La comida del loro

En alguns problemes de repartiment de dues quantitats entre un cert nombre de parts on aquestes quantitats no s'acaben de repartir del tot (residus diferents de zero) es plantegen situacions interessants. Si ens donen com a dades els residus, les quantitats a repartir, i el nombre de parts amb què cal intentar fer el repartiment, resoldre'ls passa també per cercar divisors comuns en un primer pas i, tot seguit, acabar de gestionar el residu. Aquest n'és un exemple que hem comentat a classe. Enunciat Si dividim 4373 i 880 pipes entre un mateix nombre de lloros, els restes (residus) respectius dels repartiments són 8 i 7. Quants lloros hi ha sabent que són més d'una desena i menys d'una centena ? Resolució Anomem x al nombre de lloros, i q al nombre de pipes que queden per repartir (me les menjaré jo !). Pel teorema fonamental de la divisió tenim que 4373 = q.x + 8, la qual cosa vol dir que 4373-8, que és igual a 4365, és múltiple de x Semblantment, 880 = q.x + 7, la qual cosa vol dir que 800-7, que és igual a 873, també és múltiple de x Per tant, com que x ha de ser múltiple comú de 873 i de 4365. Cerquem doncs divisors comuns. Si descoposem els nombres en factors trobem que 4365 = 32.5.97, i 873 = 32.97. Els divisors de 873 són {1,3,9,97,291,873} Els divisors de 4365 són {1,3,5,9,15,45,97,291,485,873,1455,4365} Els divisor comuns de 873 i 4365 són {1,3,9,97,291,873} I, d'aquests, l'únic que és més gran que 10 i més petit que 100 és 97 Observació: No cal, de fet, trobar exhaustivament tots els divisors. A partir de la factorització de tots dos nombres (873=32.97; 4365=32.5.97) , i tenint en compte que el divisor comú que cerquem ha de tenir dues xifres, de seguida trobem que només es pot tractar del nombre 97 Per tant, vet aquí la solució, el nombre de lloros x és 97. Cada lloro es menjarà, doncs, (4365+873)/97 = 54 pipes. I jo em mejaré les 15 pipes (la suma dels dos restes) que han quedat sense repartir entre els lloros, el premi per resoldre el problema !.