Encontrar los divisores naturales de $900$

ENUNCIADO. Encontrar todos los divisores naturales de $900$
SOLUCIÓN. Descomponiendo $900$ en factores primos, $900=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^2$. Entonces:
. Los divisores de $2^2$ ( es decir, de $4$ ), que son $1$, $2$ y el propio $4$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $3^2$ ( es decir, de $9$ ), que son $1$, $3$ y el propio $9$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $5^2$ ( es decir, de $25$ ), que son $1$, $5$ y el propio $25$, han de ser a su vez divisores de $900$

Con ésto, ya podemos escribir unos cuantos divisores de $900$: $$1,2,3,4,5,9, 25,...$$ Pero no son todos los que podemos encontrar. En efecto, hay bastantes más:

. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^2=4$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$

. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $3^2=9$ por todos los divisores de $2^2=4$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$

. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $5^2=25$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $2^2=4$ también han de ser divisores de $900$

Estas combinaciones de números las podemos organizar en un diagrama de árbol. Así encontraremos de manera metódica todos los divisores de $900$

Recorriendo todos los caminos del árbol, y multiplicando los tres números que vamos encontrando en cada uno de los $3\cdot 3 \cdot =27$ caminos, encontramos los $27$ divisores de $900$:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$
$1 \cdot 1 \cdot 25 = 25$

$1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$
$1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$
$1 \cdot 3 \cdot 25 = 75$

$1 \cdot 9 \cdot 1 = 9$
$1 \cdot 9 \cdot 5 = 45$
$1 \cdot 9 \cdot 25 = 225$

$2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 1 \cdot 5 = 10$
$2 \cdot 1 \cdot 25 = 50$

$2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$

$2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$
$2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$
$2 \cdot 9 \cdot 25 = 450$

$4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$
$4 \cdot 1 \cdot 5 = 20$
$4 \cdot 1 \cdot 25 = 100$

$4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
$4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
$4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$

$4 \cdot 9 \cdot 1 = 36$
$4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$
$4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$

Esto es
$\text{div}(900)=\{1,2,3,4,5,9,25,6,10,12,15,18,20,25,30,36,45,50,60,75,90,$
      $,100,150,180,300,450,900\}$
$\square$