllant $x$ trobem

$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118} \approx 38,14 \, \text{euros}$
$\square$

7. Un article que hem comprat a les rebaixes (tots els articles estaven rebaixats un 5%) ens ha costat $15,20 \, \text{\euro}$ (I.V.A. inclòs). Quant costava aquest article abans de les rebaixes ?

Interpretant el tant per cent del descompte, podem plantejar la proporció

$\dfrac{100}{100-5}=\dfrac{x}{15,20}$

on $x$ representa el que se'ns demana: el preu nominal de l'article

Aïllant $x$ trobem

$x=\dfrac{15,20 \cdot 100}{95} = 16,00 \, \text{euros}$
$\square$

Ejercicios varios

1. El preu d'un producte es de $40,00 \; \text{euro}$. Afegint al preu nominal l'I.V.A. del $18$%, quina quantitat haurem de pagar ?

Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar. Plantejant la proporció corresponent podem escriure
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{40,00}$
i aïllant $x$
$x=\dfrac{40,00 \cdot 118}{103} \approx 45,60 \, \text{euro}$
$\square$

2. Quant val el tant per cent que correspon a:
a) trenta unitats d'un total de trenta-dues
b) tres d ecimes d'un total de quatre unitats
c) vint unitats d'un total de

Anomenem $t$ al tant per cent

a)
Plantegem la proporció:
$\dfrac{30}{32}=\dfrac{t}{100}$
i d'aquí
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{32}$
i aproximant
$t \approx 93,8$%

b)
Plantejant la proporció:
$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
i d'aquí
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4}$
llavors,
$t = 7,5$%

c)
Plantejant la proporció:
$\dfrac{20}{1000}=\dfrac{t}{100}$
i d'aquí
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1000}$
és a dir
$t = 2$%
$\square$

3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagar 12,10 € . Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?

Anomenem $x$ al preu nominal (que volem calcular) i plantejant la proporció:
$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{12,10}$
i d'aquí
$x=\dfrac{12,10 \cdot 100}{94}$
i aproximant
$x \approx 12,87$ €
$\square$

4. Si ens fan un descompte del 5% en la venda d'un article que té un preu nominal de 30,00 €, quant pagarem ?

Anomenem $p$ a la quantitat que haurem de pagar i plantejant la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{p}{30,00}$
i d'aquí
$p=\dfrac{30,00 \cdot 95}{100}$
i, per tant,
$p = 28,50$ €
$\square$

5. L'import de la factura de compra d'un determinat article, amb un I.V.A. del 18 % incl òs, es de 32,00 €. Quin es el preu nominal de l'article ?

Anomenem $x$ a la quantitat demanada, que calcularem plantejant la proporció:
$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{32,00}$
i d'aquí
$x=\dfrac{30,00 \cdot 100}{118}$
d'on trobem que
$x \approx 27,12$ €
$\square$

6. Hem comprat un article que t é un preu de 120,00 €. Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 10 %, per ò, per altra banda, cal pagar també un 18$ d'I.V.A. Quant ens costarà ?

Cal calcular el descompte, i afegir l'impost de l'I.V.A., sense que importi l'ordre que seguim per fer aquestes dues operacions (tal i com ja hem justificat a classe).

Anomenem $x$ a la quantitat que resulta d'aplicar el descompte al preu nominal i plantegem la corresponent proporció:
$\dfrac{100-10}{100}=\dfrac{x}{120,00}$
i d'aquí trobem
$x=\dfrac{90 \cdot 120}{100}$
d'on, fent el càlcul trobem
$x = 108,00$ €

A continuació, plategem la proporció que ens permetrà calcular la quantitat $p$ que caldrà pagar havent inclòs l'impost de l'I.V.A.; per això, partint del resultat anterior, escriurem:

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{p}{108,00}$
i d'aquí trobem que
$p=\dfrac{118 \cdot 108,00}{100}$
d'on, fent el càlcul,
$x = 127,44$ €
$\square$

Determinar el valor de los ángulos interiores de un polígono regular ...

ENUNCIADO:
¿ Cuál es el valor de cada uno de los ángulos interiores de un pentágono regular ?

SOLUCIÓN:

Una interesante fórmula que se deduce al recorrer el perímetro de un polígono regular de $n$ lados es la siguiente $$\hat{Y}=180^{\circ}\,(n-2)$$
donde $\hat{Y}$ denota el valor de cada uno de los $n$ ángulos interiores del polígono.

En efecto, sumando los ángulos de giro realizados cada vez que pasamos de un vértice a otro hasta terminar el recorrido cerrado ( volviendo al mismo vértice y orientándonos de la misma forma que al inicio del recorrido ), observemos que dicho valor es igual a un ángulo completo; esto es, $360^{\circ}$. Por lo tanto, cada uno de los $n$ giros exteriores ( que denotamos por $\hat{X}$ ) debe ser igual a $360^{\circ}/n$; y como el ángulo exterior y el ángulo interior son suplementarios, deducimos que el ángulo interior es igual a $180^{\circ}-360^{\circ}/n$, es decir, $180^{\circ} ( n-2)/n$. Teniendo en cuenta, ahora, que el número total de giros es $n$, deducimos que la suma de los ángulos interiores es $n\cdot \left( 180^{\circ} ( n-2)/n \right) = 180^{\circ}\,(n-2)$, que es la expresión que queríamos justificar.

En el caso particular de un pentágono, $n=5$, encontramos que el valor de la suma de los cinco ángulos interiores es de $180^{\circ}\,(5-2)=180^{\circ}\cdot 3 = 540^{\circ}$, luego $\hat{X}=540^{\circ}/5=108^{\circ}$
$\square$

Calcular mentalmente ...

Enunciado:
Utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, diseñar una estrategia de cálculo mental para realizar la siguiente operación:
                                                $29 \times 26$

Solución:
El objetivo es no abusar de la memoria temporal ( poco precisa ); una estrategia válida sería la siguiente ( si bien hay otras igualmente válidas ):

          $29 \times 26 = \ldots $
              $=29 \times ( 25 + 1)$
              $=29 \times 25 + 29 \times 1$
              $=29 \times 100 \div 4 + 29 $
              $=2900 \div 4 + 29 $
              $=1450 \div 2 + 30 -1$
              $= 725 + 30 -1$
              $= 755 - 1$
              $= 754$
$\square$

Queremos embaldosar el suelo de una habitación rectangular ...

