Número de múltiplos enteros positivos de un cierto número $k$ que son menores o iguales que un número $m$ mayor o igual que $k$

Existe un caso que no merece mucho interés: si $k=m$, el número pedido de múltiplos es sólo uno, que es el propio $k$ (que a su vez es igual a $m$). Ocupémonos a continuación del resto de casos, que son los interesantes.

Trabajaremos con los números enteros positivos. Empecemos experimentando un poco. Para ello, hablemos de números que sean múltiplos, pongamos que de $3$ (sin pérdida de generalidad, como veremos, si considerásemos múltiplos de otro número distinto) y menores que un cierto número (mayor o igual que $3$, claro). Empecemos con un caso muy sencillito, para el que podamos hacer un recuento del número de múltiplos que encontremos (primero los encontraremos y después contaremos cuántos hay): pongamos que queremos determinar el número de divisores enteros positivos múltiplos de $3$, menores o iguales que $7$. No hace falta esforzarnos mucho: son los siguientes $3$ y $6$ (no hay más); en efecto, los dos números son múltiplos de $3$, pues la división entera (euclídea) de cada uno de ellos entre $3$ da resto igual a $0$, y ambos son menores que $7$, por tanto el número pedido de múltiplos de $3$ menores que $7$ es dos.

Parece que no vaya a haber ninguna dificultad si lo queremos hacer con otros valores; sin embargo, veamos que esto no es así. Responder a una pregunta de este estilo, y hacerlo de esta manera (encontrando todos los múltiplos y haciendo, después, un recuento de los mismos), es trabajoso si el número dado (del que no podemos pasar) es relativamente grande (no como el el tope igual a $7$, que es pequeño). Pogamos, por ejemplo, que dicho número sea $1036$. ¿A que ya no resulta tan fácil, ahora? Encontrar los múltiplos (para contarlos después uno a uno) es posible, pero es costoso. Es pues bien claro que tendremos que encontrar un procedimiento más corto, más elegante, y por tanto, un procedimiento eficiente. Veamos cuál puede ser.

En el primer caso expuesto (para contar el número de múltiples de $3$ menores que $7$), démonos cuenta, desde otro punto de vista, de que son dos (los que hemos encontrado) porque, al hacer la división entera (euclídea) entre la diferencia de $7$ (el mayor) y $3$ (el de partida) —que es igual a $4$— entre $3$, obtenemos el número de saltos de longitud $3$ que tenemos que dar partiendo del más pequeño, $3$, para acercarnos lo más posible al número tope, $7$. En este caso tan sencillo, es claro que hay un sólo salto (el cociente de la división euclídea entre $4$ y $3$ es $1$), con lo que habrá dos números múltiplos de $3$, el del principio (del salto) y el del final del mismo (que es $6$); esto es, una unidad más que el número de saltos que hemos tenido que dar.

Por tanto, en un caso general, debermos sumar una unidad al número de saltos para obtener el número de múltiplos pedido que sea menor (o igual) que el número dado.

Este número de saltos podemos obtenerlos de manera directa sirviéndonos de nuestra vieja amiga la división euclídea (división con números enteros), pues, como hemos visto, es igual al cociente de dicha división. Así pues, en general, el número de múltiplos de $\ell$ menores o iguales que $m$ (siendo $\ell \le m$) es igual al cociente de la división euclídea, esto es $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}\left((m-k) \div k\right)+1$$

Podemos pues responder ya a la segunda pregunta: hay $346$ múltiplos de $3$ menores que $1036$. En efecto, al ser el cociente de la división $(1\,036-3) \div 3$ (número de saltos de longitud $3$ que hay que dar partiendo del $3$ hasta acercarnos tanto como podamos a $1036$) igual a $344$, luego el número de múltiplos de $3$ menores o iguales que $1036$ (en este caso, serán menores, por no ser el propio $1036$ un múltiplo de $3$) es $344+1=345$.

Otro ejemplo: ¿cuántos múltiplos de $11$ menores que $2\,129$ hay? Ahora ya es muy fácil responder a prenguntas de este estilo: como el número de saltos de longitud $11$ entre el propio $11$ (que es el múltiplo de $11$ más pequeño) y $2\,129$ es igual al cociente de la división euclídea $(2\,129-11) \div 11$, que es $192$, entonces el número pedido de múltiplos (de $11$) menores que $2\,129$ es $192+1=193$.

