Resolviendo ecuaciones compatibles

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$2x-3=4\cdot (1-x)$$

SOLUCIÓN.

Ejercicios resueltos del examen sobre fracciones y números decimales ( lista de reproducción de vídeos ), realizado el jueves 16/02/2017 en la asignatura Recuperación de Matemáticas

Ordenando fracciones

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor los siguientes números: $$0,35 \quad \quad \dfrac{1}{3} \quad \quad \dfrac{17}{50}$$

SOLUCIÓN.

Reduciendo a mínimo común denominador. Fracciones equivalentes.

ENUNCIADO. Reducir a común denominador estas tres fracciones: $$\dfrac{3}{4} \quad \quad \dfrac{2}{5} \quad \quad \dfrac{1}{6}$$

SOLUCIÓN.

Aplicando porcentajes

ENUNCIADO. Calcular el $3\,\%$ de $25$ euros

SOLUCIÓN.

Dividiendo fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante $$\dfrac{5}{7}\div \dfrac{10}{21}$$

SOLUCIÓN.

Multiplicando fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante $$\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{6}$$

SOLUCIÓN.

Operaciones con números decimales. Sumas y restas.

ENUNCIADO. Calcular el número decimal resultante $$63,034+2,890-54,624$$

SOLUCIÓN.

Multiplicaciones con decimales

ENUNCIADO. Realizar la siguiente multiplicación
$$1920,49 \cdot 85,3$$

SOLUCIÓN.

Forma mixta de una fracción impropia

ENUNCIADO. Expresar en forma mixta ( un número entero más una fracción propia ) la siguiente fracción impropia: $$\dfrac{19}{3}=\square + \dfrac{\square}{\square}$$

SOLUCIÓN.

Ejemplos de expresiones decimales de los números racionales

ENUNCIADO. Determinar la expresión decimal del número fraccionario $$\dfrac{451}{90}$$

SOLUCIÓN.

Sumando fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{24}$$
SOLUCIÓN.

Divisiones con decimales

ENUNCIADO. Calcular el resultado de la siguiente división, expresando el resultado aproximado a las diezmilésimas $$7495,01 \div 345,612$$

SOLUCIÓN.

Operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Resolver de forma ordenada y paso a paso: $$\displaystyle \dfrac{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}}{\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{6}\right)\cdot \frac{2}{7}}$$

SOLUCIÓN.

Contando cosas

ENUNCIADO. ¿Cuántos números enteros impares hay entre $11$ y $1457$?

SOLUCIÓN. Reduzcamos la magnitud del problema: ¿Cuántos números enteros impares hay entre $11$ y $15$?. Evidentemente, hay tres: $11$, $13$ y $15$.

Intentemos encontrar un procedimiento que nos permita contar dicho número de una forma directa. Para ello, debemos darnos cuenta de que entre un número impar y el número impar consecutivo hay un número par en medio, es decir, cada dos números impares encontramos un número par entre ellos; por ello, podemos obtener el número pedido haciendo $$(15-11)\div 2+1$$ donde hemos sumado un '1' para que esta operación dé cuenta también del primero y del último; operando, llegamos a $$4\div 2 +1 = 2+1=3$$ resultado que se refiere a los tres números impares consecutivos que hay entre $11$ y $15$, ambos incluidos.

Veamos si funciona para un caso con números más distanciados: ¿ Cuántos números impares hay entre $11$ y $19$ ? Según lo que acabamos de proponer tiene que haber $$(19-11)\div 2+1=8 \div 2+1 =4+1=5\, \text{números impares, incluidos los dos dados}$$ Y, en efecto, hay $5$ números, que son $11,13,15,17,19$

Así que entre $11$ y $1457$ ( ambos impares, como en los dos casos ensayados) hay
$(1457-11)\div 2+1=1446\div 2+1$
  $=723+1=724\;\text{números impares, incluidos los dos números dados}$
$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 4 y 5 ( fracciones y números decimales ), realizado el viernes 3/02/2017

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Aplicando las fracciones

ENUNCIADO. De una tarta $1000$ gramos, Javier se ha comido el $30\,\%$ y Elena el $40\,\%$. El resto de la tarta se la ha comido Jorge. Se pide:
a) ¿Cuántos gramos se ha comido Javier? ¿Y Elena?
b) ¿Cuál es el tanto por ciento de la tarta que se ha comido Jorge? ¿Cuántos gramos se ha comido Jorge?

SOLUCIÓN.
a)
Javier se ha comido el $30\,\%$ de $1000$ gramos, esto es, $\dfrac{30}{100}\cdot 1000=300$ gramos
Elena se ha comido el $40\,\%$ de $1000$ gramos, es decir, $\dfrac{40}{100}\cdot 1000=400$ gramos

b)
Javier y Elena se han comido, entre los dos, el $30\,\%+40\,\%=70\,\%$ de la tarta, luego a Jorge ( que se ha comido el resto ) le ha correspondido un $100\,\%-70\,\%=30\,\%$ de la tarta, lo cual supone $\dfrac{30}{100} \cdot 1000=300$ gramos.

