Enunciat:
Traballant amb nombres enters, calculeu:
a) el mínim comú múltiple de $-2$ i $8$
b) el màxim comú divisor de $-2$ i $8$
Solució:
a)
Tinguem en compte que, ara, estem treballant amb nombres enters. Les idees sobre els conceptes de múltiples i divisors s'hi estenen a partir dels nombres naturals. En aquest cas, però, que volem trobar el mínim comú múltiple de dos nombres enters un dels quals és negatiu, cal donar, com a resultat en tots dos casos, el múltiple comú més proper (als nombres enters donats). El múltiples de $-2$ y $8$ son, respectivament:
$\dot{(-2)}=\dot{(2)}=\{\ldots,-10-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8\ldots\}$
$\dot{(-8)}=\dot{(8)}=\{\ldots,-16,-8,0,8,16,\ldots\}$
d'on trobem que
$\text{m.c.m}(-2,8)=\pm 8$
Observació 1: Si féssim servir l'algorisme dels factors, treballant amb nombres enters ( no només amb nombres naturals ), d'aquí cal entendre, per tant, que $$\text{m.c.m}(2,-8)=\text{m.c.m}(\left|-2\right|,8)=\pm 8$$
$\square$
b)
Per calcular el màxim comú divisor de $-2$ i $8$ ( que és el mateix que el de $8$ i $-2$ ) podem fer ús del mètode de les llistes (de divisors), és a dir, trobar tots els divisors de cada un dels dos nombres; i, a partir d'aquestes llistes, escriure la dels divisors comuns; i, finalment, mirar quin és el més gran (ara, en valor absolut). O bé, havent calculat ja el mínim comú múltiple, podem també fer ús de següent propietat ( que ja hem fet servir altres vegades ):
$\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
així,
$\pm 8 \times \text{m.c.d}(-2, 8)=-2 \cdot 8$
és a dir
$\pm 8 \times \text{m.c.d}(-2, 8)=-16$
per tant
$\text{m.c.d}(-2, 8)=-16 \div (\pm 8)=\pm 2$
Observació 2: Si féssim servir l'algorisme dels factors, treballant amb nombres enters ( no només amb nombres naturals ), d'aquí cal entendre, per tant, que $$\text{m.c.d}(-2,8)=\text{m.c.d}(\left|-2\right|,8)=\pm 2$$
$\square$