Si nos fijamos bien en lo que hemos hecho, vemos que existe una variante aún más directa: al dividir (división euclídea) el número tope entre el número de multiplicidad, el cociente nos da, sin más, el número de múltiplos pedido, esto es: $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}(m\div k)$$

*** Comentario: Otra manera de expresar esto es mediante lo que llamamos parte entera de un número decimal, esto es, el caso que nos ocupa: el número entero menor más y más próximo al resultado (en principio, decimal) de la división decimal $m/k$, y lo denotamos de la forma $\text{Ent}(m/k)$ o, también, así: $\left[m/k\right]$.
*** Así, por ejemplo, para los tres casos expuestos:

• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $7$ es $\text{cociente}(7\div 3)=2$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(7/3)=\text{Ent}(2.5)=2$.
• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $1\,036$ es $\text{cociente}(1\,036 \div 3)=345$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(1036/3)=\text{Ent}(345.3333\ldots)=345$
• El número de múltiplos de $11$ menores (o iguales) que $2\,129$ es $\text{cociente}(2\,129 \div 11)=193$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(2129/11)=\text{Ent}(193.545454\ldots)=193$
• ...

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Amontonando cajas

ENUNCIADO. En un almacén hay cajas de $25$ centímetros de altura y cajas de $35$ centímetros de altura. La base de dichas cajas es muy amplia, y todas tienen la misma base, así que podemos poner las cajas en columnas, mezclando las de uno y otro tipo, sin temor a que se caigan. Si todas las columnas han de tener la misma altura, se pide:
a) ¿ Cuál es la altura más pequeña que deben tener dichas columnas ?
b) ¿ De cuántas cajas consta cada una de las columnas de las que se habla en el apartado anterior ? ¿ Cuántas cajas de cada tipo formarán parte de una de esas columnas ?

SOLUCIÓN.
a) La altura $\ell$ de las columnas ha de ser un múltiplo común de las alturas de los dos tipos de cajas ( de $25\,\text{cm}$ y $35\,\text{cm}$, respectivamente ) que van a amontonarse en una misma columna. Además, dicho múltiplo común interesa que sea el menor posible, luego la altura de las columnas corresponde al mínimo común múltiplo de $25$ y $35$, esto es $$\ell=\text{m.c.m}(25,35)=175\,\text{cm}$$

b)
El número de cajas de $25\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 25 = 7$
El número de cajas de $35\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 35 = 5$
Así, pues, el número de cajas que hay en una columna cualquiera es igual a $7+5=12$

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Un problema sobre engranajes

ENUNCIADO. Sean dos ruedas dentadas que están engrandas: $A$, de $60$ dientes; y, $B$, de $40$. Estando parado el mecanismo, se hace una marca en la parte lateral de cada rueda, de modo que dichas marcas coincidan. ¿ Cuántas vueltas debe dar la rueda dentada $B$ para que dichas marcas vuelvan a coincidir ? ¿ Cuántas vueltas tendrá que dar la rueda $A$ ?.

SOLUCIÓN. Para que las dos marcas vuelvan a coincidir, al observar el paso de los dientes ( con respecto a un punto fijado como referencia ) el recuento de dientes en una y otra rueda ha de ser el mismo, y, por supuesto, un múltiplo común del número de dientes de las dos ruedas; si nos interesamos por la primera vez que coinciden las marcas que hemos hecho en una y otra rueda, lógicamente nos quedaremos con el menor múltiplo común, esto es, con $\text{m.c.m.}(40,60)=\text{m.c.m.}(2^3\cdot 5,2^2\cdot 3 \cdot 5)=120$ dientes.

Así, pues, habremos tenido que contabilizar el paso de $120$ dientes, en cada una de las dos ruedas, a fin de que coincidan otra vez las marcas. Ahora bien, como la rueda $A$ tiene $60$ dientes, ésta da $1$ vuelta al paso de esos $60$ dientes, por lo que al paso de $120$ dientes habrá dado $120/60=2$ vueltas; mientras que, como la rueda $B$ tiene $40$ dientes, esta otra habrá tenido que dar $120/40=3$ vueltas.
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Cálculo del mínimo común múltiplo por el método de los factores

ENUNCIADO. Calcúlese el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$

SOLUCIÓN. Sabemos ya cómo encontrar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de múltiplos de los números de dicho conjunto, cada una de las cuales consta de un número infinito de números. Si bien no podemos escribir los infinitos múltiplos en cada uno de los números, basta con escribir los necesarios para, a partir de éstas, obtener la lista de los múltiples comunes; y, finalmente, seleccionar el menor número de dicha lista de múltiples comunes. Éste es un método muy sencillo, pero poco eficaz, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo, aburrido y penoso, pues podría ser que en alguna de las listas de múltiplos tuviésemos que calcular muchos de ellos para dar con el común a los de las otras listas. Veremos ahora otro método más eficaz para encontrar el mínimo común múltiplo, al que llamamos método de los factores.

Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Es evidente que el número formado por el producto de todas las potencias ( de una y otra factorización ), esto es $(2\cdot 3^2)\cdot (3\cdot 5)=270$, es un múltiplo común de los dos números dados. Ahora bien, no es éste el menor posible, ya que de entre '$3^2$' y '$3$' basta con que tomemos el mayor de los dos, es decir '$3^2$'; así, $2\cdot 3^2\cdot 5=90$ es también un múltiplo común de $18$ y $15$, pero menor que $270$. No hay otro múltiplo común que sea menor que $90$, pues necesariamente debemos incorporar en el producto de potencias '$3^2$', '$2$' y '$5$', luego decimos que
$$\text{m.c.m.}(18,15)=90$$

Intentemos extraer ahora alguna regularidad o regla de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.

