Algoritmo 'ruso' ( o de duplicación y mediación ) para multiplicar dos números naturales

ENUNCIADO. Aplicar el algoritmo ruso de la multiplicación para hallar el producto $p$ de $a=26$ por $b=13$

SOLUCIÓN.
Observemos que desarrollando en serie de potencias de base $2$ el segundo factor, $13$, obtenemos $$13=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ esto es $$13=1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ luego el producto pedido es $$26\cdot 13=26 \cdot (1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3) =26+104+208=338$$ donde, en el último paso hemos empleado la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.

Organizaremos los cálculos de la siguiente forma

--------------------------------
 a=26           b=13    sumandos
--------------------------------
  26             13          
  13   impar     26         26 
   6             52         
   3   impar    104        104
   1   impar    208        208

                          =====
                        suma=338 ---> p

En la primera columna se anotan las mitades sucesivas, partiendo de $a$, y sin considerar el resto (de la división por $2$). En la segunda columna se anota si el número de la misma fila y de la primera columna es impar. En la tercera columna, y partiendo del segundo factor $b$, se van anotando el doble de los números que vamos obteniendo . Finalmente, en la cuarta columna, volvemos a escribir los números de la tercera, siempre que el numero de la primera y de la misma fila sea impar; éstos números son los que sumaremos para obtener $p$.

Así, pues, con la ayuda de dicha tabla, es fácil obtener el producto pedido, sin necesidad de recordar las tablas de multiplicar ( basta saber extraer la mitad ( mediar ), duplicar, y sumar ), así que, de manera muy mecánica, obtenemos $$a \cdot b = 26 \cdot 13 = 338$$

$\square$

Multiplicación de dos números naturales empleando el algoritmo egipcio

ENUNCIADO. Aplicar el algoritmo egipcio de la multiplicación para hallar el producto $p$ de $a=13$ por $b=24$

SOLUCIÓN.
Observemos que desarrollando en serie de potencias de base $2$ el primer factor, $13$, obtenemos $$13=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ esto es $$13=1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ luego el producto pedido es $$13\cdot 24=(1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3) \cdot 24=1+4\cdot 24 + 8\cdot 24=1+96+192$$ donde, en el último paso hemos empleado la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.

Organizaremos los cálculos de la siguiente forma

-----------------------------
  1              b=24
-----------------------------
  1        1      24      24    
  2               
  4        4      96      96
  8        8     192     192
        ====            =====
        a=13            p=312

En la primera columna se anotan los números $\{1=2^0,2,4,8,16,32,\ldots\}$. En la segunda, sólo los números de la primera columna que aparecen en el desarrollo en serie de potencias de base $2$ del primer factor, que es $13$ ( démonos cuenta que la suma de estos números ha de ser igual al primer factor, $13$ ). En la tercera columna se van anotando los números $\{24,48,96,192,\ldots\}$ que obtenemos doblando el segundo factor, el doble del doble del segundo factor, y así sucesivamente; tomando solamente los números que se corresponden a los seleccionados en la segunda columna. Finalmente, basta sumar los números de la tercera columna, disponiéndolos para más claridad en la cuarta columna.

Así, pues, con la ayuda de dicha tabla, es fácil obtener el producto pedido, sin necesidad de recordar las tablas de multiplicar ( basta saber sumar y doblar ) y de manera muy mecánica $$a \cdot b = 13 \cdot 24 = 312$$

$\square$

Repartiéndonos las nueces

ENUNCIADO. Hallar el cociente y el resto de la división $7\div 3$

SOLUCIÓN. Imaginemos que queremos repartir $7$ nueces ( dividendo ) entre $3$ personas (divisor ), de manera que a cada una le corresponda la misma cantidad de nueces ( cociente ). Sentemos a las tres personas alrededor de una mesa Si, por turnos, vamos asignando una nuez a cada persona hasta que las tres tengan el mismo número de nueces, veremos que a cada una le habremos dado $2$ nueces; por lo tanto el cociente es $2$. Así que el número de nueces que les habremos dado es $2\cdot 3=6$. Ahora bien, habrá quedado $7-3\cdot 2 = 1$ nuez por distribuir, dicha cantidad de nueces que no podemos repartir ( en este caso sólo una ) es el resto de la división.

Observemos que debe cumplirse que $7=3\cdot 2+1$, esto es, en un caso general podemos decir que el dividendo ha de ser igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto necesariamente menor que el divisor. Bien, pues eso es lo que afirma el teorema de la división euclídea, para números naturales.

$\square$

Ejercicios resueltos del segundo examen de los temas 1,2 y 3 de 1.º de ESO ( miércoles, 30/11/2016 )

[1|2|3|4|5|6|7]

Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales, empleando las restas sucesivas

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $24$ y $18$, empleando el método de las restas sucesivas.

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que, dados dos números naturales $a$ y $b$, tales que $a \ge b$, entonces $\text{m.c.d.}(a,b)=a$ si $a=b$ y en caso contrario $\text{m.c.d.}(a,b)=\text{m.c.d}(\text{máx}\{a-b,b\},\text{mín}\{a-b,b\})$. Por consiguiente, podemos aplicar una y otra vez dicha propiedad hasta obtener una diferencia igual a $0$, en cuyo caso el proceso finaliza, concluyendo que el máximo común divisor es igual al actual minuendo ( que es igual al sustraendo ). Y organizando los cálculos en una tabla, encontramos:

minuendo    sustraendo    diferencia
--------    ----------    ----------
24             18            6
18              6           12
12              6            6
6               6            0 (fin)

Así, pues, obtenemos $$\text{m.c.d.}(24,18)=6$$
$\square$

Ejercicio de aplicación del método de los factores para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

ENUNCIADO. Descomponer en factores primos los números $180$, $30$ y $120$. A continuación, emplear las reglas \emph{de los factores} para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos tres números.

SOLUCIÓN.
$\text{m.c.d}(180,30,120)=\text{m.c.d}(2^2\cdot 3^2\cdot 5\,,\,2\cdot 3\cdot 5\,,\,2^3\cdot 3 \cdot 5)=2\cdot 3 \cdot 5 =30$

$\text{m.c.m}(180,30,120)=\text{m.c.m}(2^2\cdot 3^2\cdot 5\,,\,2\cdot 3\cdot 5\,,\,2^3\cdot 3 \cdot 5)=2^3 \cdot 3^2\cdot 5=360$

$\square$

Reflexionando sobre la división con números naturales

ENUNCIADO. Queremos distribuir $2451$ cromos entre $22$ niños, de manera que a cada niño le corresponda el mismo número de cromos que a los demás. ¿ Cuántos cromos debemos dar a cada niño ? ¿ Podremos repartir todos los cromos ? Cuántos cromos quedarán por repartir ?

SOLUCIÓN.
Las respuestas a estas preguntas vienen dadas por el resultado de la división euclídea $2451 \div 22$, en la que siendo $2451$ el dividendo, y $22$ el divisor, debemos calcular el cociente y el resto de dicha división.

Para ello, tenemos que tener en cuenta el teorema de la división euclídea ( en este caso, con números naturales ), que dice lo siguiente:
Dados dos números naturales $a$ y $b$, siendo $a \ge b$ ( denominamos a $a$, dividendo; y, a $b$, divisor ), entonces existen únicamente dos números naturales, $c$ ( al que llamamos cociente ) y $r$ ( al que llamamos resto ) que cumplen :
1. $a=b\cdot c+r$
2. $r\prec b$

Vamos a aplicarlo por tanto para calcular $c$ y $r$. Al hacerlo, pondremos en práctica el llamado algoritmo de la división con números naturales. Lo llevaremos a cabo en varios pasos, determinando en cada uno de los mismos las cifras de los respectivos órdenes de magnitud ( de mayor orden a menor orden ), que, en este caso concreto, y como vamos a ver enseguida, corresponden respectivamente a las centenas, decenas y unidades de $c$. El proceso acaba cuando se cumpla que la cantidad remanente de cromos sea menor que el número de niños. Organizaremos los cálculos en la siguiente tabla:

cantidad a repartir  número de cromos por niño   cromos que quedan por repartir
-------------------  -------------------------      ------------------------------
2451                         100                  2451-100\cdot 22 = 251 > 22
 251                          10               2451-110\cdot 22=31 > 22
  31                           1             2451-111\cdot 22=9 < 22 ( fin )

Concluimos, del último paso ( última línea de la tabla ), que $c=100+10+1=111$ y $r=9$. Y hemos terminado.
$\square$

Empleando el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números enteros

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $28$ y $21$, empleando el algoritmo de Euclides. A continuación, y a partir de dicho resultado, calcular el mínimo común múltiplo.

SOLUCIÓN.
Recordemos la siguiente propiedad:
Dados dos números enteros $a$ y $b$, siendo $a \ge b$; y considerando la división euclídea $a\div b$, donde $r$ es el resto de la misma, entonces $\text{m.c.d}(a,b)=b$ si $r=0$; y, si $r\neq 0$, entonces $\text{m.c.d}(a,b)=\text{m.c.d}(b,r)$.

