Enunciat:
Demostreu la següent propietat,
Donades les raons aritmètiques
$\dfrac{a}{b}$
i
$\dfrac{c}{d}$
on
$a,b,c,d \in \mathbb{R}$
llavors,
la proporció (equivalència de les dues raons)
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
es compleix si i només si
$a\cdot d = b\cdot c$
Solució:
a) Demostrem que
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow a\cdot d = b\cdot c$
Partim, doncs, de
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Mulitplicant ambdós membres de la igualtat per $d\cdot b$, obtenim
$d\cdot b \cdot \dfrac{a}{b}=d\cdot b \cdot \dfrac{c}{d}$
ens queda
$\dfrac{d\cdot b \cdot a}{b}=\dfrac{d\cdot b \cdot c}{d}$
és a dir
$a \cdot d \cdot \dfrac{b}{b}=b \cdot c \cdot \dfrac{d}{d}$
i simplificant
$a \cdot d = b \cdot c$
b) A continuació farem la demostració del recíproc:
$a\cdot d = b\cdot c \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} $
Multiplicant ambdós membres de la igualtat per
$\dfrac{1}{b \cdot d}$
ens queda
$a\cdot d \cdot \dfrac{1}{b \cdot d} = b\cdot c \cdot \dfrac{1}{b \cdot d}$
que és igual a
$\dfrac{a\cdot d }{b \cdot d} =\dfrac{b\cdot c}{b \cdot d}$
i, simplificant,
$\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d}$
$\blacksquare$
Aplicació: Comprovació d'una proporció
Les raons arimètiques
$\dfrac{1,5}{0,3}$
i
$\dfrac{10,5}{2,1}$
guarden proporció
$\dfrac{1,5}{0,3} =\dfrac{10,5}{2,1}$
perquè
$1,5 \cdot 2,1$
$=3,15$
té el mateix valor que
$0,3 \cdot 10,5$
$=3,15$