NOTA: Se comprueba que la suma de los tres porcentajes es igual al $100\,\%$; en efecto, $30\,\%+40\,\%+30\,\%=100\,\%$. Y que la suma de las tres cantidades ( en gramos ) es igual a la cantidad total de tarta, que es $1000$ gramos; en efecto: $300+400+300=1000$ gramos

$\square$

Empleando fracciones ...

ENUNCIADO. Un trayecto a pie tiene una longitud de $1\,500$ metros. Hemos recorrido $300$ metros. ¿Qué fracción del trayecto queda aún por recorrer? ¿Qué tanto por ciento representa?

SOLUCIÓN. Si hemos recorrido $300$ metros, todavía quedan por recorrer $1\,500 - 300 = 1\,200$ metros, que representa $\dfrac{1\,200}{1\,500}=\dfrac{4}{5}$ del trayecto. Y como $\dfrac{4}{5}=0,8$, podemos decir también que queda un $80\,\%$ del trayecto por recorrer.

$\square$

Problemas con fracciones

ENUNCIADO. Se ha llenado la mitad de un depósito y, a continuación, una cuarta parte de lo que faltaba por llenar. ¿Qué fracción del depósito quedará todavía para acabar de llenar? ¿Qué tanto por ciento representa?.

SOLUCIÓN. En las dos primeras operaciones, se ha llenado la siguiente fracción de depósito $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot \left( 1-\dfrac{1}{2}\right)$, esto es, $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}$, luego faltan aún por llenar $1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{8}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$ partes del total.

Como $\dfrac{3}{8}=0,375$ ( tanto por unidad ), el porcentaje correspondiente es de un $0,375 \cdot 100=37,5\,\%$.
$\square$

Interpretando las fracciones

ENUNCIADO. Interpretar y calcular:
a) Las tres cuartas partes de cien euros
b) La fracción equivalente a las dos quintas partes de dos tercios

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{3}{4}\,( 100 )= \dfrac{3}{4}\cdot 100 = \dfrac{3\cdot 100}{4}=\dfrac{300}{4}=\dfrac{150}{2}=75$ euros

b)
$\dfrac{2}{5}\,\left( \dfrac{2}{3} \right)= \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2\cdot 2}{5\cdot 3}=\dfrac{4}{15}$ partes del total

$\square$

Operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente operación con fracciones: $$\dfrac{5}{20}\cdot \dfrac{10}{2}+\dfrac{3}{12}\div \dfrac{9}{2}$$

SOLUCIÓN.

Observemos, en primer lugar, que algunas de las fracciones que aparecen en la operación combinada pueden simplificarse. En efecto:

$\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{10}{2}=5$

$\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$

luego la operación pedida es equivalente a $$\dfrac{1}{4}\cdot 5+\dfrac{1}{4}\div \dfrac{9}{2} \quad \quad (1)$$ Realizando en primer lugar la multiplicación y la división
$$\dfrac{1}{4}\cdot 5=\dfrac{1\cdot 5}{4}=\dfrac{5}{4}$$ y $$\dfrac{1}{4}\div \dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{18}$$
por lo que (1) nos queda $$\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{18} \quad \quad (2)$$ Reduciendo a común denominador, $$\text{m.c.m}(4,18)=\text{m.c.m}(2^2,2\cdot 3^2)=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9 = 36$$ y, así, (2) es equivalente a

$\dfrac{5\cdot (36\div 4)}{36}+\dfrac{1\cdot (36 \div 18)}{36}$
  $=\dfrac{5\cdot 9}{36}+\dfrac{1\cdot 2}{36}$
    $=\dfrac{45}{36}+\dfrac{2}{36}$
      $=\dfrac{45+2}{36}$
        $=\dfrac{47}{36}$

$\square$

Sumas y restas de fracciones

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente operación con fracciones: $$\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{15}+\dfrac{7}{4}$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{15}+\dfrac{7}{4}$

  $=\dfrac{5}{12}+\dfrac{(-1)}{15}+\dfrac{7}{4} \quad \quad (1)$

Reduciendo a común denominador, $\text{m.c.m}(12,15,4)=\text{m.c.m}(2^2\cdot 3,3\cdot 5,2^4)=2^2\cdot 3\cdot 5=60$
luego (1) queda

    $=\dfrac{5\cdot (60\div 12)}{60}+\dfrac{(-1)\cdot (60\div 15)}{60}+\dfrac{7\cdot (60\div 4)}{60}$

      $=\dfrac{5\cdot 5}{60}+\dfrac{(-1)\cdot 4}{60}+\dfrac{7\cdot 15}{60}$

        $=\dfrac{25}{60}+\dfrac{(-4)}{60}+\dfrac{105}{60}$

          $=\dfrac{25+(-4)+105}{60}$

            $=\dfrac{126}{60}$

              $=\dfrac{63}{30}$

                $=\dfrac{21}{10}$

$\square$

Fracciones. Reducción a común denominador.

