$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(b,c),a\right)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.m.}(6,15,30)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,15),30\right)=30$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,30),15\right)=\text{m.c.m.}(30,15)=30$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(15,30),6\right)=\text{m.c.m.}(30,6)=30$
P2. $\text{m.c.d.}(a,b,c)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,b),c\right)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,c),b\right)=$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(b,c),a\right)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15,30)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,15),30\right)=3$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,30),15\right)=\text{m.c.d.}(6,15)=3$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(15,30),6\right)=\text{m.c.d.}(15,6)=3$
P3. $a\cdot b=\text{m.c.d.}(a,b)\cdot\text{m.c.m.}(a,b)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15)=3$, $\text{m.c.m.}(6,15)=30$, y $a\cdot b=6\cdot 15=90$; y se cumple que $$6\cdot 15 = 30\cdot 3=90$$
OBSERVACIÓN. Esta tercera propiedad es muy útil, pues permite emplear los métodos de las restas sucesivas y el de las divisiones sucesivas ( algoritmo de Euclides ) para calcular, primero, el máximo común divisor de los dos números; y, a partir de éste, calcular el mínimo común múltiplo, pues es claro que deberá cumplirse que $$\text{m.c.m.}(a,b)=(a \cdot b) \div \text{m.c.d.}(a,b)$$
Recordemos que dos programa recursivos ( escritos en lenguaje LOGO ), bien sencillos, para calcular el máximo común divisor de dos números naturales son
procediment mcd_restes_successives :a :b
si :a=:b
[escriu.seguit [mcd=] escriu :a acaba]
[
si :a<:b
[posa.a "b :a]
[posa.a "a (:a - :b) mcd_restes_successives :a :b]
]
fi
procediment mcd_Euclides :a :b
fes.local "r residu :a :b
si :r=0
[escriu.seguit [mcd=] escriu :b acaba]
[
posa.a "a :b
posa.a "b :r
mcd_Euclides :a :b
]
fi
Con ayuda de un intérprete de LOGO, escribimos
%mcd_restes_successives 3742036 1500872
o bien
%mcd_Euclides 3742036 1500872
y obtenemos
$$\text{m.c.d}(3742036,1500872)=4$$
Por consiguiente, y empleando la propiedad P3., $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div \text{m.c.d.}(3742036,1500872)$$ y por tanto $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div 4=1404079263848$$
$\square$