ENUNCIADO:
Queremos embaldosar el suelo de una habitación rectangular, de $24$ decímetros por $36$ decímetros, con baldosas cuadradas. ¿ Qué longitud debe tener el lado de dichas baldosas si deseamos que no quede ningún resquicio y que el número de las mismas sea el menor posible ? ¿ Cuántas baldosas necesitamos ?.

SOLUCIÓN:
El lado de cada baldosa ha de ser el mayor divisor común de las longitudes de sendos lados del suelo de la habitación, esto es, al máximo común divisor de $36$ y $24$, que es $12$. Las baldosas cuadradas deben medir, por tanto, $12$ dm de lado. Y el número de las mismas que se precisa es igual al número de veces que el lado de una baldosa está contenido a lo largo de uno de los lados del suelo de la habitación por el número de las mismas que el otro lado contiene; es decir, $\dfrac{36}{12} \cdot \dfrac{24}{12}= 3 \cdot 2 = 6$ baldosas. $\square$

Una bolsa de un determinado tipo de fruta cuesta ...

ENUNCIADO:
Una bolsa de un determinado tipo de fruta cuesta $6$ euros. Otra bolsa que contiene el mismo tipo de fruta, pero con dos kilogramos más que el contenido de la primera bolsa, cuesta $10$ euros. ¿Cuántos kilogramos de fruta contienen cada una de las dos bolsas? ¿Cuánto cuesta un kilogramo de dicho tipo de fruta?

SOLUCIÓN:
Denotando por $x$ al contenido ( en kilogramos ) de la primera bolsa, la segunda contendrá $x+2$ kilogramos; y como $\dfrac{x}{6}$ es el precio por kilogramo de fruta de la primera bolsa, que tiene el mismo valor que el de la segunda bolsa, $\dfrac{x+2}{10}$, podemos escribir la proporción $$\dfrac{x}{6}=\dfrac{x+2}{10}$$
Reduciendo a común denominador,
$$10x=6x+12$$
y despejando la incógnita ( contenido en kilogramos de la primera bolsa ),
$$x=3\,\text{kg}$$
luego la segunda bolsa contiene
$$x=3+2=5\,\text{kg}$$
El precio por kilogramo es, pues,
$$\dfrac{6}{3}=\dfrac{10}{5}=2\,\dfrac{\text{euros}}{\text{kg}}$$
$\square$

Queremos repartir por igual $213$ cromos entre $13$ amigos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Hom vol distribuir $213$ cromos entre $13$ amics, de tal manera que a cada u li toqui el mateix nombre de cromos. Quants cromos correspon a cada un dels onze amics? Quants cromos es queden sense poder repartir? (Feu ús de la calculadora científica bàsica).

Solució:
És evident que cal dividir $213$ entre $13$; ajudant-nos de la calculadora fem
          $213 \div 13 $
i obtenim
          $16,384615\ldots$

El fet que aquest quocient tingui una part decimal no nul·la indica que $213$ no és múltiple de $13$; és a dir, el residu (reste) de la divisió és diferent de zero.

A cada un, doncs, li correspon $16$ cromos (trunquem la quantitat decimal que apareix a la pantalla de la calculadora i negligim la part decimal).

Pel que fa al nombre demanat de cromos que no podem repartir l'obtenim fent ús de la propietat fonamental de la divisió entera (teorema fonamental de la divisió entera):

si anomenem $D$ al dividend, $d$ al divisor, $q$ al quocient, i $r$ al residu, ( $ r \le d$ ) llavors,

    $\left.\begin{matrix}\text{quocient}\big(D \div d \big)=q\\\\\text{reste}\big(D \div q\big)=r \end{matrix}\right\} \;\Leftrightarrow\; D=d\cdot q+r $

      Observació: és evident que no tindria sentit trencar els cromos que resten (residu) en un nombre de trossos iguals, múltiple de tretze, i repartir-los, car aquests trossos no tindrien cap utilitat.

Per tant, si $D=213$, $d=13$, i $q=16$, s'ha de complir
          $213=13 \cdot 16+r$
és a dir
          $213=208+r$
per tant
          $r=213-208$
              $=5$
Queden, per tant, $5$ cromos per repartir

$\square$

Determinar la mediana del siguiente conjunto de valores de una variable estadística

Enunciado:
Calcular la mediana del siguiente conjunto de valores de una cierta variable estadística $X$:
    $\{2,4,1,3,1,3,3,4,2,3,4,5,3,2,4,1,3,1,3,3,4,2,3,4,5,3,2,4,1,3\}$

Solución:
La mediana, $M$, es uno de los parámetros estadísticos de posición, que indica el valor representativo que corresponden al centre de la lista ordenada:
    $\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5\}$
y, es evidente que, en este caso, en el centro de la lista figura un tres, luego la mediana es $3$. $\square$

Proporciones. Equivalencia entre dos razones aritméticas

Enunciat:
Demostreu la següent propietat,

  Donades les raons aritmètiques
    $\dfrac{a}{b}$
i
    $\dfrac{c}{d}$
on
      $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

llavors,

la proporció (equivalència de les dues raons)

    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

es compleix si i només si

    $a\cdot d = b\cdot c$

Solució:

a) Demostrem que
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow a\cdot d = b\cdot c$
Partim, doncs, de
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Mulitplicant ambdós membres de la igualtat per $d\cdot b$, obtenim
    $d\cdot b \cdot \dfrac{a}{b}=d\cdot b \cdot \dfrac{c}{d}$
ens queda
    $\dfrac{d\cdot b \cdot a}{b}=\dfrac{d\cdot b \cdot c}{d}$
és a dir
    $a \cdot d \cdot \dfrac{b}{b}=b \cdot c \cdot \dfrac{d}{d}$
i simplificant
    $a \cdot d = b \cdot c$

b) A continuació farem la demostració del recíproc:
    $a\cdot d = b\cdot c \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} $
Multiplicant ambdós membres de la igualtat per
    $\dfrac{1}{b \cdot d}$
ens queda
    $a\cdot d \cdot \dfrac{1}{b \cdot d} = b\cdot c \cdot \dfrac{1}{b \cdot d}$
que és igual a
    $\dfrac{a\cdot d }{b \cdot d} =\dfrac{b\cdot c}{b \cdot d}$
i, simplificant,
    $\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d}$

$\blacksquare$

Aplicació:   Comprovació d'una proporció

Les raons arimètiques
$\dfrac{1,5}{0,3}$
i
$\dfrac{10,5}{2,1}$
guarden proporció
    $\dfrac{1,5}{0,3} =\dfrac{10,5}{2,1}$

perquè
    $1,5 \cdot 2,1$
        $=3,15$
té el mateix valor que
    $0,3 \cdot 10,5$
        $=3,15$

Justificar la siguiente propiedad ...