El algoritmo de Euclides consiste pues en aplicar dicha propiedad, una y otra vez, realizando divisiones sucesivas, de tal modo que, en cada paso, el nuevo dividendo sea el antiguo divisor y el nuevo divisor el antiguo resto, hasta llegar a una división con resto igual a cero. Llegados a este punto, el máximo común divisor ha de ser igual al divisor en dicho paso, finalizando así el algoritmo.

Podemos organizar los cálculos de las divisiones sucesivas en una tabla. Así, para los números dados en este ejercicio, obtenemos

    dividendo        divisor      resto
   ----------        -------     ------
      28               21          7
      21                7          0

luego $$\text{m.c.d}(28,21)=7$$

Calculemos a continuación el mínimo común múltiplo de $28$ y $11$. Como ya conocemos el máximo común divisor, que es $7$, vamos a utilizar otra propiedad que también hemos estudiado:

Dados dos números enteros $a$ y $b$, entonces se cumple que $$\text{m.c.m}(a,b)\cdot \text{m.c.d.}(a,b)=a\cdot b$$ Para los números dados, tenemos pues que $$\text{m.c.m}(28,21) \cdot 7=28\cdot 21$$ por tanto $$\text{m.c.m.}(28,21)=28\cdot 21 \div 7 = 84$$

$\square$

Operaciones combinadas con la suma, el producto, el valor absoluto y el opuesto de números enteros

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada: $$\left|\text{opuesto}(3)\right|\cdot 2 - \text{opuesto}(\left|-2\right|\cdot 3)$$

SOLUCIÓN.
$\left|\text{opuesto}(3)\right|\cdot 2 - \text{opuesto}(\left|-2\right|\cdot 3)$
  $=\left|-3\right|\cdot 2 - \text{opuesto}(2\cdot 3)$
    $=3\cdot 2 - \text{opuesto}(6)$
      $=3\cdot 2 +\text{opuesto}\left( \text{opuesto}(6)\right)$
        $=6 + 6$
          $=12$
$\square$

Operando con números enteros

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada $$(1-4)\cdot 5+(-6)\div (-2)+(-1)\cdot (-4)+(-28)\div 7$$

SOLUCIÓN.
$(1-4)\cdot 5+(-6)\div (-2)+(-1)\cdot (-4)+(-28)\div 7$
  $=-3\cdot 5+3+4+(-4)$
    $=-15+3+4+(-4)$
      $=-12+4+(-4)$
        $=-12+(4+(-4))$
          $=-12+0$
            $=-12$
$\square$

Construyendo cuadrados con piezas rectangulares

ENUNCIADO. Considérese un número ilimitado de piezas planas iguales de forma rectangular, cada una de las cuales mide $10$ milímetros de ancho y $15$ milímetros de largo. Juntando dichas piezas en filas y columnas, queremos formar el menor cuadrado posible.
a ) ¿ Cuál será la longitud del lado de dicho cuadrado ?
b ) ¿ Cuántas piezas necesitaremos para formarlo ?

SOLUCIÓN.
a)
La longitud del lado de un cuadrado cualquiera que así se forme ha de ser múltiplo común de las longitudes de los lados de las piezas rectangulares que juntamos; como, además, nos interesa el menor cuadrado posible, la longitud del lado $\ell$ de dicho cuadrado mínimo ha de ser igual al menor múltiplo común, esto es, al mínimo común múltiplo de $10$ y $15$ $$\text{m.c.m}(10,15)=\text{m.c.m}({2\cdot 5, 3 \cdot 5})=2\cdot 3 \cdot 5 = 30$$ Así que $$\ell=30\;\text{milímetros}$$

b)
Tomemos ahora una de las piezas rectangulares, de $10$ milímetros de ancho y $15$ milímetros de largo. El número de veces que el lado de $10$ milímetros queda comprendido por el lado del cuadrado, que acabamos de ver que es de $30$ milímetros, es $30\div 10=3$; y el número de veces que el lado de $15$ milímetros queda comprendido por el lado de dicho cuadrado es $30\div 15=2$. Por consiguiente, el número de rectángulos que necesitaremos juntar ( lado con lado, a lo largo y a lo ancho ) para formar el cuadrado es: $$3\cdot 2=6 \;\text{rectángulos}$$
$\square$

Años bisiestos y celebraciones

ENUNCIADO. Cada diez años, en un barrio de la ciudad se organiza una fiesta conmemorativa. En el año $2016$, que es bisiesto, se ha celebrado dicha fiesta. ¿En qué año bisiesto se realizará la próxima conmemoración?

SOLUCIÓN. Recordemos que se da un año bisiesto cada $4$ años. Teniendo en cuenta que se pide el próximo año (a partir del año bisiesto $2016$) que sea bisiesto y que se dé la celebración de una conmemoración, deducimos que el número de años que ha de transcurrir ha de ser el menor múltiplo común (esto es, el mínimo común múltiplo) de $10$ y $4$, que es igual a $$\text{m.c.m}(4,10)=\text{m.c.m}(2\cdot 2,2\cdot 5)=2\cdot 2 \cdot 5= 20 \; \text{años}$$ Así, pues, el próximo año bisiesto que se va a celebrar la conmemoración será el año $$2016+20 \rightarrow 2036$$
$\square$

Sacando factor común

ENUNCIADO. Extraer factor común de la siguiente suma $$30+24+42$$

SOLUCIÓN.

Procedimiento I
El máximo común divisor de $30$, $24$ y $42$ es $\text{m.c.d}(30,24,42)=6$, por tanto la suma pedida puede escribirse de la forma $$6\cdot 30\div 6+6\cdot 24\div 6+6\cdot 42\div 6$$ esto es como $$6\cdot 5 + 6\cdot 4+6\cdot 7$$ y aplicando ahora el recíproco de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma llegamos a $$6\cdot ( 5+4+7)$$

Procedimiento II
Dando un rodeo, llegamos al mismo resultado de la siguiente forma. Descomponiendo cada uno de los términos de la suma en factores primos, encontramos que
$$30=2\cdot 3 \cdot 5$$ $$24=2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3$$ $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ luego la suma pedida puede expresarse de la forma $$2\cdot 3 \cdot 5+2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 +2\cdot 3 \cdot 7$$ que es lo mismo que $$2\cdot 3 \cdot 5+2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 +2\cdot 3 \cdot 7$$ Observemos ahora que el facotr $2\cdot 3$ es común a los tres términos, luego aplicando el recíproco de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, obtenemos $$2\cdot 3\cdot ( 5+2 \cdot 2 + 7)$$ es decir $$6 \cdot ( 5+ 4 + 7)$$
$\square$

Embalando libros para hacer un traslado

ENUNCIADO. Tenemos $14$ libros de química, $21$ libros de física y $35$ libros de matemáticas. Como queremos hacer un traslado, necesitamos ponerlos en cajas, de manera que en cada caja haya el mismo tipo libros y, también, el mismo número de libros. Si el número de cajas tiene que ser el menor posible, ¿ cuántos libros deberemos poner en cada caja ?. ¿ Cuántas cajas necesitaremos ?.

SOLUCIÓN.
Como ha de haber el mismo número de libros en cada caja, el número de libros que contenga cada una ha de ser un múltiplo común de $14$, $21$ y $35$. Además, al requerir que el número de cajas sea el menor posible, el número de libros en cada caja ha de ser el mayor posible. Así, pues, el número de libros por caja tiene que ser igual al mayor divisor común, esto es, al máximo común divisor de $14$, $21$ y $35$. Es claro que $\text{m.c.d.}(14,21,35)=\text{m.c.d}(7\cdot 2,7\cdot 3, 7\cdot 5)=7$, luego cada caja ha de contener $7$ libros.

El número de cajas necesarias para embalar los libros de química es, pues, igual a $14\div 7=2$. Para embalar los libros de física hacen falta $21 \div 7=3$ cajas. Y para embalar los libros de matemáticas necesitamos $35 \div 7=5$ cajas. Así que necesitamos un total de $2+3+5=10$ cajas para embalar todos los libros.
$\square$

Amontonando cajas

ENUNCIDO. ¿ Cuántas cajas de $2$ cm de alto, de $5$ cm de ancho, y $3$ cm de alto se necesitan, como mínimo, para formar un cubo ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo pedido. Su longitud debe corresponder a un múltiplo común de las las longitudes de las aristas de las cajas; y como el cubo que tenemos que formar ha de ser el menor posible, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los tres datos dados $$\ell=\text{m.c.m.}(2,5,3)=30 \; \text{cm}$$ Para saber cuántas cajas necesitamos para formar el cubo razonaremos de la siguiente manera:

. El número de veces que podemos superponer un segmento de $3$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 3 =10$

. El número de veces que podemos superponer un segmento de $2$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 2 =15$

. El número de veces que podemos superponer un segmento de $5$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 5 =6$

Multiplicando el número de veces que hemos calculado al superponer cada una de las tres aristas de una de las cajas sobre las respectivas aristas del cubo, deducimos que necesitamos $10\cdot 15 \cdot 6 = 900$ cajas

$\square$

Raíz cúbica

ENUNCIADO. Un bloque de piedra con forma de cubo tiene un volumen de $8$ metros cúbicos. ¿Cuál es la longitud de su arista?

SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo. Entonces, como sabemos que $\ell \cdot \ell \cdot \ell=8$, esto es $\ell^3=8$, deducimos que $\ell$ ha de ser igual a $2$ metros, ya que $2\cdot 2\cdot 2=8$.

OBSERVACIÓN. Podemos escribir lo situiente $$\ell^3=8\Leftrightarrow \ell=\sqrt[3]{8}=2$$ A esta operación ( que deshace la multiplicación de un número consigo mismo tres veces, es decir, el cubo de dicho número ) la llamamos raíz cúbica y, como acabamos de ver, consiste en encontrar un número tal que el resultado de multiplicarlo consigo mismo tres veces sea igual a una cantidad dada.

$\square$

Raíz cuadrada

ENUNCIADO. Un habitación cuadrada tiene $36$ metros cuadrados de área. ¿ Cuánto mide el lado de la habitación ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ el lado pedido. Entonces $\ell \cdot \ell$, esto es $\ell^2$, ha de ser igual a $36$, con lo cual el valor de $\ell$ ha de ser $6$ metros, ya que $6\cdot 6 = 36$.

OBSERVACIÓN. Podemos escribir lo situiente $$\ell^2=36 \Leftrightarrow \ell=\sqrt{36}=6$$ A esta operación ( que deshace la multiplicación de un número consigo mismo, es decir, el cuadrado de dicho número ) la llamamos raíz cuadrada y, como acabamos de ver, consiste en encontrar un número tal que al multiplicarlo consigo mismo se obtenga la cantidad dada.

$\square$

Un problema de divisibilidad

ENUNCIADO. Encuéntrense todas las parejas de números enteros no negativos tales que sus dos componentes sean múltiplos de $16$ y que la suma de las mismas sea igual a $80$

SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ a la primera componente de las parejas $(a,b)$ que queremos encontrar. Es claro que debemos buscar sus valores entre los múltiplos de $16$, esto es $$\dot{16}=\{0,16,32,48,64,80,96,\ldots\}$$ Por tanto, la segunda componente $b$ ha de ser igual a $80-a$, pero, además, el número resultante tiene que ser, también, múltiplo de $16$. Podemos organizar los ensayos/cálculos en una tabla:

a            80-a      ¿ (80-a) es un entero positivo múltiplo de 16 ?
----------  --------   -----------------------------------------------      
    0       80-0=80    sí, ya que el resto de 80 : 16 es 0
   16       80-16=64   sí, ya que el resto de 64 : 16 es 0
   32       80-32=48   sí, ya que el resto de 48 : 16 es 0  
   64       80-64=16   sí, ya que el resto de 16 : 16 es 0
   80       80-80=0    sí, pues 0 es múltiplo de cualquier número distinto de cero 
   90       80-90=-10  no, pues -10 no es un entero positivo
  106       80-106=-26 no (a partir de a=90, obtenemos n. negativos )
  ...       ...        no 

Así pues, el conjunto de parejas pedido es $$\{(0,80),(16,64),(32,48)\}$$

Amontonando cajas

ENUNCIADO. En un almacén hay cajas de $25$ centímetros de altura y cajas de $35$ centímetros de altura. La base de dichas cajas es muy amplia, y todas tienen la misma base, así que podemos poner las cajas en columnas, mezclando las de uno y otro tipo, sin temor a que se caigan. Si todas las columnas han de tener la misma altura, se pide:
a) ¿ Cuál es la altura más pequeña que deben tener dichas columnas ?
b) ¿ De cuántas cajas consta cada una de las columnas de las que se habla en el apartado anterior ? ¿ Cuántas cajas de cada tipo formarán parte de una de esas columnas ?

SOLUCIÓN.
a) La altura $\ell$ de las columnas ha de ser un múltiplo común de las alturas de los dos tipos de cajas ( de $25\,\text{cm}$ y $35\,\text{cm}$, respectivamente ) que van a amontonarse en una misma columna. Además, dicho múltiplo común interesa que sea el menor posible, luego la altura de las columnas corresponde al mínimo común múltiplo de $25$ y $35$, esto es $$\ell=\text{m.c.m}(25,35)=175\,\text{cm}$$

b)
El número de cajas de $25\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 25 = 7$
El número de cajas de $35\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 35 = 5$
Así, pues, el número de cajas que hay en una columna cualquiera es igual a $7+5=12$

$\square$

Algunas propiedades útiles para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor

P1.    $\text{m.c.m.}(a,b,c)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(a,b),c\right)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(a,c),b\right)=$
            $=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(b,c),a\right)$

      Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.m.}(6,15,30)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,15),30\right)=30$
            $=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,30),15\right)=\text{m.c.m.}(30,15)=30$
            $=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(15,30),6\right)=\text{m.c.m.}(30,6)=30$

P2.    $\text{m.c.d.}(a,b,c)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,b),c\right)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,c),b\right)=$
            $=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(b,c),a\right)$

      Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15,30)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,15),30\right)=3$
            $=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,30),15\right)=\text{m.c.d.}(6,15)=3$
            $=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(15,30),6\right)=\text{m.c.d.}(15,6)=3$


P3.    $a\cdot b=\text{m.c.d.}(a,b)\cdot\text{m.c.m.}(a,b)$

      Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15)=3$, $\text{m.c.m.}(6,15)=30$, y $a\cdot b=6\cdot 15=90$; y se cumple que $$6\cdot 15 = 30\cdot 3=90$$

OBSERVACIÓN. Esta tercera propiedad es muy útil, pues permite emplear los métodos de las restas sucesivas y el de las divisiones sucesivas ( algoritmo de Euclides ) para calcular, primero, el máximo común divisor de los dos números; y, a partir de éste, calcular el mínimo común múltiplo, pues es claro que deberá cumplirse que $$\text{m.c.m.}(a,b)=(a \cdot b) \div \text{m.c.d.}(a,b)$$

Recordemos que dos programa recursivos ( escritos en lenguaje LOGO ), bien sencillos, para calcular el máximo común divisor de dos números naturales son

procediment mcd_restes_successives :a :b
  si :a=:b 
     [escriu.seguit [mcd=] escriu :a  acaba] 
     [
       si :a<:b 
         [posa.a "b :a] 
       [posa.a "a (:a - :b) mcd_restes_successives :a :b]
     ]
fi

procediment mcd_Euclides :a :b
  fes.local "r residu :a :b
  si :r=0 
       [escriu.seguit [mcd=] escriu :b  acaba] 
     [
       posa.a "a :b
       posa.a "b :r
       mcd_Euclides :a :b
     ]
fi

Con ayuda de un intérprete de LOGO, escribimos
%mcd_restes_successives 3742036 1500872
o bien
%mcd_Euclides 3742036 1500872
y obtenemos
$$\text{m.c.d}(3742036,1500872)=4$$

Por consiguiente, y empleando la propiedad P3., $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div \text{m.c.d.}(3742036,1500872)$$ y por tanto $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div 4=1404079263848$$
$\square$

Aplicando la noción de mínimo común múltiplo

ENUNCIADO. A las ocho de la mañana, cada $12$ días, Juan coge un determinado autobús. María coge el mismo autobús cada $10$ días, a la misma hora. Un día, Juan y María se conocen en la parada del autobús. ¿ Cuántos días han de pasar hasta que coincidan por segunda vez ?

SOLUCIÓN.
El número de días que ha de pasar hasta que coincidan otras veces ha de ser múltiplo de $12$ y de $10$; además, nos interesa saber cuál es el menor múltiplo común ( esto es, el mínimo común múltiplo ), pues éste es el tiempo mínimo que ha de transcurrir hasta el nuevo encuentro. Calculándolo, obtenemos $$\text{m.c.m}(12,10)=60$$ luego han de transcurrir $60$ días hasta que Juan y María vuelvan a encontrarse.

OBSERVACIÓN. En ese intervalo de tiempo, Juan habrá cogido el autobús $60 \div 12 = 5$ veces; y, María, $60\div 10=6$ veces.
$\square$

Aplicando la noción de máximo común divisor

ENUNCIADO. Dos listones de madera tienen longitudes respectivas de $32$ y $24$ decímetros. ¿ Cuántos trozos de igual longitud debemos cortar de uno y otro para que el número de dichos trozos sea el menor posible y de tal forma que no sobre ningún pedazo de listón ? ¿ Cuál será la longitud de cada uno de dichos trozos ?.

