Enunciat:
Considereu el nombre natural $120$. Determineu tots els seus divisors.
Solució:
Primer de tot, expressem el nombre donat com a producte de factors de base un nombre primer:
$120=2^3\cdot 3 \cdot 5$
A continuació, escriurem les llistes de divisors de $2^3$, de $3$, i de $5$:
$\text{div}(2^3)=\{1,2,4,8\}$
$\text{div}(3)=\{1,3\}$
$\text{div}(5)=\{1,5\}$
Aquests mateixos divisors de cadascun dels factors són tambe divisors de $120$. N'hi ha més, però; en efecte, els nombres resultants de multiplicar cada element d'una de les tres llistes pels elements de les altres dues són també divisors de $120$. Vegem, tot seguit, quins nombres són aquests a partir de les taules de doble entrada que en faciliten la recerca sistemàtica:
Els setze nommbres resultants de la segona taula corresponen a tots els divisors de $120$:
$\text{div}(120)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$
$\square$
Observació 1.1.: Fem remarca que, en total, hi ha $16$ divisors del nombre natural $120$; això és així perquè ( recordem que $120=2^3 \cdot 3 \cdot 5$ ) si $2^3=8$ té quatre divisors ( $1$, $2$, $3$ i $4$ ), el factor $3$ en té dos ( $1$ i $3$ ), i el factor $5$ en té dos més ( $1$ i $5$ ), en multiplicar els divisors de cada factor pels divisors dels altres dos apareixen $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ divisors en total.
Observació 1.2.: Es continua insistint, aquí, amb la manera de comptabilitzar el nombre de divisors amb què ens hem de trobar al final del procés. Concretament, ara, farem esment de com fer ús de les taules per deduir quants divisors haurem de trobar a partir dels exponents de de la factorització: com que l'exponent del factor de base $2$, és a dir, $2^3$, és $3$, ens hem d'adonar que d'aquest (factor) surten els quatre ( $3+1$ )divisors de $120$; l'exponent del factor $3=3^1$ és $1$ i, doncs, d'aquest en surten $1+1=2$ més; i, com que l'exponent del factor $5=5^1$ és també $1$, en té també dos més de divisors ( $1+1=2$ ). De la primera taula surten $(1+1)\cdot (1+1)=4$ ( que són tots els divisors de $3 \cdot 5$, és a dir, de $15$, que també són divisors de $120$ ). I, finalment, ja podem comptar el nombres de cel·les de la segona taula ( de la qual surten tots els divisors, ja que aquesta segona taula recull de manera natural els quatre divisors de $15$, a més a més dels de $15 \cdot 8$; en total són, per tant, $(3+1)(1+1)(1+1)=16$ divisors.
Observació 2: El mateix que s'ha fet amb les taules es pot fer també fent ús d'un diagrama d'arbre.