Enunciado:

Justificar que $a^0=1$ ( $a \ne 0$ ), utilizando las propiedades básicas de las potencias de exponente natural.

Solución:

Es evidente que
$1=a^{m} \div a^{m} $ ( on $m \in \mathbb{N}$ )
y, por la propiedad del cociente de potencias de la misma base,
$a^{n} \div a^{p} = a^{n-p}$ ( $ n \ge p$ )
podemos escribir,
$1=a^{m} \div a^{m} = a^{m-m}=a^0$
$\square$

Diseñar una estrategia de cálculo mental ...

Enunciado:
Diseñar una estrategia de cálculo mental para efectuar la siguiente división:
                                                $29 / 5$

Solución:
Nos proponemos no forzar nuestra "memoria temporal" de cálculo ( poco persistente, entre operación y operación ); por ello, una estrategia muy válida es, por ejemplo, la siguiente:

          $29 / 5 = \ldots $
              $=29 \cdot \dfrac{1}{5}$
              $=\big(25 + 4\big)\cdot \dfrac{1}{5}$
              $=\dfrac{25}{5}+\dfrac{4}{5}$
              $=5+0,8$
              $=4,8$

$\square$

Expresar el número 346,027 en formal literal y como suma de términos potenciales

Enunciat:
Donat el nombre $346,027$, expresseu-lo en formal literal, donant a entendre el valor posicional de les xifres. Finalment, descomponeu-lo com una suma de termes, d'acord amb el valor posicional de cada xifra.

Solució:
    $346$ representa la següent quantitat: [tres centenes, quatre desenes, sis unitats, dues centèsimes, i set mil·lèsimes]

I, donat que
  una centena s'expressa de la forma
        $100=10^2$
  una desena $=10$
  una unitat $= 1$
  una dècima s'expressa de la forma
      $\dfrac{1}{10^3}=10^{-1}$
  una centèsima es pot posar de la forma
      $\dfrac{1}{10^2}=10^{-2}$
  i una mil·lèsima és igual a
      $\dfrac{1}{10^3}=10^{-3}$

podrem escriure la quantitat donada
    $346,027$
de la forma
    $3\cdot 10^2+4\cdot 10^1+6\cdot 10^2+0\cdot 10^{-1}+2\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}$
és a dir
    $346,027=3\cdot 10^2+4\cdot 10^1+6\cdot 10^2+2\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}$

$\square$

Expresar los siguientes números de forma literal

Enunciat:
Expresseu les següents quantitats en forma literal (feu-ho de vàries maneres equivalents):
  a) $45,698$
  b) $12\,845,201$
  c) $1\,901\,872,1945$
  d) $0\,,021$

Resolució:

  a) $45,698$
      . quaranta-cinc unitats i sis-centes noranta-vuit mil·lèsimes
      . quatre desenes, cinc unitats, sis dècimes, i noranta-vuit centèsimes
     . quatre desenes, cinc unitats, sis dècimes, nou centèsimes, i vuit mil·lèsimes
...

  b) $12\,845,201$
      . dotze mil vuit-centes quaranta-cinc unitats i dues-centes una mil·lèsimes
      . dotze milers vuit-centes quaranta-cinc unitats dues dècimes i una mil·lèsima
      . cent vint-i-vuit mil quatre-centres cinquanta-dues dècimes i una mil·lèsima
...

  c) $1\,901\,872$
      . un milió nou-cents un mil vuit-cents setanta-dos
      . una unitat de milió, nou centenes de miler, una unitat de miler, vuit centenes, set desenes, i dues unitats
...

  d) $0\,,021$
      . vint-i-una mil·lèsimes
      . dues centèsimes i una mil·lèsima
...
$\square$

Considerar una cierta división euclídea

Enunciat:
Considereu una determinada divisió euclidiana (divisió amb nombres enters), els valors dels elements coneguts de la qual són: el dividend és $31$, el divisor és $-5$, i el residu és $1$. Quant val el quocient?

Solució:
Pel teorema de la divisió euclidiana (divisió entera),
    $D=d\cdot q +r$
i, d'aquí, es desprén que $D-r$ ha de ser múltiple de $d$. Llavors,
    $q=(31-1)\div (-5)$
        $=30\div (-5)$
        $=-6$
$\square$

Raíces cuadradas

Enunciat:
Trobeu tots els nombres enters positius més grans que $100$ i més petits que $200$, l'arrel quadrada dels quals sigui igual a un nombre enter positiu de dues xifres amb residu igual a $5$.

Solució:
Recordem que un nombre enter positiu $m$ és solució de l'arrel quadrada d'un nombre enter positiu $n$ ( $n \succ m$ ), amb residu $r$, si es compleix la següent condició
    $m^2+r=n$

Comencem la cerca dels nombres quadrats més grans que $100$ i més petits que $200$; per això, tan sols cal que provem les potències al quadrat dels nombres naturals de dues xifres:
            $11^2=121$
            $12^2=144$
            $13^2=169$
            $14^2=196$
            $15^2=225 \succ 200$
i, per tant, tenim que l'arrel quadrada d'aquests nombres quadrats és un nombre enter positiu amb reste igual a $0$; aquests nombres són els següents:
            $\left|\sqrt{121}\right|=11$
            $\left|\sqrt{144}\right|=12$
            $\left|\sqrt{169}\right|=13$
            $\left|\sqrt{196}\right|=14$

No obstant això, se'ns demana que el reste sigui igual a $5$ ( no pas igual a $0$ ); trobarem, per tant, aquests nombres sumant $5$ a cada un dels nombres quadrats:
            $121+5=126$
            $144+5=149$
            $169+5=174$
            $196+5=201 \succ 200$

Però, a més, se'ns demana que siguin més petits que $200$, amb la qual cosa el conjunt de nombres que compleixen les condicions de l'enunciat és:
    $\left\{126\;,\;149\;,\;174 \right\}$

$\square$

Encontrar los divisores del siguiente número entero

Enunciat:
Determineu tots els nombres enters que són divisors de $120$.