SOLUCIÓN.
La longitud $\ell$ de los trozos ha de ser un divisor común de las longitudes de uno y otro listón; además, si el número de trozos en que cortemos los dos listones ha de ser el menor posible, dicho divisor común ha de ser máximo, luego la longitud de los trozos es igual al máximo común divisor de $32$ y $24$. Para calcularlo, emplearemos el método de las restas sucesivas

con lo cual $$\text{m.c.d.}(32,24)=8$$ así que $\ell=8\,\text{dm}$. Por tanto, el número de trozos que obtendremos es $$(32+24)\div 8 = 7\; \text{trozos}$$
$\square$

Encontrar el máximo común divisor de dos números naturales, por el método de las restas sucesivas

ENUNCIADO. Calcular el máximo común divisor de $1150$ y $220$ empleando el algoritmo de las restas sucesivas

SOLUCIÓN. Tengamos en cuenta la siguiente propiedad, que es muy evidente: Sean $a$ y $b$ dos números naturales, entonces si $a=b$ se tiene que $\text{m.c.d}(a,b)=a$; y, en caso contrario, si $a {>} b$ o bien $b {>}a$, deberá cumplirse que $$\text{m.c.d}(a,b)=\text{m.c.d.}\left(\text{máximo}(\{a,b\}),\text{máximo}(\{a,b\})-\text{mínimo}(\{a,b\}\right)$$ Iterando este operación [ intercambiando los términos de la resta si el minuendo fuese menor que el sustraendo ], hasta el paso en que el resultado de dicha resta sea cero, deberemos concluir entonces que el máximo común divisor de $a$ y $b$ ha de ser igual a los valores iguales de los términos de esta última resta.

La siguiente tabla ilustra el procedimiento cuando lo implementamos manualmente, organizando los cálculos en una tabla

OBSERVACIÓN. Si bien este método es menos eficaz que el de Euclides ( véase [éste otro artículo] en el que se utiliza dicho método para otro par de números ) -- ambos métodos se atribuyen a Euclides --, es muy fácil programarlo en un ordenador. En primero y segundo de ESO, recomiendo emplear el lenguaje Logo, si se dispone de un intérprete de dicho lenguaje de programación. Es preferible este método al m. basado en la descomposición en factores primos, en el caso de que los números dados no sean pequeños y sus descomposiciones en factores sean demasiado laboriosas. Y es tanto más eficaz cuanto menor sea la diferencia entre los dos números dados

El algoritmo se puede escribir en un lenguaje de programación, por ejemplo en Logo ( muy apropiado para los primeros cursos de ESO ), para poder implementarlo en un ordenador en el que tengamos instalado un intérprete de Logo:

procediment mcd_restes_successives :a :b
  si :a=:b 
     [escriu.seguit [mcd=] escriu :a  acaba] 
     [
       si :a<:b 
         [posa.a "b :a] 
       [posa.a "a (:a - :b) mcd_restes_successives :a :b]
     ]
fi

Para poner en marcha el programa en el intérprete de Logo escribimos (en la línea de comandos):
% mcd_restes_successives 1150 220y validamos la petición ( pulsando la tecla Enter )
dando como respuesta
mcd=10

$\square$

Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales empleando el algoritmo de Euclides

ENUNCIADO. Calcular el máximo común divisor de $1050$ y $22$, empleando el algoritmo de Euclides

SOLUCIÓN. Dados dos números naturales $a$ y $b$, con $a \ge b$, se cumple la siguiente propiedad $$\text{m.c.d.}(a,b)=\text{m.c.d}(b,r)$$ donde $r$ representa el resto de la división $a \div b$. Iterando esta propiedad, hasta llegar a una división con resto igual a $0$, vemos que el máximo común divisor pedido ha de ser igual al divisor de la última división.

Así, pues, organizando los cálculos en una tabla con los números del ejercicio, se llega a

con lo cual $$\text{m.c.d}(1050,22)=2$$

OBSERVACIÓN. Este método es más eficaz que el m. basado en la descomposición en factores primos de los dos números dados. El siguiente programa escrito en Logo puede implementarse en un ordenador en el que hayamos instalado un intérprete de dicho lenguaje de programación ( muy apropiado para los primeros cursos de ESO ):

Siendo $a \ge b$, el siguiente programa recursivo lleva rápidamente a la solución:

procediment mcd_Euclides :a :b
  fes.local "r residu :a :b
  si :r=0 
       [escriu.seguit [mcd=] escriu :b  acaba] 
     [
       posa.a "a :b
       posa.a "b :r
       mcd_Euclides :a :b
     ]
fi

Este otro programa utiliza el mismo algoritmo, si bien es una versión no recursiva del de arriba

procediment mcd_Euclides_2 :a :b 
  fes.local "r 
  fes.local "dividend 
  fes.local "divisor 
  si :a > :b 
     [
       posa.a "dividend :a 
       posa.a "divisor :b
     ]  
     [
       posa.a "dividend :b  
       posa.a "divisor :a
     ]   
  repeteix :dividend
    [
      posa.a "r residu :dividend :divisor
      si :r=0 
        [
           escriu.seguit  [mcd =] escriu :divisor 
           acaba
        ]
      [
         posa.a "dividend :divisor 
         posa.a "divisor :r
      ]
     ]  
fi

Una vez preparado con el editor de Logo, lo pondremos en marcha mediante la siguiente petición ( línea de comandos del entorno de programación ):
%mcd_Euclides 1050 22dando como respuesta
mcd=2$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen sobre números enteros, de la asignatura de Refuerzo de Matemática de 1.º de ESO , realizado el miércoles 3/11/2016

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

De la descripción literal de una cantidad a la escritura numérica

ENUNCIADO. Escribir la cantidad numérica:
a) dos mil doscientos cuarenta y tres
b) trescientos tres millones cuatrocientos dos mil cincuenta y cuatro
c) cinco billones ciento ochenta mil

SOLUCIÓN.
a) $2\,243$
b) $303\,402\,054$
c) $5 \,000\, 000\, 180\, 000$
$\square$

Escribiendo una cantidad ( forma literal )

ENUNCIADO. Escribir en forma literal:
a) $3\,569\,102$
b) $231\,744$
c) $7\,847\,754\,890\,128$

SOLUCIÓN.
a) tres millones quinientos sesenta y nueve mil ciento dos
b) dos cientos treinta y un mil setecientos cuarenta y cuatro
c) siete billones ochocientos cuarenta y siete mil setecientos cincuenta y cuatro millones ochocientos noventa mil ciento veintiocho

$\square$

Obteniendo el mínimo común múltiplo de dos números naturales

ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo de $24$ y $32$

SOLUCIÓN.
Vamos a emplear el método de las restas sucesivas para hallar, primero, el máximo común divisor de $24$ y $32$

minuendo     sustraendo       resta
   32           24              8
   24            8             16
   16            8              8
    8            8              0

encontrando $$\text{m.c.d}(32,24)=8$$
Y, a continuación, por la propiedad que dice que para dos números naturales $a$ y $b$ se cumple $$\text{m.c.d}(a,b) \cdot \text{m.c.m}(a,b) = a \cdot b$$ llegamos a $$8 \cdot \left(\text{m.c.m}(32,24)\right) =32 \cdot 24$$ de donde $$\text{m.c.m}(32,24)=32\cdot 24 \div 8 = 96$$

$\square$

Hallar el máximo común divisor de dos números naturales

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $12$ y $15$

SOLUCIÓN.
Procedimiento 1. $\text{div}(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$ y $\text{div}(12)=\{1,2,5,15\}$, luego $\text{divisores comunes}(12,15)=\{1,3\}$; así que, $$\text{m.c.d}(12,15)=\text{máximo}\{1,3\}=3$$

Procedimiento 2. Descomponiendo en producto de factores primos, $$12=2^2\cdot 3$$ y $$15=3\cdot 5$$ entonces, seleccionando los factores comunes con menor exponente, encontramos $$\text{m.c.d.}(15,12)=\text{m.c.d.}(2^2\cdot 3,3\cdot 5)=3$$

Procedimiento 3. Restando de manera iterada el menor de los dos números del mayor que vamos obteniendo de dichas restas, hasta encontrar un resultado menor que el menor de los dos números, alcanzamos el máximo común divisor en un sólo paso
$$15-12=3 \rightarrow \text{m.c.d.}(15,12)=3$$

Procedimiento 4. Empleando el método de Euclides -- que se basa en aplicar de forma iterada la siguiente propiedad: el máximo común divisor de dos números naturales $a$ y $b$ ( donde $a \ge b$ ) es igual al $b$ si $a$ es múltiplo de $b$ ( el resto de $a \div b$ es cero ), y si no $a$ no es múltiplo de $b$, el máximo común divisor de $a$ y $b$ es igual al máximo común divisor de $b$ y del resto de $a \div b$ --, vemos que el resto de la división $15\div 12$ es $3$; como dicho resto no es $0$, procedemos a dividir $12 \div 3$, y obtenemos resto igual a $0$, luego $\text{m.c.d.}(15,12)=3$
$\square$

Encontrando los divisores de un número natural

ENUNCIADO. Calcular todos los divisores de $24$

SOLUCIÓN. Descomponiendo $24$ como producto de factores primos, obtenemos la factorización $$24=2^3\cdot 3$$. Según dicha factorización, los divisores de $2^3$ son divisores de $24$ y éstos son $\text{div}(2^3=8)=\{1,2,2^2,2^3\}=\{1,2,4,8\}$. También son divisores de $24$ los divisores $3$, que son $\{1,3\}$. Pero, además, son también divisores de $24$ los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^3$ por todos los divisores de $3$, esto es, $\{1\cdot 1, 2\cdot 1,4\cdot 1,8\cdot 1, 1\cdot 3,2\cdot 3,4\cdot 3,8\cdot 3\}$, es decir, $\text{div}(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$

Nota: Cuando la descomposición admite más factores, es conveniente organizar la búsqueda de divisores mediante diagramas de árbol o bien mediante tablas de doble entrada.

