Definición ( opuesto de un número entero)
Si $\ell$ es un número entero, entonces $\text{opuesto}(\ell)\overset{\text{def}}{=}-\ell$
Ejemplo: $\text{opuesto}(4)=-4$
Sean $m$ y $n$ dos números enteros positivos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
P1. $\text{opuesto}(m)\equiv -m=(-1)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-1)=-1\cdot m \prec 0$
Reglas "de los signos":
P2. $m\cdot n=m\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+1 \right)=n\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+1 \right) \overset{\text{P1}}{\succ} 0$
Ejemplo: $2\cdot 3=3+3=2+2+2=6 \succ 0$
P3. $(-m)\cdot n \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( m \cdot n) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot n) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
Ejemplo: $(-2)\cdot 3=(-1\cdot 2) \cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$
P4. $m \cdot (-n) \overset{\text{conmutativa}}{=} (-n)\cdot m = (-1\cdot n )\cdot m \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( n \cdot m) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(n\cdot m) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
Ejemplo: $3\cdot (-2)=(-2)\cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$
P5. $(-m)\cdot (-n) \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1)\cdot ( m \cdot (-n)) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot (-n)) \overset{\text{P4}}{\succ} 0$
Ejemplo: $(-4)\cdot (-5)=(-1 \cdot 4) \cdot (-5)=(-1)(4\cdot (-5))$
$=\text{opuesto}(4 \cdot (-5))=\text{opuesto}(-20)=20 \succ 0$
$\square$
