Teorema de la divisió euclídea (recordatorio para personas profesoras que trabajen en secundaria)

Recordemos el teorema de la división entera (euclídea): Para un número entero cualquiera $D$ (dividendo) y un número entero cualquiera $d$ (divisor) existen dos números enteros únicos, $c$ (cociente) y $r$ (resto) de manera que debe cumplirse las siguientes condiciones $D=d\cdot c+r$ y $0\le r \lt |d|$   $\diamond$

Ejemplo de división entera de un número entero positivo entre un número entero negativo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $5 \div (-3)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $-3$ da como resultado el número entero positivo que se acerca más a $5$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $5=-1\cdot (-3) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=5-(-1)\cdot (-3)=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2\lt |-3|=3$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre dos números enteros negativos

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-3 \div (-2)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor también, el cociente ha de ser positivo; el número entero positivo que multiplicado por $-2$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-3$ es $2$, luego el cociente es $2$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-3=2\cdot (-2) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-3-2\cdot (-2)=-3+4=1$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $1\lt |-2|=2$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre un entero negativo y un entero positivo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-2 \div 4$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $4$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-2$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-2=4\cdot (-1) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-2-4\cdot (-1)=-2+4=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2 \lt |4|=4$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Curiosidades con el resto de las divisiones enteras

Alguien afirma: El resto de la división entera de $2$ entre $4$ da resto igual a $2$. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿por qué?

En efecto, es cierto, porque al ser el dividendo menor que el divisor, $2 \le 4$, el cociente de la división entera $2 \div 4$ es igual $0$, luego $2=0\cdot 4 +2$, por consiguiente el resto es $2$. $\diamond$

Acerca de cosas que cambian de manera periódica. Un ejemplo con los días de la semana. Una noción básica sobre aritmética modular

Hoy es miércoles. Es evidente que dentro de siete días volverá a ser miércoles, pues la semana consta de siete días. Hagámonos un pregunta interesante: ¿qué día de la semana será dentro de $80$ días?

Observemos que $80=11\cdot 7+3$, es decir, al hacer la división entera entre $80$ y $7$ resulta que el cociente es $11$ y el resto es $3$. Quiere decir ésto que, en $80$ días transcurren $11$ semanas y $3$ días más. Entonces, después de $11$ semanas volverá a ser miércoles (de la undécima semana), y, por tanto, el tercer día despues (de ese miércoles de la undécima semana), tendrá que ser el sábado (de esa misma undécima semana). Notemos que, para obtener la solución a este tipo de ejercicios (modulares) basta calcular el resto de la división.

Nota:
Notemos que en el caso que el resto que obtuviésemos fuese $0$ significaría que el último día del intervalo que transcurre volvería a coincidir con el mismo día de la semana del que partiésemos; por ejemplo, al cabo de $77$ días ($77$ es múltiplo de $7$, ques es la duración de una semana), volverá a ser miércoles, pues $77=11\cdot 7+0$. $\diamond$

¿Cuántos divisores positivos de $36$ hay?

¿Cuántos divisores tiene $36$? Vamos a responder a esta pregunta viendo primero cuáles son los divisores primos, para, después, calcular el número total de divisores, sin necesidad de decir quiénes son dichos divisores.

Observemos que los divisores primos de $36$ son $2$ y $3$; en efecto, al factorizar $36$, encontramos que $36=2^2\,\cdot 3^2$. Fijémonos ahora en los exponentes de las potencias de dichos números primos: $2$ para el exponente de la potencia de base $2$, y $2$ también para el exponente de base $3$; quiere decir ésto que hay tres divisores de $2^2$ (esto es, de $4$), que son $1$, $2$ y el propio $4$; y hay tres divisores de $3^2$ (esto es, de $49$), que son $1$, $3$ y el propio $9$. Si emparejamos los tres de un grupo de divisores con los tres del otro grupo de divisores —dibujar un sencillo diagrama de árbol puede ayudar en el caso de que no lo veamos claro— encontramos un total de $9$ divisores (y no hay ni más ni menos), ya que los tres de uno de los grupos de divisores por los otros tres del otro grupo ha de ser igual al número total de divisores de $36$.

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Observación: Démonos también cuenta de que el número total de divisores podemos calcularlo de un modo más rápido multiplicando los exponentes que aparecen en cada potencia con base un número primo (que aparecen en la factorización del número pedido), habiéndoles sumado préviamente la unidad, habida cuenta de que el $1$ es divisor de cualquier número, de ahí que salga repetido en los dos grupos de divisores que primero hemos encontrado( tanto del de $4$ como del de $9$). Entonces, pues, en el caso de $36$, vemos que hay $(2+1)\cdot (2+1)=3\cdot 3=9$ divisores positivos, como ya hemos visto arriba. Así, por ejemplo, el número total de divisores de $180$, que factorizado es igual a $2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1$, tiene éste $(2+1)\cdot (2+1) \cdot (1+1)=18$ divisores positivos.

Nota: Si en lugar de interasarnos sólo por los divisores positivos, quisieramos saber el número total de divisores de dicho número (incluyendo los divisores negativos), bastaría multiplicar por $2$ el resultado obtenido, pues por cada divisor positivo, su opuesto también es divisor del número pedido; así, el número total de divisores de $32$ (teniendo en cuenta los positivos y, también, los negativos) es $9\cdot 2=18$. $\diamond$