Un ejemplo de división entera entre dos números enteros negativos

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-3 \div (-2)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor también, el cociente ha de ser positivo; el número entero positivo que multiplicado por $-2$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-3$ es $2$, luego el cociente es $2$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-3=2\cdot (-2) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-3-2\cdot (-2)=-3+4=1$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $1\lt |-2|=2$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre un entero negativo y un entero positivo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-2 \div 4$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $4$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-2$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-2=4\cdot (-1) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-2-4\cdot (-1)=-2+4=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2 \lt |4|=4$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Curiosidades con el resto de las divisiones enteras

Alguien afirma: El resto de la división entera de $2$ entre $4$ da resto igual a $2$. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿por qué?

En efecto, es cierto, porque al ser el dividendo menor que el divisor, $2 \le 4$, el cociente de la división entera $2 \div 4$ es igual $0$, luego $2=0\cdot 4 +2$, por consiguiente el resto es $2$. $\diamond$

División con números enteros

ENUNCIADO. Calcúlese el cociente y el resto de la división entera $11 \div (-3)$

-oOo-Recordemos el teorema de la división entera (euclídea). Sean $a$ y $b\neq 0$ números enteros, entonces existen otros dos números enteros, únicos, $c$ ( al que llamamos cociente) y $r$ (al que llamamos resto), tales que al realizar la división $a \div b$ (llamamos dividendo a $a$ y divisor a $b$), se cumple:
      i) $a=b\cdot c+r$
      ii) $r$ es positivo o cero y menor que $\left| b \right|$

Observación: Si $\left|a\right| \prec \left|b\right|$, entonces $c=0$ y $r=a$
-oOo-
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que el dividendo es positivo y el divisor es negativo, el cociente ha de ser negativo; ensayemos pues un número negativo (para el cociente) tal que al multiplicarlo por el divisor resulte un número menor o igual que el dividendo ( si es menor, habrá de ser lo más cercano posible ): así, vemos que $-4)\cdot (-3)=+12 \succ 11$, luego no podemos tomar $-4$, así que probaremos con $-3$: $(-3)\cdot (-3)=+9\prec 11$, luego diremos que $c=-3$ y que el resto es $r=11-(-3)\cdot (-3)=2$

Nota: Comprobemos las dos condiciones que deben cumplirse:
i) $(-3)\cdot 3+3=11$
ii) $2 \prec \left|-3\right|=3$
$\square$