ENUNCIADO. Justifíquese la siguiente afirmación: El cero es múltiplo de cualquier número entero.
SOLUCIÓN. Basta multiplicar por $0$ cualquier número entero $n$ para obtener el número entero $0$, luego podemos afirmar que $0$ es múltiplo de cualquier número entero $n$. $\square$
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jueves, 20 de octubre de 2016
martes, 18 de octubre de 2016
Cálculo del máximo común divisor por el método de los factores
ENUNCIADO. Calcúlese el máximo común divisor del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$
SOLUCIÓN. Hemos aprendido a encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de divisores de los números de dicho conjunto; para, a partir de éstas, escribir la lista de los divisores comunes; y, finalmente, seleccionar el mayor número de dicha lista de divisores comunes. Éste es un método sencillo, pero poco práctico, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo y tedioso. Veremos enseguida otro método más eficaz, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Como buscamos divisores comunes, podemos pensar en multiplicar todos los factores de la descomposición de sendos números siempre que dichos factores estén presentes en una y otra factorización; así, sólo podemos contar con '$3^2$ y '$3$', pues tanto el factor '$5$' como el factor '$2$' no son comunes a la expresión en factores de $18$ y de $15$. ¿ Con cuál nos quedamos ? ¿ Con '$3^2$' o bien con '$3$' ?. Como estamos buscando divisores comunes, no podemos seleccionar '$3^2$' como respuesta sino '$3$', así concluimos que $$\text{m.c.d}(18,15)=3$$
Intentemos extraer ahora algún patrón de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) que sean comunes a todas y cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el menor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el máximo común divisor.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el máximo común divisor del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$ y $3$
Paso 2. Ahora, de las factorizaciones, debemos tomar los menores exponentes de $2^{\square}$ y $3^{\square}$, esto es, $2^2$ y $3^2$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.d.}(72,540,120)=2^2\cdot 3^2=36$
$\square$
SOLUCIÓN. Hemos aprendido a encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de divisores de los números de dicho conjunto; para, a partir de éstas, escribir la lista de los divisores comunes; y, finalmente, seleccionar el mayor número de dicha lista de divisores comunes. Éste es un método sencillo, pero poco práctico, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo y tedioso. Veremos enseguida otro método más eficaz, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Como buscamos divisores comunes, podemos pensar en multiplicar todos los factores de la descomposición de sendos números siempre que dichos factores estén presentes en una y otra factorización; así, sólo podemos contar con '$3^2$ y '$3$', pues tanto el factor '$5$' como el factor '$2$' no son comunes a la expresión en factores de $18$ y de $15$. ¿ Con cuál nos quedamos ? ¿ Con '$3^2$' o bien con '$3$' ?. Como estamos buscando divisores comunes, no podemos seleccionar '$3^2$' como respuesta sino '$3$', así concluimos que $$\text{m.c.d}(18,15)=3$$
Intentemos extraer ahora algún patrón de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) que sean comunes a todas y cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el menor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el máximo común divisor.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el máximo común divisor del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$ y $3$
Paso 2. Ahora, de las factorizaciones, debemos tomar los menores exponentes de $2^{\square}$ y $3^{\square}$, esto es, $2^2$ y $3^2$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.d.}(72,540,120)=2^2\cdot 3^2=36$
$\square$
lunes, 17 de octubre de 2016
Hallando el mínimo común múltiplo, y otros múltiplos comunes
ENUNCIADO. ¿ Cuál es el número natural más pequeño que es divisible simultáneamente por $2$, $9$ y $5$ ? Escríbanse tres números mayores que el pedido que sean también divisibles por $2$, $9$ y $5$.
SOLUCIÓN. El número pedido ha de ser el menor múltiplo común de $2$, $9$ y $5$, y por ello lo llamamos mínimo común múltiplo ( de los tres números dados ), que denotamos por $$\text{m.c.m.}(2,9,5)$$ Vamos ahora a determinarlo. Como éstos tres números no tienen divisores comunes ( salvo el $1$ ) [y por ello decimos que son primos entre sí ( o coprimos )], el menor múltiplo común es el producto de los tres. Por tanto el número que buscamos es $$\text{m.c.m.}(2,9,5)=2\cdot 9 \cdot 5 = 90$$
Ahora podemos escribir una lista de infinitos múltiplos de $90$; todos los números que la forman son solución a la segunda parte del ejercicio: $$\dot{90}=\{90,180,270,\,\ldots\}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El número pedido ha de ser el menor múltiplo común de $2$, $9$ y $5$, y por ello lo llamamos mínimo común múltiplo ( de los tres números dados ), que denotamos por $$\text{m.c.m.}(2,9,5)$$ Vamos ahora a determinarlo. Como éstos tres números no tienen divisores comunes ( salvo el $1$ ) [y por ello decimos que son primos entre sí ( o coprimos )], el menor múltiplo común es el producto de los tres. Por tanto el número que buscamos es $$\text{m.c.m.}(2,9,5)=2\cdot 9 \cdot 5 = 90$$
Ahora podemos escribir una lista de infinitos múltiplos de $90$; todos los números que la forman son solución a la segunda parte del ejercicio: $$\dot{90}=\{90,180,270,\,\ldots\}$$
$\square$
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