Solució:
    En un article anterior, es parlava de trobar el conjunt de divisors de $120$, entenent aquest com un nombre natural. Ara, però, considerarem el fet que és un nombre natural i ( el que és important quant a la pregunta que se'ns fa ) també un nombre enter (tot nombre natural és un nombre enter).

Recordem que varem trobar que els setze nombres naturals que són divisors de $120$ són
        $\text{div}(120)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$

Doncs, bé, ara tan sols cal afegir-hi els setze nombres negatius (que tenen el mateix valor absolut que els setze nombres naturals que ja havíem trobat ) per completar el conjunt de divisors enters del nombre enter $120$, que, en total, per tant, té $2 \cdot 16 = 32 \; \text{divisors}$ (entre els positius i els negatius ).

$\text{div}(120)=$
$\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,\pm 6,\pm 8,\pm 10,\pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm 60, \pm 120\}$
$\square$

Divisores de un número natural

Enunciat:
Considereu el nombre natural $120$. Determineu tots els seus divisors.

Solució:
Primer de tot, expressem el nombre donat com a producte de factors de base un nombre primer:
    $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$
A continuació, escriurem les llistes de divisors de $2^3$, de $3$, i de $5$:
    $\text{div}(2^3)=\{1,2,4,8\}$
    $\text{div}(3)=\{1,3\}$
    $\text{div}(5)=\{1,5\}$
Aquests mateixos divisors de cadascun dels factors són tambe divisors de $120$. N'hi ha més, però; en efecte, els nombres resultants de multiplicar cada element d'una de les tres llistes pels elements de les altres dues són també divisors de $120$. Vegem, tot seguit, quins nombres són aquests a partir de les taules de doble entrada que en faciliten la recerca sistemàtica:

Els setze nommbres resultants de la segona taula corresponen a tots els divisors de $120$:
        $\text{div}(120)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$
$\square$

Observació 1.1.:     Fem remarca que, en total, hi ha $16$ divisors del nombre natural $120$; això és així perquè ( recordem que $120=2^3 \cdot 3 \cdot 5$ ) si $2^3=8$ té quatre divisors ( $1$, $2$, $3$ i $4$ ), el factor $3$ en té dos ( $1$ i $3$ ), i el factor $5$ en té dos més ( $1$ i $5$ ), en multiplicar els divisors de cada factor pels divisors dels altres dos apareixen $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ divisors en total.

Observació 1.2.:     Es continua insistint, aquí, amb la manera de comptabilitzar el nombre de divisors amb què ens hem de trobar al final del procés. Concretament, ara, farem esment de com fer ús de les taules per deduir quants divisors haurem de trobar a partir dels exponents de de la factorització: com que l'exponent del factor de base $2$, és a dir, $2^3$, és $3$, ens hem d'adonar que d'aquest (factor) surten els quatre ( $3+1$ )divisors de $120$; l'exponent del factor $3=3^1$ és $1$ i, doncs, d'aquest en surten $1+1=2$ més; i, com que l'exponent del factor $5=5^1$ és també $1$, en té també dos més de divisors ( $1+1=2$ ). De la primera taula surten $(1+1)\cdot (1+1)=4$ ( que són tots els divisors de $3 \cdot 5$, és a dir, de $15$, que també són divisors de $120$ ). I, finalment, ja podem comptar el nombres de cel·les de la segona taula ( de la qual surten tots els divisors, ja que aquesta segona taula recull de manera natural els quatre divisors de $15$, a més a més dels de $15 \cdot 8$; en total són, per tant, $(3+1)(1+1)(1+1)=16$ divisors.

Observació 2:     El mateix que s'ha fet amb les taules es pot fer també fent ús d'un diagrama d'arbre.

Determinar el máximo común divisor de ...

Enunciat:
Determineu el màxim comú divisor de $12$ i $-14$

Solució:
A partir de la factorització de $12$, que és igual a $2^2\cdot 3$, trobem els divisors de $12$ són els següents nombres enters:
    $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}$
conjunt de nombres que podem posar ordenats en la següent llista
    $\text{div}(12)=\{ -1,-2,-3,-4,-6,-12,1,2,3,4,6,12\}$

A partir de la factorització de $-14$, que és igual a $(-2)\cdot 7=2\cdot (-7)$, trobem els divisors de $-14$ són els següents nombres enters:
    $\{\pm 1,\pm 2, \pm 7,\pm 14\}$
conjunt de nombres que podem posar ordenats en la següent llista
    $\text{div}(-14)=\{ -1,-2,-7,1,2,7,14\}$

Els divisors comuns de $12$ i $-14$ són
    $\{ -2,-1,1,2\}$
i el màxim d'aquest conjunt és
    $\text{m.c.d}(12,-14)=\text{màxim}\big(\{ -2,-1,1,2\}\big)=\pm 2$

$\square$

Consideremos un cierto número de bolas que queremos disponer en grupos de ocho ...

Enunciat:
    En Josep té un cert nombre de boles: entre $140$ i $150$ boles. Quan les posa en grups de vuit s'adona que li'n queda una sense poder agrupar; si les agrupa de nou en nou, també n'hi queda una sense agrupar; i, si les posa en grups de dotze succeeix el mateix. Exactament, quantes boles té?

Solució:
El nombre de boles ha de ser igual a un múltiple comú de $8$, $9$ i $12$ més una bola. El múltiple comú més petit és igual a $\text{m.c.m}(8,9,2)=2^3 \cdot 3^2=72$, que és un nombre més petit que $140$. Si el multipliquem per $2$ obtenim el múltiple comú consecutiu a $72$, que és $144$ ( quantitat compresa entre $140$ i $150$ ). Per tant, el nombre de boles que té en Josep és igual a $144+1=145$.
$\square$

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números enteros

Enunciat:
    Traballant amb nombres enters, calculeu:
      a) el mínim comú múltiple de $-2$ i $8$
      b) el màxim comú divisor de $-2$ i $8$

Solució:
  a)
    Tinguem en compte que, ara, estem treballant amb nombres enters. Les idees sobre els conceptes de múltiples i divisors s'hi estenen a partir dels nombres naturals. En aquest cas, però, que volem trobar el mínim comú múltiple de dos nombres enters un dels quals és negatiu, cal donar, com a resultat en tots dos casos, el múltiple comú més proper (als nombres enters donats). El múltiples de $-2$ y $8$ son, respectivament:
      $\dot{(-2)}=\dot{(2)}=\{\ldots,-10-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8\ldots\}$
      $\dot{(-8)}=\dot{(8)}=\{\ldots,-16,-8,0,8,16,\ldots\}$
d'on trobem que
      $\text{m.c.m}(-2,8)=\pm 8$