$\square$

Situar en la recta de los números naturales y ordenar de menor a mayor

ENUNCIADO. Situar los números que se dan abajo en la recta de los números enteros ( mediante la regla y el compás ); y ordenarlos de menor a mayor, utilizando correctamente el símbolo $<$, que significa (...) menor que (...) $$\{5,1,0,2,8,3,6\}$$

SOLUCIÓN.
Con ayuda de una regla, trazamos una semirrecta. A continuación, mediante un compás con apertura constante, y a partir del extremo izquierdo, vamos trazando divisiones; a continuación las enumeramos a partir del cero. Y, finalmente, situamos los puntos dados en la semirrecta de los números naturales $\mathbb{N}$, que así hemos construido.

Ordenando los números dados, de izquierda a derecha, según su posición en la semirrecta de los números naturales, podemos escribir:
$$0\prec 1 \prec 2 \prec 3 \prec 5 \prec 6 \prec 8$$
$\square$

Multiplicación de números naturales

ENUNCIADO. Realizar la siguiente multiplicación
$$14\,201 \cdot 103$$

SOLUCIÓN.
$14\,201 \cdot 103=$
  $=14\,201 \cdot (100+3)$
    $=14\,201 \cdot 100+ 14\,201 \cdot 3$ ( propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma )
      $=1\,420\,100 + 42\,603$
        $=1\,400\,000 + ( 20\,100+42\,603)$
          $=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + ( 100+2\,603)$
            $=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + 2\,000 + ( 100+603)$
              $=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + 2\,000 + 703$
                $=1\,400\,000 + 60\,000 + 2\,000 + 703$
                  $=1\,400\,000 + 60\,000 + 2\,000 + 700+3$
                    $=1\,000\,000 +400\,000+ 60\,000 + 2\,000 + 700+3$
                          $=1\,462\,703$
$\square$

Operaciones combinadas con números naturales

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada:
$$7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot(12-9)$$

SOLUCIÓN.
$7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot(12-9)$
  $=7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot 3$
    $=21+30+6$
      $=51+6$
        $=57$
$\square$

División con números naturales

ENUNCIADO. Queremos repartir $21$ bolígrafos entre $8$ personas, de modo que a cada una de ellas le corresponda el mismo número de bolígrafos que a las demás. Se pide:
a) ¿ Cuántos bolígrafos habrá que entregar a cada persona ?
b) ¿ Cuántos bolígrafos no podremos entregar a nadie ?

SOLUCIÓN.
a) El cociente de la división ( con números naturales ) $21 \div 8$ es $2$, luego debemos dar $2$ bolígrafos a cada persona.
b) El número de bolígrafos que no podremos distribuir corresponde al resto de la división $21\div 8$, que es igual a $21-2\cdot 8=5$ bolígrafos.
$\square$

Cálculos con números naturales

ENUNCIADO. Hallar el número que debe ocupar el recuadro:
a) $126+899+786=\square$
b) $12+\square+11=31$

SOLUCIÓN.
a)
Se nos pide el resultado de la suma. Lo siguiente es un proceso explicativo del resultado, que supongo habréis deducido haciendo la cuenta tal como se os ha enseñado en la escuela primaria.
$126+899+786=$
  $1\cdot 100 + 2\cdot 10 + 6 +$
    $+8\cdot 100 + 9\cdot 10 + 9 +$
      $+7\cdot 100 + 8\cdot 10 + 6$
        $=(1+8+7)\cdot 100 + ( 2+9+8)\cdot 10 + (6+9+6)$
          $=16\cdot 100 + 19\cdot 10 + 21$
            $=1\cdot 1000 + 6\cdot 100 + 1\cdot 100+9\cdot 10 + 2\cdot 10+1$
              $=1\cdot 1000 + (6+1)\cdot 100 + (9+2)\cdot 10 +1$
                $=1\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 11\cdot 10 +1$
                  $=1\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 1\cdot 100+1\cdot 10 +1$
                    $=1\cdot 1000 + (7+1)\cdot 100 + 1\cdot 10+1$
                      $=1\cdot 1000 + 8\cdot 100 + 1\cdot 10+1$
                        $=1811$

b)
$12+\square+11=31$
  $(12+11)+\square=31$, donde hemos aplicado la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa de la suma ( en el primer miembro )
Así, obtenemos
    $23+\square=31$
      $-23+23+\square=-23+31$
        $0+\square=-23+31$
          $\square=-23+31$
            $\square=31+(-23)$
              $\square=(+31)+(-23)$
                $\square=+8$, esto es, $\square=8$
$\square$

Los números primos y las cigarras

Se sabe que las cigarras del género [Magicicada] pasan la casi totalidad de su tiempo de vida bajo tierra, donde se alimentan ( de los nutrientes de las raíces de las plantas ), se aparean y mueren. Las cigarras engendradas salen a la superficie cada $13$ o cada $17$ años. Estos dos números son primos, así que surge la siguiente pregunta: ¿ Por qué la evolución ha seleccionado números primos como duración de los ciclos vitales ?. Algunas investigaciones apuntan a que la razón de ello no es otra que la de aminorar el efecto de los depredadores que tengan ciclos vitales cuya duración sea un número compuesto, pues, si en lugar de ser la duración del ciclo vital de dichas cigarras un número primo como $13$, fuese un número próximo, si bien compuesto, pongamos que, p. ej. de $12$ años, todos los depredadores cuyo ciclo vital fuese divisor de $12$ ( $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ y $12$ años ) contribuirían a la disminución del número de individuos de las especies de dichas cigarras; mientras que si el ciclo vital es de un número primo de años ( como p. ej. de $13$ años ), el número de individuos muertos por los depredadores, lógicamente, se reduce.

Referencias:
PICKOVER, C.A., El libro de las Matemáticas, Librero b.v., Madrid, 2011.

Ejercicios resueltos y comentados del examen sobre números enteros de 1.º de ESO, realizado el miércoles 2/11/2016

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

Operaciones combinadas con números enteros ...

ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante:
a) $(-15) \cdot (-2) \div 3$
b) $3\cdot (-7)+(-1)\cdot 4$
c) $\text{opuesto}(2)\cdot \text{opuesto}(6)$

SOLUCIÓN.
a)
$(-15) \cdot (-2) \div 3$
  $=30 \div 3$
    $=10$

b)
$3\cdot (-7)+(-1)\cdot 4$
  $=-21+(-4)$
    $=-25$

c)
$\text{opuesto}(2)\cdot \text{opuesto}(6)$
  $=-2\cdot (-6)$
    $=12$

$\square$

Operaciones combinadas con números enteros

ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante:
a) $2+\text{opuesto}(5)-1$
b) $3-7+\text{opuesto}(10)$
c) $1\cdot \text{opuesto}(1)+1$

SOLUCIÓN.
a)
$2+\text{opuesto}(5)-1$
  $=2+(-5)-1$
    $=2+(-6)$
      $=2-6$
        $=\text{opuesto}(6-2)$
          $=\text{opuesto}(4)$
            $=-4$

b)
$3-7+\text{opuesto}(10)$
  $=3-7+(-10)$
    $=3-17$
      $=\text{opuesto}(17-3)$
        $=\text{opuesto}(14)$
          $=-14$

c)
$1\cdot \text{opuesto}(1)+1$
  $=\text{opuesto}(1)+1$
    $=0$

$\square$

Hallar el número natural que corresponde al mínimo común múltiplo de ...

ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo de $16$, $24$ y $40$

SOLUCIÓN.
$\text{m.c.m}(16,24,40)$
  $=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(16,24,40)$
    $=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(2^4,2^3\cdot 3),2^3\cdot 5)$
      $=\text{m.c.m}(2^4 \cdot 3,2^3\cdot 5)$
        $=2^4\cdot 3 \cdot 5$
          $=16\cdot 3 \cdot 5$
            $=48 \cdot 5$
              $=240$
$\square$

Hallar el máximo común divisor de los siguientes números naturales ...

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $12$, $18$ y $15$

SOLUCIÓN.
$\text{m.c.d}(12,18,15)$
  $=\text{m.c.d}(\text{m.c.d}(12,18),15)$
    $=\text{m.c.d}(\text{m.c.d}(2^2\cdot 3,2\cdot 3^2),15)$
      $=\text{m.c.d}(6,15)$
        $=\text{m.c.d}(2\cdot 3,3\cdot 5)$
          $=3$

$\square$

Encontrando todos los números naturales que son divisores de ...

