Amontonando cajas

ENUNCIDO. ¿ Cuántas cajas de $2$ cm de alto, de $5$ cm de ancho, y $3$ cm de alto se necesitan, como mínimo, para formar un cubo ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo pedido. Su longitud debe corresponder a un múltiplo común de las las longitudes de las aristas de las cajas; y como el cubo que tenemos que formar ha de ser el menor posible, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los tres datos dados $$\ell=\text{m.c.m.}(2,5,3)=30 \; \text{cm}$$ Para saber cuántas cajas necesitamos para formar el cubo razonaremos de la siguiente manera:

. El número de veces que podemos superponer un segmento de $3$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 3 =10$

. El número de veces que podemos superponer un segmento de $2$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 2 =15$

. El número de veces que podemos superponer un segmento de $5$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 5 =6$

Multiplicando el número de veces que hemos calculado al superponer cada una de las tres aristas de una de las cajas sobre las respectivas aristas del cubo, deducimos que necesitamos $10\cdot 15 \cdot 6 = 900$ cajas

$\square$

Un problema de múltiplos con engranajes ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT
La Figura 1 mostra dues rodes dentades acoblades. A les 16:30:50, les dues marques grogues estan enfrontades. La roda petita gira a raó de 3 voltes per minut. A quina hora tornen a coincidir les marques grogues ?

SOLUCIÓ
Si comptem el nombre de dents de cada roda trobem que la petita en té 10 i la gran 28. El mínim comú múltiple d'aquests nombres de dents és 140. Vol dir això que per tornar a trobar-se les dues marques grogues caldrà que la roda petita faci 140:10 = 14 voltes, a la vegada qeu la gran en fa cinc (140:28= 5 voltes). Tenint en compte que la roda petita triga 1 minut a fer tres voltes, passaran 4 minuts i 19 segons (± 1s) (dividint 14:3 i aproximant a la primera xifra decimal). Les marques grogues tornaran a estar enfrontades a les 16:30:50+00:04:19 = 16:35:09 (± 1s)



font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif