Amontonando cajas

ENUNCIADO. En un almacén hay cajas de $25$ centímetros de altura y cajas de $35$ centímetros de altura. La base de dichas cajas es muy amplia, y todas tienen la misma base, así que podemos poner las cajas en columnas, mezclando las de uno y otro tipo, sin temor a que se caigan. Si todas las columnas han de tener la misma altura, se pide:
a) ¿ Cuál es la altura más pequeña que deben tener dichas columnas ?
b) ¿ De cuántas cajas consta cada una de las columnas de las que se habla en el apartado anterior ? ¿ Cuántas cajas de cada tipo formarán parte de una de esas columnas ?

SOLUCIÓN.
a) La altura $\ell$ de las columnas ha de ser un múltiplo común de las alturas de los dos tipos de cajas ( de $25\,\text{cm}$ y $35\,\text{cm}$, respectivamente ) que van a amontonarse en una misma columna. Además, dicho múltiplo común interesa que sea el menor posible, luego la altura de las columnas corresponde al mínimo común múltiplo de $25$ y $35$, esto es $$\ell=\text{m.c.m}(25,35)=175\,\text{cm}$$

b)
El número de cajas de $25\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 25 = 7$
El número de cajas de $35\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 35 = 5$
Así, pues, el número de cajas que hay en una columna cualquiera es igual a $7+5=12$

$\square$

Obteniendo el mínimo común múltiplo de dos números naturales

ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo de $24$ y $32$

SOLUCIÓN.
Vamos a emplear el método de las restas sucesivas para hallar, primero, el máximo común divisor de $24$ y $32$

minuendo     sustraendo       resta
   32           24              8
   24            8             16
   16            8              8
    8            8              0

encontrando $$\text{m.c.d}(32,24)=8$$
Y, a continuación, por la propiedad que dice que para dos números naturales $a$ y $b$ se cumple $$\text{m.c.d}(a,b) \cdot \text{m.c.m}(a,b) = a \cdot b$$ llegamos a $$8 \cdot \left(\text{m.c.m}(32,24)\right) =32 \cdot 24$$ de donde $$\text{m.c.m}(32,24)=32\cdot 24 \div 8 = 96$$

$\square$

Hallar el número natural que corresponde al mínimo común múltiplo de ...

ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo de $16$, $24$ y $40$

SOLUCIÓN.
$\text{m.c.m}(16,24,40)$
  $=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(16,24,40)$
    $=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(2^4,2^3\cdot 3),2^3\cdot 5)$
      $=\text{m.c.m}(2^4 \cdot 3,2^3\cdot 5)$
        $=2^4\cdot 3 \cdot 5$
          $=16\cdot 3 \cdot 5$
            $=48 \cdot 5$
              $=240$
$\square$