Número de múltiplos enteros positivos de un cierto número $k$ que son menores o iguales que un número $m$ mayor o igual que $k$

Existe un caso que no merece mucho interés: si $k=m$, el número pedido de múltiplos es sólo uno, que es el propio $k$ (que a su vez es igual a $m$). Ocupémonos a continuación del resto de casos, que son los interesantes.

Trabajaremos con los números enteros positivos. Empecemos experimentando un poco. Para ello, hablemos de números que sean múltiplos, pongamos que de $3$ (sin pérdida de generalidad, como veremos, si considerásemos múltiplos de otro número distinto) y menores que un cierto número (mayor o igual que $3$, claro). Empecemos con un caso muy sencillito, para el que podamos hacer un recuento del número de múltiplos que encontremos (primero los encontraremos y después contaremos cuántos hay): pongamos que queremos determinar el número de divisores enteros positivos múltiplos de $3$, menores o iguales que $7$. No hace falta esforzarnos mucho: son los siguientes $3$ y $6$ (no hay más); en efecto, los dos números son múltiplos de $3$, pues la división entera (euclídea) de cada uno de ellos entre $3$ da resto igual a $0$, y ambos son menores que $7$, por tanto el número pedido de múltiplos de $3$ menores que $7$ es dos.

Parece que no vaya a haber ninguna dificultad si lo queremos hacer con otros valores; sin embargo, veamos que esto no es así. Responder a una pregunta de este estilo, y hacerlo de esta manera (encontrando todos los múltiplos y haciendo, después, un recuento de los mismos), es trabajoso si el número dado (del que no podemos pasar) es relativamente grande (no como el el tope igual a $7$, que es pequeño). Pogamos, por ejemplo, que dicho número sea $1036$. ¿A que ya no resulta tan fácil, ahora? Encontrar los múltiplos (para contarlos después uno a uno) es posible, pero es costoso. Es pues bien claro que tendremos que encontrar un procedimiento más corto, más elegante, y por tanto, un procedimiento eficiente. Veamos cuál puede ser.

En el primer caso expuesto (para contar el número de múltiples de $3$ menores que $7$), démonos cuenta, desde otro punto de vista, de que son dos (los que hemos encontrado) porque, al hacer la división entera (euclídea) entre la diferencia de $7$ (el mayor) y $3$ (el de partida) —que es igual a $4$— entre $3$, obtenemos el número de saltos de longitud $3$ que tenemos que dar partiendo del más pequeño, $3$, para acercarnos lo más posible al número tope, $7$. En este caso tan sencillo, es claro que hay un sólo salto (el cociente de la división euclídea entre $4$ y $3$ es $1$), con lo que habrá dos números múltiplos de $3$, el del principio (del salto) y el del final del mismo (que es $6$); esto es, una unidad más que el número de saltos que hemos tenido que dar.

Por tanto, en un caso general, debermos sumar una unidad al número de saltos para obtener el número de múltiplos pedido que sea menor (o igual) que el número dado.

Este número de saltos podemos obtenerlos de manera directa sirviéndonos de nuestra vieja amiga la división euclídea (división con números enteros), pues, como hemos visto, es igual al cociente de dicha división. Así pues, en general, el número de múltiplos de $\ell$ menores o iguales que $m$ (siendo $\ell \le m$) es igual al cociente de la división euclídea, esto es $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}\left((m-k) \div k\right)+1$$

Podemos pues responder ya a la segunda pregunta: hay $346$ múltiplos de $3$ menores que $1036$. En efecto, al ser el cociente de la división $(1\,036-3) \div 3$ (número de saltos de longitud $3$ que hay que dar partiendo del $3$ hasta acercarnos tanto como podamos a $1036$) igual a $344$, luego el número de múltiplos de $3$ menores o iguales que $1036$ (en este caso, serán menores, por no ser el propio $1036$ un múltiplo de $3$) es $344+1=345$.

Otro ejemplo: ¿cuántos múltiplos de $11$ menores que $2\,129$ hay? Ahora ya es muy fácil responder a prenguntas de este estilo: como el número de saltos de longitud $11$ entre el propio $11$ (que es el múltiplo de $11$ más pequeño) y $2\,129$ es igual al cociente de la división euclídea $(2\,129-11) \div 11$, que es $192$, entonces el número pedido de múltiplos (de $11$) menores que $2\,129$ es $192+1=193$.

Si nos fijamos bien en lo que hemos hecho, vemos que existe una variante aún más directa: al dividir (división euclídea) el número tope entre el número de multiplicidad, el cociente nos da, sin más, el número de múltiplos pedido, esto es: $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}(m\div k)$$

*** Comentario: Otra manera de expresar esto es mediante lo que llamamos parte entera de un número decimal, esto es, el caso que nos ocupa: el número entero menor más y más próximo al resultado (en principio, decimal) de la división decimal $m/k$, y lo denotamos de la forma $\text{Ent}(m/k)$ o, también, así: $\left[m/k\right]$.
*** Así, por ejemplo, para los tres casos expuestos:

• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $7$ es $\text{cociente}(7\div 3)=2$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(7/3)=\text{Ent}(2.5)=2$.
• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $1\,036$ es $\text{cociente}(1\,036 \div 3)=345$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(1036/3)=\text{Ent}(345.3333\ldots)=345$
• El número de múltiplos de $11$ menores (o iguales) que $2\,129$ es $\text{cociente}(2\,129 \div 11)=193$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(2129/11)=\text{Ent}(193.545454\ldots)=193$
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