ENUNCIADO. Calcular todos los divisores de $84$

SOLUCIÓN.
Descomponiendo $84$ en producto de factores primos, obtenemos $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$

Entonces, los divisores de $2^2$, de $3$ y $7$ han de ser, también, divisores de $84$. Sin embargo, hay otros además de éstos, que corresponden a los números que resultan de multiplicar los divisores de cada uno de estos números ( $2^2$, $3$ y $7$, respectivamente ), por los divisores de los otros dos números; éstos otros divisores de $8$ los determinaremos en el último paso. Vamos a encontrar, primero, los divisores de los tres factores: $$\text{div}(2^2)=\{1,2,4\}$$ $$\text{div}(3)=\{1,3\}$$ $$\text{div}(7)=\{1,7\}$$

Pasemos al segundo y último que nos llevará a encontrar todos los divisores de $84$ ( no sólo los que son divisores de $2^2$, de $3$ y de $7$, que acabamos de encontrar ). En otros ejercicios hemos organizado la búsqueda sistemática mediante un diagrama de árbol; en esta ocasión, aprovecharemos para presentar otra forma alternativa ( aunque muy parecida ) de organizar dicha búsqueda, que consiste en utilizar tablas de doble entrada para ir agotando todas las combinaciones de los productos de los divisores de todos y cada uno de los factores.

En la primera tabla se muestran los divisores de $84$ que corresponden a los productos de los divisores de $2^2$ con los de $3$ ( en azul ); y, en la segunda, los divisores de $84$ que se obtienen de la multiplicación de los divisores ( de $84$ ) obtenidos en la primera tabla, con los divisores de $7$. Éstos ( en rojo ) son, por tanto, todos los divisores de $84$:

$$\text{div}(84)=\{1,2,3,4,6,12,7,14,21,28,42,84\}$$

Nota: Observemos que aparecen $12$ divisores, pues, en las combinaciones de productos tenemos que por cada uno de los tres divisores de $2^2$ hay dos divisores de $3$; y, por cada uno de estos $3\cdot 2=6$ divisores que acabamos de obtener de esta primera combinación, hay dos divisores de $7$, luego hay un total de $3\cdot 2 \cdot 2=12$ divisores en total.

$\square$

Representar en la recta numérica y ordenar

ENUNCIADO. Situar los números que se dan abajo en la recta de los números enteros ( con regla y compás ) y ordenarlos de menor a mayor, utilizando correctamente el
símbolo ${<}$, que significa (...) menor que (...) $$\{-4,1,0,-2,3,-3\}$$

SOLUCIÓN.

Hallar el cociente y el resto

ENUNCIADO. Calcular el cociente y el resto de la siguiente división con números naturales
$$71209 \div 358$$

SOLUCIÓN.

Operaciones combinadas con números enteros

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada:
$$1-7\cdot 3+14\div7\cdot 2+6\cdot(12-11)$$

SOLUCIÓN.

Encontrar las cifras que faltan

ENUNCIADO. Hallar las cifras que faltan:
a)
$(4\text{?}8\text{?})-(\text{?}2\text{?}7)=3325$
b)
$(\text{?}4\text{?}3) \cdot (\text{?})=7115$

SOLUCIÓN.
Obtenemos fácilmente la siguientes soluciones:
a) $3325$
b) $1423$
$\square$

Operaciones con números naturales

ENUNCIADO. Hallar el número que debe ocupar el recuadro:
a) $323+197+401=\square$
b) $3761+\square+2632=6518$

SOLUCIÓN.
a)
Desarrollando cada uno de los sumandos,
$323=3\cdot 100+2\cdot 10+3$
$197=1\cdot 100+9\cdot 10+7$
$401=4\cdot 100+0\cdot 10+1$
Así, podemos escribir la suma pedida de la siguiente forma,
$323+197+401=$
  $=3\cdot 100+2\cdot 10+3+$
    $+1\cdot 100+9\cdot 10+7+$
      $+4\cdot 100+0\cdot 10+1$
        $=(3+1+4)\cdot 100+(2+9+0)\cdot 10+(3+7+1)$
          $=8\cdot 100+11\cdot 10+11$
            $=(8+1)\cdot 100+1\cdot 10+11$
              $=9\cdot 100+(1+1)\cdot 10+1$
                $=9\cdot 100+2\cdot 10+1$
                  $=921$

b)
$3761+\square+2632=6518$
  $3761+2632+\square=6518$
    $6393+\square=6518$ ( se omiten los pasos de la suma de los dos primeros sumandos )
      $-6393+6393+\square=-6393+6518$
          $0+\square=6518-6393$
            $\square=6518-6393$
              $\square=125$ ( se omiten los pasos de la resta de los dos números enteros del segundo miembro )

$\square$

Números naturales primos y compuestos

Para representar un número natural con granos de arroz ( o asteriscos en un dibujo ), podemos asignarle el número de granos de arroz que le corresponda a su cuantía. Así, por ejemplo, necesitaremos dos granos de arroz para representar el número $2$.

Números compuestos
Si los granos de arroz necesarios para representar un cierto número natural pueden disponerse en forma de rectángulo, diremos que dicho número es compuesto.

Ejemplos de números compuestos:
a) el número $4$ puede representarse de la forma ( cada asterisco hace las veces de un grano de arroz )
**
**
en otras palabras, podemos escribir $4$ como producto de otros números más pequeños, distintos de $1$ y del propio $4$: $4=2\cdot 2$

b) el número $16$ puede representarse como
********
********

**
**
**
**
**
**
**
**

o bien

****
****
que significa que $16$ puede escribirse como producto de dos números más pequeños, distintos de $1$ y del propio $16$, esto es $16=4\cdot 4=8\cdot 2=2\cdot 8$

Números primos
Si los granos de arroz necesarios para representar un cierto número natural no pueden disponerse en forma de rectángulo, diremos que dicho número es primo ( no es compuesto ).

Ejemplos de números primos:
c) el número $3$ es primo, pues ninguna de las posibles disposiciones es rectangular

***

*
**

**
*

así que la única forma de escribir $3$ como producto de dos números ( producto de factores ) $3=1\cdot 3=3\cdot 1$

d) el número $5$ es primo, pues ninguna de las posibles disposiciones es rectangular

*****

**
***

...

***
**

Observemos que $5$, como producto de dos números, sólo puede escribirse como $5=1\cdot 5 = 5\cdot 1$

$\square$

Algunos comentarios sobre la división con números enteros

La división con números naturales
Cuando hemos tratado la división con números naturales, hemos dicho que para dos números naturales $D$ y $d\neq 0$ ( a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente ), realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números naturales, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1.     $D=d\cdot c + r$
2.     $r$ ha de ser menor que el divisor

Veamos algunos ejemplos:

a) Si $D:=3$ y $d:=2$, entonces $c=1$ y $r=1$. Una situación práctica: Si queremos repartir ( por igual ) tres lápices entre dos personas, cada una se queda con un lápiz y queda un lápiz sin que podamos repartir.

b) Si $D:=7$ y $d:=3$, entonces $c=2$ y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) siete lápices entre tres personas, supone dar dos lápices a cada una, quedando un lápiz sin repartir.

c) Si $D:=1$ y $d:=2$, entonces $c=0$ ( entendemos el $0$ como un número natural ) y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) un lápiz entre dos personas es imposible, luego quedará dicho lápiz por repartir, y cada una de las dos personas se quedará sin lápiz alguno.

-oOo-
La división con números enteros
Podemos plantearnos ahora la extensión de la división con números naturales a la división con números números enteros, esto es, realizar divisiones en las que el dividendo o bien el divisor ( o ambos ) puedan ser no sólo números enteros positivos, sino, también, números enteros negativos, como p. ej. $-1 \div 2$. Nos preguntamos: ¿ Qué valor tomará ahora el cociente ? ¿ y el resto ?