ENUNCIADO. Reducir a común denominador las siguientes fracciones: $$ \dfrac{7}{8}\,,\,\dfrac{5}{12}\,,\,\dfrac{1}{18}$$

SOLUCIÓN.
Para reducir a común denominador las fracciones dadas, debemos obtener un múltiplo común de los tres denominadores. Hay infinitos múltiplos comunes, pero nos basta encontrar el menor de ellos, esto es, el mínimo común múltiplo: $$\text{m.c.m.}(8,12,18)=\text{m.c.m.}(2^3,2^2\cdot 3,2\cdot 3^2)=2^3\cdot 3^2=72$$ Entonces,
$$\dfrac{7}{8}=\dfrac{7\cdot (72\div 8)}{72}=\dfrac{7\cdot 9}{72}=\dfrac{63}{72}$$ $$\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot (72\div 12)}{72}=\dfrac{5\cdot 6}{72}=\dfrac{30}{72}$$ $$\dfrac{1}{18}=\dfrac{1\cdot (72\div 18)}{72}=\dfrac{1\cdot 4}{72}=\dfrac{4}{72}$$

$\square$

División de números decimales

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente división, sacando dos decimales:
$$2,68 \div 45,002$$

SOLUCIÓN.
$2,68 \div 45,002 = \dfrac{268}{100} \div \dfrac{45\,002}{1000}=\dfrac{268 \cdot 45\,002}{100\cdot 1000}=\dfrac{12\,060\,536}{100\,000}=120,60536$
$\square$

Multiplicación con números decimales

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente multiplicación:
$$12,901 \cdot 34,5$$

SOLUCIÓN.
$12,901 \cdot 34,5 = \dfrac{12\,901}{1000}\cdot \dfrac{345}{10}=\dfrac{12\,901 \cdot 345}{1000 \cdot 10} = \dfrac{4\,450\,845}{10\,000}=445,0845$
$\square$

Fracciones impropias y propias. Forma mixta de una fracción impropia.

ENUNCIADO. Expresar en forma mixta las siguientes fracciones impropias y decir cuáles son los dos números enteros más próximos entre los que se encuentran:
a) $\dfrac{17}{4}$
b) $-\dfrac{13}{3}$

SOLUCIÓN.
a) Realizando la división entera $17 \div 4$ obtenemos: cociente igual a $4$ y resto igual a $1$. Así pues, $4 \prec \dfrac{17}{4} \prec 5$. De esta forma, $17=4\cdot4+1$ ( teorema de la división entera ); y, dividiendo por $4$ en los dos miembros de esa igualdad numérica, llegamos a $\dfrac{17}{4}=4+\dfrac{1}{4}$

a) Veamos, primero, la fracción positiva $\dfrac{13}{3}$. Realizando la división entera $13 \div 3$ obtenemos: cociente igual a $4$ y resto igual a $1$. Con lo cual, $4 \prec \dfrac{13}{4} \prec 5$. De esta forma, $13=4\cdot 3+1$ ( teorema de la división entera ); y, dividiendo por $3$ en los dos miembros de esa igualdad numérica, llegamos a $\dfrac{13}{3}=4+\dfrac{1}{3}$. Teniendo en cuenta, ahora, que la fracción pedida, $-\dfrac{13}{3}$, es negativa, deducimos que $-5 \prec -\dfrac{13}{4} \prec 4$, y, por tanto, la escribiremos de la siguiente forma $-\dfrac{13}{3}=-4-\dfrac{1}{3}$

$\square$

Fracciones y decimales

ENUNCIADO. Expresar en tanto por unidad y en tanto ciento:
a) $\dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{2}{3}$
a) $\dfrac{3}{2}$
a) $\dfrac{5}{4}$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{1}{4}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}0,25\overset{\text{multiplicando por}\; 100}{=}25\,\%$
b) $\dfrac{2}{3}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}0,6666\ldots \overset{\text{multiplicando por}\; 100}{\approx} 67\,\%$
c) $\dfrac{3}{2}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}1,5\overset{\text{multiplicando por}\; 100}{=}150\,\%$
d) $\dfrac{5}{4}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}1,25\overset{\text{multiplicando por}\; 100}{=}125\,\%$

$\square$

Aplicaciones de las fracciones

ENUNCIADO. Calcular:
a) tres cuartos de cien personas
b) una quinta parte de diez litros
c) dos terceras partes de nueve euros
d) una cuarta parte de un tercio de veinticuatro automóviles

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{3}{4}\,\left( 100 \right) = \dfrac{3}{4}\cdot 100 = \dfrac{3\cdot 100}{4}=\dfrac{300}{4}=75$ personas

b) $\dfrac{1}{5}\,\left( 10 \right) = \dfrac{1}{5}\cdot 10 = \dfrac{1\cdot 10}{5}=2$ litros

c) $\dfrac{2}{3}\,\left( 9 \right) = \dfrac{2}{3}\cdot 9 = \dfrac{2\cdot 9}{3}=\dfrac{18}{3}=6$ euros

d) $\dfrac{1}{4}\,\left( (\dfrac{1}{3} (24) \right) = \dfrac{1}{4}\cdot (\dfrac{1\cdot 24}{3}) =
\dfrac{1}{4}\cdot 8 = \dfrac{1\cdot 8}{4} = \dfrac{8}{4}= 2$ automóviles
$\square$