Enunciado:
Sin efectuar la división tal cual, demostrar que $845$ es múltiplo de $13$.
Solución:
$845=8\cdot 10^2+4\cdot 10+5$
$=8\cdot (13-3)^2+4\cdot (13-3)+5$
$=8\cdot (13^2-2\cdot 3\cdot 13+9)+4\cdot 13- 4\cdot 3+5$
$=8 \cdot 13^2 - 8\cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 + 8 \cdot 9 + 4\cdot 13 - 4 \cdot 3 +5$
$=8 \cdot 13^2 - 8\cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 + 4\cdot 13 + 8 \cdot 9 - 4\cdot 3 +5$
$=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 8 \cdot 9 - 4\cdot 3 +5$
$=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 65$
$=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 6\,(13-3)+5$
$=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6\big)\cdot 13 - 18 +5$
$=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6\big)\cdot 13 - 13$
$=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6-1\big)\cdot 13 \Rightarrow 13 \quad \text{es divisor de} \quad 845$
con lo cual, queda demostrado que $845$ es múltiplo de ( es divisible por ) $13$.
$\square$