Para dar respuesta a estas preguntas, debemos tener en cuenta el siguiente teorema, conocido como teorema de la división euclídea ( o de la división con números enteros ): dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1.     $D=d\cdot c + r$
2.     $r$ ha de ser positivo o cero, y menor que el valor absoluto del divisor

Así, dada la división $-1 \div 2$ donde $D:=-1$ y $d:=2$, vemos que $c=-1$ y $r=1$, ya que estos números cumplen las dos condiciones:
1. $-1=2\cdot (-1) + 1$
2. $r=1$ es menor que el divisor $d:=2$ ( que en este caso es positivo )

Veamos algunos ejemplos más:
d) Si $D:=-1$ y $d:=-2$, entonces $c=1$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-1=-2\cdot 1+1$ y $r=1\prec \left|-2\right|=2$

e) Si $D:=5$ y $d:=-3$, entonces $c=-1$ y $r=2$, ya que se cumplen las dos condiciones: $5=-3\cdot (-1)+1$ y $r=2\prec \left|-3\right|=3$

f) Si $D:=-5$ y $d:=3$, entonces $c=-2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=3\cdot (-2)+1$ y $r=1 \prec \left|3\right|=3$

g) Si $D:=-5$ y $d:=-3$, entonces $c=2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=(-3)\cdot 2+1$ y $r=1 \prec \left|-3\right|=3$

h) Si $D:=1$ y $d:=-2$, entonces $c=0$ y $r=1$

i) Si $D:=12$ y $d:=-3$, entonces $c=-4$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $12$ es múltiplo de $-3$, en otras palabras, $-3$ es divisor de $12$ )

j) Si $D:=-24$ y $d:=4$, entonces $c=-6$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-24$ es múltiplo de $4$, en otras palabras, $4$ es divisor de $-24$ )

k) Si $D:=-121$ y $d:=-11$, entonces $c=11$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-121$ es múltiplo de $-11$, en otras palabras, $-11$ es divisor de $-121$ )


Una situación práctica:
Digamos ahora algo acerca de en qué situaciones prácticas podría aplicarse este cálculo, para ello consideremos la siguiente situación, a modo de ejemplo. Dos personas que viajan juntas adquieren una deuda de $1$ unidad monetaria. Para calcular la aportación ( por igual ) de cada una, al objeto de satisfacer dicha deuda ( $D=-1$ y $d=2$ ), y suponiendo que no haya monedas más pequeñas como fracciones dicha unidad monetaria, debemos pensar en la división euclídea ( con números enteros ) $-1 \div 2$. Es evidente que cada persona deberá aportar $1$ unidad monetaria (el cociente es $c=-1$ ) y, evidentemente, va a sobrar $1$ unidad monetaria ( el resto es $r=1$ ) [ que se puede poner en una hucha común para futuros gastos ].
-oOo-Nota: La división con números naturales debe verse, ahora, como un caso particular de la división con números enteros.
$\square$

Números enteros. La resta como una operación combinada de una suma con el opuesto del minuendo

La resta de dos números enteros cualesquiera, $m-n$ ( $m$ se llama minuendo y $n$ sustraendo ) se puede expresar de la siguiente manera:
$m-n=m+\text{opuesto}(n)$
          $=m+(-1 \cdot n)$
          $=m+(-n)$

Ejemplos:

a) Sea $m:=4$ y $n:=2$, entonces $4-2=2$ ( es muy evidente ), si bien podemos escribir también $4-2=4+\text{opuesto}(2)=4+(-2)=2$

b) Sea $m:=2$ y $n:=4$. Lo que da ahora $m-n$ ya no es tan evidente ( en el primer trimestre de primero de ESO ) como en el ejemplo anterior. Facilitamos la realización correcta de esta resta escribiéndola así: $$2-4=2+\text{opuesto}(4)=2+(-4)=-2$$

$\square$

Regla de los signos en la multiplicación de números enteros

Definición ( opuesto de un número entero)
    Si $\ell$ es un número entero, entonces $\text{opuesto}(\ell)\overset{\text{def}}{=}-\ell$
      Ejemplo: $\text{opuesto}(4)=-4$

Sean $m$ y $n$ dos números enteros positivos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
    P1.   $\text{opuesto}(m)\equiv -m=(-1)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-1)=-1\cdot m \prec 0$

Reglas "de los signos":

    P2.   $m\cdot n=m\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+1 \right)=n\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+1 \right) \overset{\text{P1}}{\succ} 0$
      Ejemplo: $2\cdot 3=3+3=2+2+2=6 \succ 0$


    P3.   $(-m)\cdot n \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( m \cdot n) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot n) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
      Ejemplo: $(-2)\cdot 3=(-1\cdot 2) \cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$


    P4.   $m \cdot (-n) \overset{\text{conmutativa}}{=} (-n)\cdot m = (-1\cdot n )\cdot m \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( n \cdot m) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(n\cdot m) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
      Ejemplo: $3\cdot (-2)=(-2)\cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$


    P5.   $(-m)\cdot (-n) \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1)\cdot ( m \cdot (-n)) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot (-n)) \overset{\text{P4}}{\succ} 0$
      Ejemplo: $(-4)\cdot (-5)=(-1 \cdot 4) \cdot (-5)=(-1)(4\cdot (-5))$
            $=\text{opuesto}(4 \cdot (-5))=\text{opuesto}(-20)=20 \succ 0$

$\square$

Sobre el opuesto de un número entero

ENUNCIADO. Si bien es cierto que $\text{opuesto}(m+n)=\text{opuesto}(m)+\text{opuesto}(n)$, siendo $m$ y $n$ números enteros, ocurre que $\text{opuesto}(m\cdot n) \neq \text{opuesto}(m)\cdot \text{opuesto}(n)$, siendo $m$ y $n$ enteros distintos de cero. Justifíquese esta afirmación.

SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Así, $\text{opuesto}(-2\cdot 3)=\text{opuesto}(-6)=6$; por el contrario, $\text{opuesto}(-2\cdot 3)=\text{opuesto}(-2)\cdot \text{opuesto}(3)=2\cdot (-3)=-6$, y hemos terminado.
$\square$

Cero es múltiplo de cualquier número entero

ENUNCIADO. Justifíquese la siguiente afirmación: El cero es múltiplo de cualquier número entero.

SOLUCIÓN. Basta multiplicar por $0$ cualquier número entero $n$ para obtener el número entero $0$, luego podemos afirmar que $0$ es múltiplo de cualquier número entero $n$. $\square$

Reflexionando sobre el número entero cero

ENUNCIADO. ¿ Puede ser $0$ un divisor de un número entero $n$ distinto de cero ?

SOLUCIÓN. Vamos a ver que la respuesta es no. Supongamos que $n$ sí sea divisible por $0$, entonces $n$ es múltiplo $0$, lo cual nos lleva a concluir que $n=0$, pero eso contradice el que $n$ sea distinto de cero ( enunciado ), luego debemos negar lo que hemos supuesto al principio, luego $0$ no es divisor de ningún número entero distinto de cero.
$\square$

Un problema sobre engranajes

ENUNCIADO. Sean dos ruedas dentadas que están engrandas: $A$, de $60$ dientes; y, $B$, de $40$. Estando parado el mecanismo, se hace una marca en la parte lateral de cada rueda, de modo que dichas marcas coincidan. ¿ Cuántas vueltas debe dar la rueda dentada $B$ para que dichas marcas vuelvan a coincidir ? ¿ Cuántas vueltas tendrá que dar la rueda $A$ ?.

SOLUCIÓN. Para que las dos marcas vuelvan a coincidir, al observar el paso de los dientes ( con respecto a un punto fijado como referencia ) el recuento de dientes en una y otra rueda ha de ser el mismo, y, por supuesto, un múltiplo común del número de dientes de las dos ruedas; si nos interesamos por la primera vez que coinciden las marcas que hemos hecho en una y otra rueda, lógicamente nos quedaremos con el menor múltiplo común, esto es, con $\text{m.c.m.}(40,60)=\text{m.c.m.}(2^3\cdot 5,2^2\cdot 3 \cdot 5)=120$ dientes.

Así, pues, habremos tenido que contabilizar el paso de $120$ dientes, en cada una de las dos ruedas, a fin de que coincidan otra vez las marcas. Ahora bien, como la rueda $A$ tiene $60$ dientes, ésta da $1$ vuelta al paso de esos $60$ dientes, por lo que al paso de $120$ dientes habrá dado $120/60=2$ vueltas; mientras que, como la rueda $B$ tiene $40$ dientes, esta otra habrá tenido que dar $120/40=3$ vueltas.
$\square$

Cálculo del mínimo común múltiplo por el método de los factores

ENUNCIADO. Calcúlese el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$

SOLUCIÓN. Sabemos ya cómo encontrar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de múltiplos de los números de dicho conjunto, cada una de las cuales consta de un número infinito de números. Si bien no podemos escribir los infinitos múltiplos en cada uno de los números, basta con escribir los necesarios para, a partir de éstas, obtener la lista de los múltiples comunes; y, finalmente, seleccionar el menor número de dicha lista de múltiples comunes. Éste es un método muy sencillo, pero poco eficaz, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo, aburrido y penoso, pues podría ser que en alguna de las listas de múltiplos tuviésemos que calcular muchos de ellos para dar con el común a los de las otras listas. Veremos ahora otro método más eficaz para encontrar el mínimo común múltiplo, al que llamamos método de los factores.

Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Es evidente que el número formado por el producto de todas las potencias ( de una y otra factorización ), esto es $(2\cdot 3^2)\cdot (3\cdot 5)=270$, es un múltiplo común de los dos números dados. Ahora bien, no es éste el menor posible, ya que de entre '$3^2$' y '$3$' basta con que tomemos el mayor de los dos, es decir '$3^2$'; así, $2\cdot 3^2\cdot 5=90$ es también un múltiplo común de $18$ y $15$, pero menor que $270$. No hay otro múltiplo común que sea menor que $90$, pues necesariamente debemos incorporar en el producto de potencias '$3^2$', '$2$' y '$5$', luego decimos que
$$\text{m.c.m.}(18,15)=90$$

Intentemos extraer ahora alguna regularidad o regla de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.

