Enunciat: Justifiqueu el criteri de divisibilitat per $11$ d'un nombre enter.
Solució: Considerem, per exemple, un nombre enter de quatre xifres, $abcd$, que escriurem de la forma $1000\,a+100\,b+10\,c+d$. Tindrem en compte, com en els altres criteris de divisibilitat, la següent propietat fonamental: si $m$ i $n$ (nombres enters) són divisibles per $k$ ( enter menor o igual, en valor absolut, que $m$ i $n$ ), llavors $m+n$ també és divisible per $k$. El nombre de quatre xifres desenvolupat el podem escriure també de la forma $(1100-100)\,a+(110-10)\,b +(11-1)\,c+d$
que és igual a
$(1100\,a+110\,b+11\,c)-100\,a-10\,b-c+d$
és a dir
$(11\cdot 100\,a+11\cdot 10\,b+11\,c)-(100\,a+10\,b+c-d)$
llavors, com que els quatre termes del primer parèntesi són (clarament) divisibles per onze, si el valor del segon parèntesi, $100\,a+10\,b+c-d$, també l'és, per tant, el nombre donat $abcd$ també ho serà.
Vet aquí, doncs, una primera regla que ens permet detectar fàcilment si un nombre és divisible per onze: s'ha de complir que $100\,a+10\,b+c-d$ sigui un múltiple d'onze. Reduirem, ara, aquesta regla a una que encara més més manejable. Vegem-ho.
Aquesta condició que hem trobat per tal que $abcd$ sigui múltiple d'onze es pot tornar a aplicar a la mateixa quantitat que hem obtingut, atès que
$100\,a+10\,b+c-d$ es pot escriure de la forma $(110-10)\,a+(11-1)\,b+c-d$ que és igual a $(110\,a+11\,b)-(10\,a+b-c+d)$. Raonant de la mateixa manera, veiem que $10\,a+b-c+d$ ha de ser un múltiple d'onze i, tornant altre cop a fer el mateix, trobem que aquest darrer valor es pot escriure de la forma $(11-1)\,a+b-c+d$ que és igual a $(11\,a)-(a-b+c-d)$ i, al final, deduïm que, per tal que $abcd$ sigui divisible per onze ho ha de ser també el nombre que s'obté de $a-b+c-d$, amb la qual cosa clarifiquem una regla molt pràctica i ràpida per detectar si un nombre donat $abcd$ (de quatre xifes en aquest cas) és o no és divisible per onze.
Nota: Amb un nombre arbitrari de xifres faríem exactament el mateix que el que aquí s'explica, a tall indicatiu, per a un nombre enter de quatre xifres; per exemple, $abcde$ és múltiple d'onze si $a+b-c+d-e$ és un múltiple d'onze (incloent el zero).
$\square$
Exemples:
a) $1375$ és divisible per $11$ perquè $1-3+7-5$, que és igual a $0$, que és un múltiple trivial d'onze.
b) $8290454$ no és divisible per $11$ perquè $-8+2-9+0-4+5-4$, que és igual a $-18$, no és divisible per $11$.
Propietat: Tot nombre capicua que tingui un nombre parell de xifres és divisible per $11$ ja que el valor de l'expressió de la condició necessària donarà zero i, aquest, és un múltiple trivial d'onze.
Exemple: $23788732$ (un capicua de vuit xifres [ 8 és un nombre parell ]) és múltiple d'onze perquè es compleix la condició necessària ( $2-3+7-8+8-7+3-2$ és igual a $0$, que és múltiple trivial d'onze ).
Observació: Atenció, però: No pas tots els nombres capicues que tinguin un nombre senar de xifres són, necessàriament, divisibles per $11$.
Exemples: El nombre $121$ és un capicua de tres xifres i també és un múltiple d'onze perquè compleix la condició $-1+2-1=0$ que és múltiple trivial d'onze. Per contra $111$, que també és un capicua, però que, tenint un nombre senar de xifres, no compleix la condició necessària ( $-1+1-1$, que és igual a $-1$, no és múltiple d'onze ) per tant $111$ no és múltiple d'onze.
Nota: Feu un cop d'ull a uns quants criteris/regles de divisibilitat més (divisibilitat per 7, per 13, ...) aquí.
