ENUNCIADO. ¿Cuántos números enteros impares hay entre $11$ y $1457$?
SOLUCIÓN. Reduzcamos la magnitud del problema: ¿Cuántos números enteros impares hay entre $11$ y $15$?. Evidentemente, hay tres: $11$, $13$ y $15$.
Intentemos encontrar un procedimiento que nos permita contar dicho número de una forma directa. Para ello, debemos darnos cuenta de que entre un número impar y el número impar consecutivo hay un número par en medio, es decir, cada dos números impares encontramos un número par entre ellos; por ello, podemos obtener el número pedido haciendo $$(15-11)\div 2+1$$ donde hemos sumado un '1' para que esta operación dé cuenta también del primero y del último; operando, llegamos a $$4\div 2 +1 = 2+1=3$$ resultado que se refiere a los tres números impares consecutivos que hay entre $11$ y $15$, ambos incluidos.
Veamos si funciona para un caso con números más distanciados: ¿ Cuántos números impares hay entre $11$ y $19$ ? Según lo que acabamos de proponer tiene que haber $$(19-11)\div 2+1=8 \div 2+1 =4+1=5\, \text{números impares, incluidos los dos dados}$$ Y, en efecto, hay $5$ números, que son $11,13,15,17,19$
Así que entre $11$ y $1457$ ( ambos impares, como en los dos casos ensayados) hay
$(1457-11)\div 2+1=1446\div 2+1$
$=723+1=724\;\text{números impares, incluidos los dos números dados}$
$\square$