Observació 1: Si féssim servir l'algorisme dels factors, treballant amb nombres enters ( no només amb nombres naturals ), d'aquí cal entendre, per tant, que $$\text{m.c.m}(2,-8)=\text{m.c.m}(\left|-2\right|,8)=\pm 8$$
$\square$

  b)
    Per calcular el màxim comú divisor de $-2$ i $8$ ( que és el mateix que el de $8$ i $-2$ ) podem fer ús del mètode de les llistes (de divisors), és a dir, trobar tots els divisors de cada un dels dos nombres; i, a partir d'aquestes llistes, escriure la dels divisors comuns; i, finalment, mirar quin és el més gran (ara, en valor absolut). O bé, havent calculat ja el mínim comú múltiple, podem també fer ús de següent propietat ( que ja hem fet servir altres vegades ):
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
així,
        $\pm 8 \times \text{m.c.d}(-2, 8)=-2 \cdot 8$
és a dir
        $\pm 8 \times \text{m.c.d}(-2, 8)=-16$
per tant
        $\text{m.c.d}(-2, 8)=-16 \div (\pm 8)=\pm 2$

Observació 2: Si féssim servir l'algorisme dels factors, treballant amb nombres enters ( no només amb nombres naturals ), d'aquí cal entendre, per tant, que $$\text{m.c.d}(-2,8)=\text{m.c.d}(\left|-2\right|,8)=\pm 2$$
$\square$

máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de números enteros

Enunciado:
  Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números enteros: $12$, $-4$ i $18$.

Ayuda:
Utilizar las siguientes propiedades:
1.         $\text{m.c.m}(a,b,c)=\text{m.c.m}\big(\text{m.c.m}(a,b),c\big)$
                                $=\text{m.c.m}\big(a,\text{m.c.m}(b,c)\big)$

2.         $\text{m.c.d}(a,b,c)=\text{m.c.d}\big(\text{m.c.d}(a,b),c\big)$
                                $=\text{m.c.d}\big(a,\text{m.c.d}(b,c)\big)$

Solución:
        $\text{m.c.m}(12,-4,18)=\text{m.c.m}\big(\text{m.c.m}(12,\left|-4\right|),18\big)$
                                $=\text{m.c.m}(12,18)$
                                $=\pm 36$

        $\text{m.c.d}(12,-4,18)=\text{m.c.d}\big(\text{m.c.d}(12,\left|-4\right|),18\big)$
                                $=\text{m.c.d}(4,18)$
                                $=\pm 2$

Determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo ...

Enunciado:
    Calcular:
      a) el máximo común divisor de $-2$ i $-8$
      b) el mínimo común múltiplo de $-2$ i $8$

Solución:
  a)
Teniendo en cuenta que los divisores de sendos números son:
      $\text{div}(-2)=\{-2,-1,-1,2\}$
      $\text{div}(-8)=\{-8,-4,-2,-1,1,2,4,8\}$
vemos que
            $\text{m.c.d}(-2,-8)=\pm 2$

  b)
Y, por la siguiente propiedad,
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
obtenemos
        $\text{m.c.m}(-2,-8) = \big((-2)\cdot (-8)\big) \div \text{m.c.d}(-2,-8)$
                                        $= \big((-2)\cdot (-8)\big) \div (\pm 2)$
                                        $= 16 \div (\pm 2)$
                                        $= \pm 8$
$\square$

Encontrar cinco múltiplos ...

Enunciado:
¿Cuáles son los cinco primeros múltiplos de seis mayores que $-18$?

Solución:
Los múltiplos de $6$ mayores que un cierto número se obtienen sumando $6$ a dicho número, sucesivamente. Así, como $18$ es múltiplo de $6$, y se piden sólo cinco más, obtenemos:
    $-18+6=-12$
    $-12+6=-6$
    $-6+6=0$
    $0+6=6$
    $6+6=12$
Obtenim, doncs, el següent conjunt dels primers cinc múltiples consecutius de $-18$
      $\{-12,-6,0,6,12\}$
$\square$

Con 24 bolas, queremos formar grupos de bolas de modo que no quede ninguna sin agrupar

Enunciat:
  Disposem de $24$ boles i volem posar-les agrupades de tal manera que no en quedi cap sense agrupar. De quines grandàries (nombre de boles que posem a cada grup) podem fer els grups?

Solució:
  Podem fer els grups de $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ i $24$ boles, que són els divisors de $24$.
$\square$
Observació:     Si les agrupem de una en una, es formen 24 grups; si les agrupem de dos en dos, es formen $24 \div 2 = 12 $ grups; si les agrupem de tres en tres, tindrem $24 \div 3 = 8$ grups; $24 \div 4 = 6$ grups si les agrupem de quatre en quatre; tindrem $24 \div 6 =4$ grups si les ajuntem de sis en sis; i $24 \div 8=3$, si les posem de vuit en vuit; $24 \div 12 =2$, si les ordenem de dotze en dotze, i un sol grup si les posem totes juntes.

´

Justificación del criterio de divisibilidad por tres

Enunciat:     Justifiqueu el criteri de divisibilitat d'un nombre enter per $3$.

Solució:     Considerem, per exemple, un nombre enter de tres xifres, $abc$ (que escollirem positiu, per comoditat), i que desenvoluparem de la forma $100\,a+10\,b+c$. Tindrem en compte la següent propietat fonalmental: si $m$ i $n$ (nombres enters) són divisibles per $k$ ( enter menor o igual, en valor absolut, que $m$ i $n$ ), llavors $m+n$ també és divisible per $k$. Desenvolupant el nombre de tres xifres podem escriure'l de la forma $100\,a+10\,b+c$ que és igual a $(99+1)\,a+(9+1)\,b +c$ i que també podem posar de la forma $99\,a+9\,b+(a+b+c)$; llavors, com que els dos primers sumands són divisibles per tres (això és ben evident, ja que $99$ i $9$ ho son), i el tercer ho és si el valor de la suma $a+b+c$ és múltiple de $3$, el nombre donat ho serà si es compleix aquesta condició. Vet aquí, doncs, la regla que ens permet detectar fàcilment si un nombre és divisible per $3$: ho és si la suma de les seves xifres és un múltiple de tres.

