ENUNCIADO. Calcúlese el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$
SOLUCIÓN. Sabemos ya cómo encontrar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de múltiplos de los números de dicho conjunto, cada una de las cuales consta de un número infinito de números. Si bien no podemos escribir los infinitos múltiplos en cada uno de los números, basta con escribir los necesarios para, a partir de éstas, obtener la lista de los múltiples comunes; y, finalmente, seleccionar el menor número de dicha lista de múltiples comunes. Éste es un método muy sencillo, pero poco eficaz, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo, aburrido y penoso, pues podría ser que en alguna de las listas de múltiplos tuviésemos que calcular muchos de ellos para dar con el común a los de las otras listas. Veremos ahora otro método más eficaz para encontrar el mínimo común múltiplo, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Es evidente que el número formado por el producto de todas las potencias ( de una y otra factorización ), esto es $(2\cdot 3^2)\cdot (3\cdot 5)=270$, es un múltiplo común de los dos números dados. Ahora bien, no es éste el menor posible, ya que de entre '$3^2$' y '$3$' basta con que tomemos el mayor de los dos, es decir '$3^2$'; así, $2\cdot 3^2\cdot 5=90$ es también un múltiplo común de $18$ y $15$, pero menor que $270$. No hay otro múltiplo común que sea menor que $90$, pues necesariamente debemos incorporar en el producto de potencias '$3^2$', '$2$' y '$5$', luego decimos que
$$\text{m.c.m.}(18,15)=90$$
Intentemos extraer ahora alguna regularidad o regla de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) ya sean comunes o no a cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el mayor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el mínimo común múltiplo.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son o no comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$, $3$ y $5$
Paso 2. Ahora debemos tomar los exponentes de $2^{\square}$, de $3^{\square}$ y de $5^{\square}$, que sean los mayores que encontremos en las factorizaciones, esto es, $2^3$, $3^3$ y $5$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.m.}(72,540,120)=2^3\cdot 3^3 \cdot 5=1080$
$\square$