  A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
    1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) ya sean comunes o no a cada una de las factorizaciones
    2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el mayor de ellos
    3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el mínimo común múltiplo.

Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son o no comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$, $3$ y $5$
Paso 2. Ahora debemos tomar los exponentes de $2^{\square}$, de $3^{\square}$ y de $5^{\square}$, que sean los mayores que encontremos en las factorizaciones, esto es, $2^3$, $3^3$ y $5$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.m.}(72,540,120)=2^3\cdot 3^3 \cdot 5=1080$

$\square$

Cálculo del máximo común divisor por el método de los factores

ENUNCIADO. Calcúlese el máximo común divisor del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$

SOLUCIÓN. Hemos aprendido a encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de divisores de los números de dicho conjunto; para, a partir de éstas, escribir la lista de los divisores comunes; y, finalmente, seleccionar el mayor número de dicha lista de divisores comunes. Éste es un método sencillo, pero poco práctico, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo y tedioso. Veremos enseguida otro método más eficaz, al que llamamos método de los factores.

Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Como buscamos divisores comunes, podemos pensar en multiplicar todos los factores de la descomposición de sendos números siempre que dichos factores estén presentes en una y otra factorización; así, sólo podemos contar con '$3^2$ y '$3$', pues tanto el factor '$5$' como el factor '$2$' no son comunes a la expresión en factores de $18$ y de $15$. ¿ Con cuál nos quedamos ? ¿ Con '$3^2$' o bien con '$3$' ?. Como estamos buscando divisores comunes, no podemos seleccionar '$3^2$' como respuesta sino '$3$', así concluimos que $$\text{m.c.d}(18,15)=3$$

Intentemos extraer ahora algún patrón de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.

  A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
    1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) que sean comunes a todas y cada una de las factorizaciones
    2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el menor de ellos
    3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el máximo común divisor.

Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el máximo común divisor del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$ y $3$
Paso 2. Ahora, de las factorizaciones, debemos tomar los menores exponentes de $2^{\square}$ y $3^{\square}$, esto es, $2^2$ y $3^2$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.d.}(72,540,120)=2^2\cdot 3^2=36$

$\square$

Hallando el mínimo común múltiplo, y otros múltiplos comunes

ENUNCIADO. ¿ Cuál es el número natural más pequeño que es divisible simultáneamente por $2$, $9$ y $5$ ? Escríbanse tres números mayores que el pedido que sean también divisibles por $2$, $9$ y $5$.

SOLUCIÓN. El número pedido ha de ser el menor múltiplo común de $2$, $9$ y $5$, y por ello lo llamamos mínimo común múltiplo ( de los tres números dados ), que denotamos por $$\text{m.c.m.}(2,9,5)$$ Vamos ahora a determinarlo. Como éstos tres números no tienen divisores comunes ( salvo el $1$ ) [y por ello decimos que son primos entre sí ( o coprimos )], el menor múltiplo común es el producto de los tres. Por tanto el número que buscamos es $$\text{m.c.m.}(2,9,5)=2\cdot 9 \cdot 5 = 90$$

Ahora podemos escribir una lista de infinitos múltiplos de $90$; todos los números que la forman son solución a la segunda parte del ejercicio: $$\dot{90}=\{90,180,270,\,\ldots\}$$

$\square$

Divisores comunes de dos números naturales. Máximo común divisor.

[Para ver la imagen a mayor tamaño, haz clic sobre la misma]

Encontrar los divisores naturales de $900$

ENUNCIADO. Encontrar todos los divisores naturales de $900$
SOLUCIÓN. Descomponiendo $900$ en factores primos, $900=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^2$. Entonces:
. Los divisores de $2^2$ ( es decir, de $4$ ), que son $1$, $2$ y el propio $4$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $3^2$ ( es decir, de $9$ ), que son $1$, $3$ y el propio $9$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $5^2$ ( es decir, de $25$ ), que son $1$, $5$ y el propio $25$, han de ser a su vez divisores de $900$

Con ésto, ya podemos escribir unos cuantos divisores de $900$: $$1,2,3,4,5,9, 25,...$$ Pero no son todos los que podemos encontrar. En efecto, hay bastantes más:

. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^2=4$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$

. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $3^2=9$ por todos los divisores de $2^2=4$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$

. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $5^2=25$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $2^2=4$ también han de ser divisores de $900$

Estas combinaciones de números las podemos organizar en un diagrama de árbol. Así encontraremos de manera metódica todos los divisores de $900$

Recorriendo todos los caminos del árbol, y multiplicando los tres números que vamos encontrando en cada uno de los $3\cdot 3 \cdot =27$ caminos, encontramos los $27$ divisores de $900$:

$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$
$1 \cdot 1 \cdot 25 = 25$

$1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$
$1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$
$1 \cdot 3 \cdot 25 = 75$

$1 \cdot 9 \cdot 1 = 9$
$1 \cdot 9 \cdot 5 = 45$
$1 \cdot 9 \cdot 25 = 225$

$2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 1 \cdot 5 = 10$
$2 \cdot 1 \cdot 25 = 50$

$2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$

$2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$
$2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$
$2 \cdot 9 \cdot 25 = 450$

$4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$
$4 \cdot 1 \cdot 5 = 20$
$4 \cdot 1 \cdot 25 = 100$

$4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
$4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
$4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$

$4 \cdot 9 \cdot 1 = 36$
$4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$
$4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$

Esto es
$\text{div}(900)=\{1,2,3,4,5,9,25,6,10,12,15,18,20,25,30,36,45,50,60,75,90, $
      $,100,150,180,300,450,900\}$
$\square$

Encontrando divisores de un número natural

ENUNCIADO. Encontrar los divisores de $60$

SOLUCIÓN. Vamos a encontrarlos. Descomponiendo $60$ en factores primos, $$60=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$$ que podemos expresar de la forma $$60=2^2\cdot 3 \cdot 5 $$ Entonces, los divisores de $2^2=4$, que son $1,2$ y $4$, son también divisores de $60$; además de $3$ y $5$. Pero hay más: los números que se obtienen de la multiplicación de cada uno de los divisores de $4$ por $3$, también han de ser divisores de $60$, éstos son $3\cdot 2=6$ y $3\cdot 4=12$. Y también lo son los números que resultan de la multiplicación de los divisores de $4$ por $5$, esto es $2\cdot 5=10$ y $4\cdot 5=20$; además del resultado del producto de los divisores $3$ y $5$, que es $15$, y de, por supuesto, el propio $60$.

En resumen, los números naturales divisores de $60$ son los números que forman el siguiente conjunto $$\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$$ $\square$

Ejercicio para encontrar los divisores de un número natural

ENUNCIADO. Encontrar los divisores de $30$

SOLUCIÓN. Desde luego, $1$ y el propio $30$ son divisores de $30$, pero naturalmente, hay más. Vamos a encontrarlos. Descomponiendo $30$ en factores primos, $$30=2 \cdot 3 \cdot 5$$ Entonces, $2$, $3$ y $5$ son divisores de $30$, pero también lo son los productos que resultan de combinarse éstos entre sí, esto es, $$2\cdot 3=6$$ $$2 \cdot 5=10$$ $$3 \cdot 5=15$$ y $$2 \cdot 3 \cdot 5=30$$ que ya hemos mencionado al principio. En resumen, los números naturales divisores de $30$ son los números que forman el siguiente conjunto $$\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$$ $\square$

L'enigma de la làmpada i els tres interruptors

Enunciat: En una habitació hi ha una làmpada. La porta de l'habitació està tancada i no té finestres. A l'exterior, hi ha tres interruptors en la posició d'apagat. Només un dels tres encén i apaga la bombeta; els altres són falsos. Podem accionar els interruptors, canviant-los de la posició d'apagat a encès i viceversa tantes vegades com vulguem. Com podem determinar quin dels tres interruptors és el bo obrint una sola vegada l'habitació ?. Aclariments: No s'hi val a mirar per sota la porta, ni mirar el comptador elèctric per veure quan corre més o menys ràpid. Com ja s'ha explicat, només podem obrir l'habitació una sola vegada i, a partir del que observem, caldrà seguir un raonament deductiu que ens porti a determinar quin és l'interruptor vertader. Solució: Posem un dels tres interruptors (qualsevol dels tres) en posició d'encesa i el deixem així l'estona suficient perquè s'escalfi la bombeta de la làmpada. Tot seguit, el tornem a deixar en posició d'apagat. A continuació, posem en posició d'encès un dels altres dos interruptors (qualsevol dels altres dos) i, deixant-lo en aquesta posició (d'encesa), obrim l'habitació. Si la bombeta està encesa, és evident que l'interruptor que acabem d'accionar (i que està en posició d'encesa) és el bo; si la bombeta està apagada ens hi aproparem i la tocarem: si està calenta, l'interruptor bo és el primer que hem accionat en la posició d'encesa durant una estona, en cas contrari, l'interruptor vertader és el que encara no havíem escollit per fer la prova. $\square$