División con números enteros

ENUNCIADO. Calcúlese el cociente y el resto de la división entera $11 \div (-3)$

-oOo-Recordemos el teorema de la división entera (euclídea). Sean $a$ y $b\neq 0$ números enteros, entonces existen otros dos números enteros, únicos, $c$ ( al que llamamos cociente) y $r$ (al que llamamos resto), tales que al realizar la división $a \div b$ (llamamos dividendo a $a$ y divisor a $b$), se cumple:
      i) $a=b\cdot c+r$
      ii) $r$ es positivo o cero y menor que $\left| b \right|$

Observación: Si $\left|a\right| \prec \left|b\right|$, entonces $c=0$ y $r=a$
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SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que el dividendo es positivo y el divisor es negativo, el cociente ha de ser negativo; ensayemos pues un número negativo (para el cociente) tal que al multiplicarlo por el divisor resulte un número menor o igual que el dividendo ( si es menor, habrá de ser lo más cercano posible ): así, vemos que $-4)\cdot (-3)=+12 \succ 11$, luego no podemos tomar $-4$, así que probaremos con $-3$: $(-3)\cdot (-3)=+9\prec 11$, luego diremos que $c=-3$ y que el resto es $r=11-(-3)\cdot (-3)=2$

Nota: Comprobemos las dos condiciones que deben cumplirse:
i) $(-3)\cdot 3+3=11$
ii) $2 \prec \left|-3\right|=3$
$\square$