ENUNCIADO:
¿ Cuál es el valor de cada uno de los ángulos interiores de un pentágono regular ?
SOLUCIÓN:
Una interesante fórmula que se deduce al recorrer el perímetro de un polígono regular de $n$ lados es la siguiente $$\hat{Y}=180^{\circ}\,(n-2)$$
donde $\hat{Y}$ denota el valor de cada uno de los $n$ ángulos interiores del polígono.
En efecto, sumando los ángulos de giro realizados cada vez que pasamos de un vértice a otro hasta terminar el recorrido cerrado ( volviendo al mismo vértice y orientándonos de la misma forma que al inicio del recorrido ), observemos que dicho valor es igual a un ángulo completo; esto es, $360^{\circ}$. Por lo tanto, cada uno de los $n$ giros exteriores ( que denotamos por $\hat{X}$ ) debe ser igual a $360^{\circ}/n$; y como el ángulo exterior y el ángulo interior son suplementarios, deducimos que el ángulo interior es igual a $180^{\circ}-360^{\circ}/n$, es decir, $180^{\circ} ( n-2)/n$. Teniendo en cuenta, ahora, que el número total de giros es $n$, deducimos que la suma de los ángulos interiores es $n\cdot \left( 180^{\circ} ( n-2)/n \right) = 180^{\circ}\,(n-2)$, que es la expresión que queríamos justificar.
En el caso particular de un pentágono, $n=5$, encontramos que el valor de la suma de los cinco ángulos interiores es de $180^{\circ}\,(5-2)=180^{\circ}\cdot 3 = 540^{\circ}$, luego $\hat{X}=540^{\circ}/5=108^{\circ}$
$\square$