  A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
    1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) ya sean comunes o no a cada una de las factorizaciones
    2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el mayor de ellos
    3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el mínimo común múltiplo.

Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son o no comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$, $3$ y $5$
Paso 2. Ahora debemos tomar los exponentes de $2^{\square}$, de $3^{\square}$ y de $5^{\square}$, que sean los mayores que encontremos en las factorizaciones, esto es, $2^3$, $3^3$ y $5$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.m.}(72,540,120)=2^3\cdot 3^3 \cdot 5=1080$

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En una caja hay caramelos

Enunciat
En una capsa hi ha entre 450 i 500 caramels. Si els posem en bosses de dos en sobra un; si les bosses són de tres, també en sobra un. I succeeix el mateix si fem bosses de quatre, de cinc i de sis. En qualsevol cas, el caramel que sobra, ens els cruspim. Quants caramels hi hauria a la capsa ?

Resolució
Si anomenem m al nombre de caramel de la capsa i n = m-1 al nombre de caramels que posem a les bosses (descomptem el que sobra) veiem que el nombre de caramels que van a les bosses, n, ha de ser múltiple comú de 2, de 3, de 4, i de 5. El múltiple comú més petit d'aquests (el mínim comú múltiple) és 60. Altres múltiples comuns més grans són 120, 180, ...,480, 540, etcètera, que obtenim multiplicant 60 per nombres naturals consecutius. De tots aquests (no acabaríem mai de comptar-los !) ens interessa el que és més gran que 450 i més petit que 400, és a dir 480. A les bosses hi aniran a parar, per tant, 480 caramels. Si afegim el que ha quedat – que m'acabo de menjar – són 481. Vet aquí el nombre de caramels que hi hauria a la capsa.

La comida del loro

En alguns problemes de repartiment de dues quantitats entre un cert nombre de parts on aquestes quantitats no s'acaben de repartir del tot (residus diferents de zero) es plantegen situacions interessants. Si ens donen com a dades els residus, les quantitats a repartir, i el nombre de parts amb què cal intentar fer el repartiment, resoldre'ls passa també per cercar divisors comuns en un primer pas i, tot seguit, acabar de gestionar el residu. Aquest n'és un exemple que hem comentat a classe. Enunciat Si dividim 4373 i 880 pipes entre un mateix nombre de lloros, els restes (residus) respectius dels repartiments són 8 i 7. Quants lloros hi ha sabent que són més d'una desena i menys d'una centena ? Resolució Anomem x al nombre de lloros, i q al nombre de pipes que queden per repartir (me les menjaré jo !). Pel teorema fonamental de la divisió tenim que 4373 = q.x + 8, la qual cosa vol dir que 4373-8, que és igual a 4365, és múltiple de x Semblantment, 880 = q.x + 7, la qual cosa vol dir que 800-7, que és igual a 873, també és múltiple de x Per tant, com que x ha de ser múltiple comú de 873 i de 4365. Cerquem doncs divisors comuns. Si descoposem els nombres en factors trobem que 4365 = 32.5.97, i 873 = 32.97. Els divisors de 873 són {1,3,9,97,291,873} Els divisors de 4365 són {1,3,5,9,15,45,97,291,485,873,1455,4365} Els divisor comuns de 873 i 4365 són {1,3,9,97,291,873} I, d'aquests, l'únic que és més gran que 10 i més petit que 100 és 97 Observació: No cal, de fet, trobar exhaustivament tots els divisors. A partir de la factorització de tots dos nombres (873=32.97; 4365=32.5.97) , i tenint en compte que el divisor comú que cerquem ha de tenir dues xifres, de seguida trobem que només es pot tractar del nombre 97 Per tant, vet aquí la solució, el nombre de lloros x és 97. Cada lloro es menjarà, doncs, (4365+873)/97 = 54 pipes. I jo em mejaré les 15 pipes (la suma dels dos restes) que han quedat sense repartir entre els lloros, el premi per resoldre el problema !.

Encontrar cinco múltiplos ...

Enunciado:
¿Cuáles son los cinco primeros múltiplos de seis mayores que $-18$?

Solución:
Los múltiplos de $6$ mayores que un cierto número se obtienen sumando $6$ a dicho número, sucesivamente. Así, como $18$ es múltiplo de $6$, y se piden sólo cinco más, obtenemos:
    $-18+6=-12$
    $-12+6=-6$
    $-6+6=0$
    $0+6=6$
    $6+6=12$
Obtenim, doncs, el següent conjunt dels primers cinc múltiples consecutius de $-18$
      $\{-12,-6,0,6,12\}$
$\square$