Expresiones algebraicas. Operaciones básicas y propiedades

Com que els símbols no numèrics de les expressions algèbriques no deixen de ser representacions de nombres, podem operar els termes literals fent ús de les mateixes propietats dels nombres reals que ja coneixem. Així, per exemple, sovint farem ús de la propietat commutativa (per a la suma i per a la multiplicació): x+y = y+x, i x·y = y·x; també de la propietat associativa (també per a totes dues): x+(y+z)=(x+y)+z, i x·(y·z)=(x·y)·z; i, en especial, de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma: x(y+z)=x·y+x·z. La propietat distributiva ens serveix per traure factor comú d'una expressió, x·y+x·z-->x(y+z), o bé, a l'inversa, per expandir una expressió factoritzada d'antuvi d'aquesta manera: x(y+z)-->x·y+x·z No cal dir que les propietats de les potències també són vàlides amb símbols. Per exemple, xn·xm=xn+m (on n i m poden ser nombres positius, negatius, o fins també representar el nombre zero [Recordeu que x0=1, sempre i quan x sigui diferent de zero] Aquest curs només apareixeran expressions algèbriques de tipus polinòmic [Recordeu que el curs passat ja vareu veure estudiar una mica]. Els polinomis es poden sumar, multiplicar per nombres, i també es poden dividir; no obstant, no apareixeran divisions en aquest curs. A continuació podeu veure alguns exemples d'operacions amb expressions algèbriques de tipus polinòmic i amb una sola variable (o indeterminada): Exemple 1. Sumeu les expressions x+5 i 3x-7. Simplement cal escriure x+5 + 3x -7 i sumar els termes semblants; així obtindrem x+3x + 5-7 = 4x -2 Exemple 2. Multipliqueu les expressions x+5 i 3x-7. Cal calcular el resultat de l'operació (x+5)·(3x -7); per això (fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma) ens queda: x·3x +5·3x-7x-35, és a dir, 3x2 +15x -7x -35. Finalment, sumant els termes semblants i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, trobem com a resultat 3x2 + 8x -35. Exemple 3. Extraieu factor comú (factoritzeu) l'expressió x+3x2 Observem que els dos termes de l'expressió no són semblants, per tant, no els podem sumar, no obstant, podem escriure l'expressió com un producte de dos termes. Vegem-ho: com que x2=x·x, tenim que x+3x2 = x+3x·x i fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma queda x(1+3x)