Nota:   Amb un nombre enter arbitrari de xifres faríem exactament el mateix que el que aquí s'explic, a tall indicatiu, per a un nombre enter de tres xifres.

$\square$

Exemple:
  $76437$ és divisible per $3$ perquè la suma de les seves xifres $7+6+4+3+7$ ( que dóna $27$ ) és un múltiple de $3$

Sin efectuar la división ...

Enunciado:
Sin efectuar la división tal cual, demostrar que $845$ es múltiplo de $13$.

Solución:
    $845=8\cdot 10^2+4\cdot 10+5$
        $=8\cdot (13-3)^2+4\cdot (13-3)+5$
        $=8\cdot (13^2-2\cdot 3\cdot 13+9)+4\cdot 13- 4\cdot 3+5$
        $=8 \cdot 13^2 - 8\cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 + 8 \cdot 9 + 4\cdot 13 - 4 \cdot 3 +5$
        $=8 \cdot 13^2 - 8\cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 + 4\cdot 13 + 8 \cdot 9 - 4\cdot 3 +5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 8 \cdot 9 - 4\cdot 3 +5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 65$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 6\,(13-3)+5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6\big)\cdot 13 - 18 +5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6\big)\cdot 13 - 13$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6-1\big)\cdot 13 \Rightarrow 13 \quad \text{es divisor de} \quad 845$
con lo cual, queda demostrado que $845$ es múltiplo de ( es divisible por ) $13$.
$\square$

Justificación de la regla de divisibilidad por once

Enunciat:     Justifiqueu el criteri de divisibilitat per $11$ d'un nombre enter.

Solució:     Considerem, per exemple, un nombre enter de quatre xifres, $abcd$, que escriurem de la forma $1000\,a+100\,b+10\,c+d$. Tindrem en compte, com en els altres criteris de divisibilitat, la següent propietat fonamental: si $m$ i $n$ (nombres enters) són divisibles per $k$ ( enter menor o igual, en valor absolut, que $m$ i $n$ ), llavors $m+n$ també és divisible per $k$. El nombre de quatre xifres desenvolupat el podem escriure també de la forma $(1100-100)\,a+(110-10)\,b +(11-1)\,c+d$
que és igual a
$(1100\,a+110\,b+11\,c)-100\,a-10\,b-c+d$
és a dir
$(11\cdot 100\,a+11\cdot 10\,b+11\,c)-(100\,a+10\,b+c-d)$
llavors, com que els quatre termes del primer parèntesi són (clarament) divisibles per onze, si el valor del segon parèntesi, $100\,a+10\,b+c-d$, també l'és, per tant, el nombre donat $abcd$ també ho serà.

Vet aquí, doncs, una primera regla que ens permet detectar fàcilment si un nombre és divisible per onze: s'ha de complir que $100\,a+10\,b+c-d$ sigui un múltiple d'onze. Reduirem, ara, aquesta regla a una que encara més més manejable. Vegem-ho.

Aquesta condició que hem trobat per tal que $abcd$ sigui múltiple d'onze es pot tornar a aplicar a la mateixa quantitat que hem obtingut, atès que
$100\,a+10\,b+c-d$ es pot escriure de la forma $(110-10)\,a+(11-1)\,b+c-d$ que és igual a $(110\,a+11\,b)-(10\,a+b-c+d)$. Raonant de la mateixa manera, veiem que $10\,a+b-c+d$ ha de ser un múltiple d'onze i, tornant altre cop a fer el mateix, trobem que aquest darrer valor es pot escriure de la forma $(11-1)\,a+b-c+d$ que és igual a $(11\,a)-(a-b+c-d)$ i, al final, deduïm que, per tal que $abcd$ sigui divisible per onze ho ha de ser també el nombre que s'obté de $a-b+c-d$, amb la qual cosa clarifiquem una regla molt pràctica i ràpida per detectar si un nombre donat $abcd$ (de quatre xifes en aquest cas) és o no és divisible per onze.

Nota:   Amb un nombre arbitrari de xifres faríem exactament el mateix que el que aquí s'explica, a tall indicatiu, per a un nombre enter de quatre xifres; per exemple, $abcde$ és múltiple d'onze si $a+b-c+d-e$ és un múltiple d'onze (incloent el zero).
$\square$

Exemples:
a)   $1375$ és divisible per $11$ perquè $1-3+7-5$, que és igual a $0$, que és un múltiple trivial d'onze.
b)   $8290454$ no és divisible per $11$ perquè $-8+2-9+0-4+5-4$, que és igual a $-18$, no és divisible per $11$.

Propietat:     Tot nombre capicua que tingui un nombre parell de xifres és divisible per $11$ ja que el valor de l'expressió de la condició necessària donarà zero i, aquest, és un múltiple trivial d'onze.

        Exemple:     $23788732$ (un capicua de vuit xifres [ 8 és un nombre parell ]) és múltiple d'onze perquè es compleix la condició necessària ( $2-3+7-8+8-7+3-2$ és igual a $0$, que és múltiple trivial d'onze ).

    Observació:     Atenció, però: No pas tots els nombres capicues que tinguin un nombre senar de xifres són, necessàriament, divisibles per $11$.

        Exemples:     El nombre $121$ és un capicua de tres xifres i també és un múltiple d'onze perquè compleix la condició $-1+2-1=0$ que és múltiple trivial d'onze. Per contra $111$, que també és un capicua, però que, tenint un nombre senar de xifres, no compleix la condició necessària ( $-1+1-1$, que és igual a $-1$, no és múltiple d'onze ) per tant $111$ no és múltiple d'onze.

Nota:     Feu un cop d'ull a uns quants criteris/regles de divisibilitat més (divisibilitat per 7, per 13, ...) aquí.

Justificación del criterio de divisibilidad por cinco

Enunciat:     Justifiqueu el criteri de divisibilitat per $5$ d'un nombre enter.

Solució:     Considerem, per exemple, un nombre enter de tres xifres, $abc$ (que considerem positiu, per comoditat), i que desenvoluparem de la forma $100\,a+10\,b+c$. Tenint en compte que si $m$ i $n$ són divisibles per $k$, llavors $m+n$ també és divisible per $k$, veiem que, essent $100\,a$ i $10\,b$ clarament divisibles per $5$, llavors $100\,a+10\,b+c$ serà també divisible per $5$ si $c$ és divisible per $5$ i, per tant, la xifra $c$ només pot ser $0$ o bé $5$.
$\square$

Exemples:
a)  $17893678020945$ és divisible per $5$ perquè la última xifra és $5$
b)  $980527682940$ és divisible per $5$ perquè la última xifra és $0$

Calcular la operación combinada con fracciones .

