ENUNCIADO:
Consideremos cien bolas ordenadas en fila, habiendo un hueco entre bola y bola.
a) ¿Cuántas bolas hay entre la quinta y la octava bola, ambas incluidas ? ¿ Cuántos huecos hay entre ellas?
b) ¿Cuántas bolas hay entre la undécima bola y la quincuagésimo séptima bola, ambas incluidas? ¿Cuántos huecos hay entre las dos bolas mencionadas?
SOLUCIÓN:
a) Entre la quinta y la sexta bolas, ambas incluidas, hay una bola intermedia ( la quinta bola, es decir $6-5=1$ bola entre las dos ), y, además, teniendo en cuenta las dos bolas de los extremos ( la quinta y la sexta ), contabilizamos un total de $(6-5)+2 = 1+2=3$ bolas. Pues bien, entre la quinta y la octava bolas ( ambas incluidas ) deberá haber $(8-5)+2=3+2=5$ bolas. Y, naturalmente, un hueco menos que el número de dichas bolas, es decir, $((8-5)+2)-1$ huecos, esto es, $5-1=4$ huecos.
b) Generalizando el procedimiento de recuento que hemos aplicado en el primer apartado: entre la $m$-ésima y la $n$-ésima bolas ( ambas incluidas, y siendo $m$ menor o igual que $n$ ) hay $(n-m)+2$ bolas y $((n-m)+2)-1$ huecos, esto es $(n-m)+1$ huecos, luego, particularizando entre la undécima y la quincuagésimo séptima bola hay $(57-11)+2=46+2=48$ bolas y $48-1=47$ huecos.
$\square$
