Algunas propiedades útiles para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor

P1.    $\text{m.c.m.}(a,b,c)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(a,b),c\right)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(a,c),b\right)=$
            $=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(b,c),a\right)$

      Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.m.}(6,15,30)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,15),30\right)=30$
            $=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,30),15\right)=\text{m.c.m.}(30,15)=30$
            $=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(15,30),6\right)=\text{m.c.m.}(30,6)=30$

P2.    $\text{m.c.d.}(a,b,c)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,b),c\right)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,c),b\right)=$
            $=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(b,c),a\right)$

      Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15,30)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,15),30\right)=3$
            $=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,30),15\right)=\text{m.c.d.}(6,15)=3$
            $=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(15,30),6\right)=\text{m.c.d.}(15,6)=3$


P3.    $a\cdot b=\text{m.c.d.}(a,b)\cdot\text{m.c.m.}(a,b)$

      Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15)=3$, $\text{m.c.m.}(6,15)=30$, y $a\cdot b=6\cdot 15=90$; y se cumple que $$6\cdot 15 = 30\cdot 3=90$$

OBSERVACIÓN. Esta tercera propiedad es muy útil, pues permite emplear los métodos de las restas sucesivas y el de las divisiones sucesivas ( algoritmo de Euclides ) para calcular, primero, el máximo común divisor de los dos números; y, a partir de éste, calcular el mínimo común múltiplo, pues es claro que deberá cumplirse que $$\text{m.c.m.}(a,b)=(a \cdot b) \div \text{m.c.d.}(a,b)$$

Recordemos que dos programa recursivos ( escritos en lenguaje LOGO ), bien sencillos, para calcular el máximo común divisor de dos números naturales son

procediment mcd_restes_successives :a :b
  si :a=:b 
     [escriu.seguit [mcd=] escriu :a  acaba] 
     [
       si :a<:b 
         [posa.a "b :a] 
       [posa.a "a (:a - :b) mcd_restes_successives :a :b]
     ]
fi

procediment mcd_Euclides :a :b
  fes.local "r residu :a :b
  si :r=0 
       [escriu.seguit [mcd=] escriu :b  acaba] 
     [
       posa.a "a :b
       posa.a "b :r
       mcd_Euclides :a :b
     ]
fi

Con ayuda de un intérprete de LOGO, escribimos
%mcd_restes_successives 3742036 1500872
o bien
%mcd_Euclides 3742036 1500872
y obtenemos
$$\text{m.c.d}(3742036,1500872)=4$$

Por consiguiente, y empleando la propiedad P3., $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div \text{m.c.d.}(3742036,1500872)$$ y por tanto $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div 4=1404079263848$$
$\square$