Enunciat:
Efectueu, pas a pas, la següent operació amb fraccions
      $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{15}$

Solució:
Trobem, primer de tot, fraccions equivalents a les dels tres sumands que tingui el mateix denominador (reducció a comú denominador). El denominador comú cal que sigui un múltiple dels tres nombres enters; qualsevol valdria, però, per comoditat i simplicitat, prendrem el més petit dels múltiples comuns, és a dir, el mínim comú múltiple, $\text{m.c.m}(4,12,15)=60$

    $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3 \cdot (60 \div 4)}{60}=\dfrac{3\cdot 15}{60}=\dfrac{45}{60}$

    $\dfrac{1}{12}=\dfrac{1 \cdot (60 \div 12)}{60}=\dfrac{ 1 \cdot 5}{60}=\dfrac{5}{60}$

    $\dfrac{7}{15}=\dfrac{7 \cdot (60 \div 15)}{60}=\dfrac{ 7 \cdot 4}{60}=\dfrac{28}{60}$

Per tant, podem expressar l'operació
      $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{15}$
de la forma
      $\dfrac{45}{60}+\Big(\dfrac{-5}{60}\Big)+\dfrac{28}{60}$
i, com que els tres denominadors són iguals, podrem escriure-la així
      $\dfrac{45-5+28}{60}$
ara, operant els sumands del numerador, queda
      $\dfrac{68}{60}$
i, tenint en compte que $\text{m.c.d}(68,60)=4$, dividint numerador i denominador per aquest divisor comú podrem simplificar la fracció resultant, que és equivalent a
      $\dfrac{17}{15}$
Hem acabat.
$\square$

Calculos diversos con cantidades sexagesimales

Enunciado:
Calcúlese
    $4\cdot (\;6^{\circ}\;30^{'}\;40^{''}\;)$

Solución:
    $4\cdot (\;6^{\circ}\;30^{'}\;40^{''}\;)$
      $=24^{\circ}\;120^{'}\;160^{''}$
      $=24^{\circ}\;120^{'}\;(2\cdot 60 +40)^{''}$
      $=24^{\circ}\;(120+2)^{'}\;40^{''}$
      $=24^{\circ}\;122^{'}\;40^{''}$
      $=24^{\circ}\;(2\cdot 60+2)^{'}\;40^{''}$
      $=(24+2)^{\circ}\;2^{'}\;40^{''}$
      $=26^{\circ}\;2^{'}\;40^{''}$
$\square$

Calcular ...

Enunciado:
Calcúlese
    $5^{\circ}\;20^{'}\;30^{''}+7^{\circ}\;50^{'}\;55^{''}$

Solución:
    $5^{\circ}\;20^{'}\;30^{''}+7^{\circ}\;50^{'}\;55^{''}$
      $=12^{\circ}\;70^{'}\;85^{''}$
      $=12^{\circ}\;(70+1)^{'}\;(85-60)^{''}$
      $=12^{\circ}\;71^{'}\;25^{''}$
      $=(12+1)^{\circ}\;(71-60)^{'}\;25^{''}$
      $=13^{\circ}\;11^{'}\;25^{''}$
$\square$

Calcular la suma ...

Enunciado:
Calcúlese
    $4^{\circ}\;1^{'}\;3^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$

Solución:
    $4^{\circ}\;1^{'}\;3^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$
      $=4^{\circ}\;0^{'}\;63^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$
      $=3^{\circ}\;60^{'}\;63^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$
      $=(3-2)^{\circ}\;(60-5)^{'}\;(63-6)^{''}$
      $=1^{\circ}\;55^{'}\;57^{''}$
$\square$

Acotaciones

Enunciado:
Sin utilizar la división con decimales, acotar la fracción $-\frac{11}{3}$ entre los dos números enteros más próximos (por defecto y por exceso)

Solución:
El cociente de la división entera $11 \div 3$ es $3$; y el resto, $2$; por tanto,
      $\dfrac{11}{3}=3+\dfrac{2}{3} \Rightarrow -\dfrac{11}{3}=-3-\dfrac{2}{3} \Rightarrow -4 \prec \big(-3-\dfrac{2}{3}\big) \prec -3$
es decir
      $-4 \prec -\frac{11}{3} \prec -3$
$\square$

Resolver la ecuación ...

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación, detallando todos los pasos:   $4\,x-5=6+2\,x$

Solución:
  $4\,x-5=6+2\,x$
  $4\,x-5+5=6+2\,x+5$
  $4\,x+0=6+5+2\,x$
  $4\,x=11+2\,x$
  $4\,x-2\,x=11+2\,x-2\,x$
  $4\,x-2\,x=11+0\cdot x$
  $4\,x-2\,x=11+0$
  $4\,x-2\,x=11$
  $x\,(4-2)=11$
  $(4-2)\,x=11$
  $2\,x=11$
  $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 11$
  $\dfrac{2}{2}\cdot x=\dfrac{11}{2}$
  $1 \cdot x=\dfrac{11}{2}$
  $x=\dfrac{11}{2}$
$\square$

Expresar en el lenguaje natural la siguiente expresión algebraica ...

Enunciado:
Si $x$ representa una cierta cantidad, expresar en el lenguaje natural la siguiente expresión algebraica:
    $4\,\bigg(x^2-\dfrac{2}{3}\,x\bigg)$

Solución:
    El cuádruple de la diferencia del cuadrado de una cierta cantidad y dicha cantidad es igual a las dos terceras partes de ésta.
$\square$

Transcribir al lenguaje del álgebra

Enunciat:
Feu la transcripció del següent enunciat a una expressió algebraica:
    El triple de la diferència dels quadrats de dos nombres diferents

Solució:
Considerant dos nombres qualssevol $x,y \in \mathbb{R}$ tals que $x \neq y$ podem traduir l'enunciat a la següent expressió algebraica:
    $3\,\big(x^2-y^2)$
$\square$

Operar y simplificar

Enunciado:
Operar y simplificar:
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{32}{5}}$

Solución:
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{32}{5}}=4\cdot \dfrac{\;1\;}{\frac{32}{5}}=4 \cdot \text{invers}\big(\dfrac{32}{5}\big)=4\cdot \dfrac{5}{32}=\dfrac{4 \cdot 5}{32}= 5\cdot \dfrac{4}{32}=5\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}$

Nota:   También puede hacerse con alguna variación, como por ejemplo, ésta:
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{32}{5}}=4 \div \frac{32}{5}=4 \cdot \text{invers}\big(\dfrac{32}{5}\big)=4\cdot \dfrac{5}{32}=\ldots=\dfrac{5}{8}$

$\square$

Calcular el valor numérico ...

Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión algebraica
    $2\,m-3\,n$
pera $m=-7$ i $n=5$

Solución:
    $\big[2\,m-3\,n \big]_{m=-7,n=5}=2\cdot (-7)-3\cdot 5=-14-15=-29$
$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de $x$ ...

Enunciat:
Calculeu el valor de $x$ que compleix la següent condició:
    $\dfrac{x}{4}=\dfrac{5}{6}$

Solució:
Podem deixar sol el símbol $x$ ( incògnita de l'equació ) en el primer membre de la igualtat multiplicant ambdós membres per $4$
    $\dfrac{x}{4} \cdot 4=\dfrac{5}{6} \cdot 4$

    $x \cdot \dfrac{4}{4}=\dfrac{4 \cdot 5}{6}$

    $x \cdot 1=\dfrac{4}{6} \cdot 5$

    $x=\dfrac{2}{3} \cdot 5$

    $x=\dfrac{2 \cdot 5}{3}$

    $x=\dfrac{10}{3}=3,\bar{3}$

$\square$

División de la medida de un ángulo

Enunciat:
Calculeu:
    $(\;9^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}\;)\div 2$

Solució:
    $(\;9^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}\;)\div 2$
Comencem dividint el nombre de graus:
      $9^{\circ}\div 2 \rightarrow \text{quocient}(4^{\circ} \div 2)=4^{\circ} \quad \text{residu}(4^{\circ} \div 2)=1^{\circ}=60^{'}$
Llavors, afegint el nombre de minuts del residu de la divisió anterior al nombre de minuts de la quantitat original i dividint el resultat per $5$ trobem
      $(5^{'}+60^{'})\div 2 \rightarrow \text{quocient}(65^{'} \div 2)=37^{'} \quad \text{residu}(65^{'} \div 2)=1^{'}=60^{''}$
I, per acabar, afegim el nombre de segons del residu de la divisió anterior al nombre de segons de la quantitat original i, dividint el resultat, per $5$ trobem
      $(6^{''}+60^{''})\div 2 \rightarrow \text{quocient}(66^{''} \div 2)=33^{''} \quad \text{residu}(66^{''} \div 2)=0^{''}$
Per tant
    $(\;9^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}\;)\div 2 =4^{\circ}\;37^{'}\;33^{''}$
$\square$

¿Qué tipo de expresión decimal corresponde al número racional $\dfrac{2}{99}$ ?

Enunciat:
Quin tipus d'expressió decimal correspon al nombre decimal     $\dfrac{2}{99}$?

Solució:
La fracció és pròpia, per tant representa un nombre més petit que u. Per altra banda la fracció és irreductible i les xifres del denominador són totes nous; llavors es tracta d'un nombre decimal periòdic pur: la part decimal del nombre consta de dues xifres diferents que es van repetint indefinidament.

¿Qué tipo de expresión decimal corresponden al número racional $\frac{7}{900}$ ?

Enunciat:
Quin tipus d'expressió decimal correspon al nombre decimal     $\frac{7}{900}$ ?

Solució:
La fracció és pròpia, per tant representa un nombre més petit que u. Per altra banda, la fracció és irreductible i les xifres del denominador són tals que la primera és un $9$, i, la resta, zeros; llavors es tracta d'un nombre decimal periòdic mixt: a la part decimal hi ha dues xifres decimals que no formen part del grup de xifres ( decimals ) que es va repetint ( que només consta d'una xifra).

Ejercicio de proporcionalidad. Partes del total

Enunciat:
Calculeu la quantitat que correspon a les dues cinques parts de cinc-mil unitats.

Solució:
Si d'un total de cinc parts ( en total ) en considerem dues, podem expressar això mitjançant la raó aritmètica
    $\dfrac{2}{5}$
Per altra banda, si d'un total de cinc-milt unitats en considerem $x$ d'aquestes, podem expressar-ho de la forma
    $\dfrac{x}{5000}$
Ara, tenint en compte que ambdues maneres d'expressar això són equivalents ( proporció ) podem plantejar la següent igualtat ( equació ):
    $\dfrac{x}{5000}=\dfrac{2}{5}$
Per trobar el valor de $x$ multipliquem per $5000$ a cada membre i, així, en simplificar, aconseguirem deixar sol el símbol $x$ ( la incògnita ) en el primer membre:
    $\dfrac{x}{5000} \cdot 5000 =\dfrac{2}{5} \cdot 5000$

    $x \cdot \dfrac{5000}{5000} =2 \cdot \dfrac{5000}{5}$

    $x\cdot 1 =2 \cdot 1000$

per tant

    $x = 2000$

$\square$

Ejercicio de aplicación de los números enteros

Enunciat:
Un noi arriba a la feina en metro i entra per la porta principal que es troba a la planta zero d'un gran edifici que disposa també de quatre plantes per aparcar els vehicles. En entrar es troba amb una amiga seva que ha vingut en cotxe i que l'ha aparcat en una plaça del les plantes destinades a deixar els vehicles que hi ha a l'edifici, per sota el nivell del carrer. A la porta de l'ascensor es saluden i ella el convida a portar-lo a casa amb el cotxe quan acabin la jornada laboral. Comença la jornada laboral i el noi es mou per les diverses plantes de l'edifici fent el següent recorregut seqüencial: en puja set, en baixa dues, en puja cinc, en baixa quatre, i, finalment en baixa set. Quin és el número de la planta on té el cotxe la seva amiga?

Solució:
El número de planta final del recorregut del noi és igual al número de la planta on comença la jornada laboral, que és la número $0$, més la variació total del recorregut al llarg de la jornada:
      $0+(7-2+5-4-7)=-1$
Llavors, si quan acaba la jornada, el noi baixa fins a la planta $-1$, deduïm que el cotxe de la seva amiga es troba aparcat en aquesta planta de pàrquing: la planta $-1$.
$\square$