Cuando hemos tratado la división con números naturales, hemos dicho que para dos números naturales $D$ y $d\neq 0$ ( a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente ), realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números naturales, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1. $D=d\cdot c + r$
2. $r$ ha de ser menor que el divisor
Veamos algunos ejemplos:
a) Si $D:=3$ y $d:=2$, entonces $c=1$ y $r=1$. Una situación práctica: Si queremos repartir ( por igual ) tres lápices entre dos personas, cada una se queda con un lápiz y queda un lápiz sin que podamos repartir.
b) Si $D:=7$ y $d:=3$, entonces $c=2$ y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) siete lápices entre tres personas, supone dar dos lápices a cada una, quedando un lápiz sin repartir.
c) Si $D:=1$ y $d:=2$, entonces $c=0$ ( entendemos el $0$ como un número natural ) y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) un lápiz entre dos personas es imposible, luego quedará dicho lápiz por repartir, y cada una de las dos personas se quedará sin lápiz alguno.
La división con números enteros
Podemos plantearnos ahora la extensión de la división con números naturales a la división con números números enteros, esto es, realizar divisiones en las que el dividendo o bien el divisor ( o ambos ) puedan ser no sólo números enteros positivos, sino, también, números enteros negativos, como p. ej. $-1 \div 2$. Nos preguntamos: ¿ Qué valor tomará ahora el cociente ? ¿ y el resto ?
Para dar respuesta a estas preguntas, debemos tener en cuenta el siguiente teorema, conocido como teorema de la división euclídea ( o de la división con números enteros ): dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1. $D=d\cdot c + r$
2. $r$ ha de ser positivo o cero, y menor que el valor absoluto del divisor
Así, dada la división $-1 \div 2$ donde $D:=-1$ y $d:=2$, vemos que $c=-1$ y $r=1$, ya que estos números cumplen las dos condiciones:
1. $-1=2\cdot (-1) + 1$
2. $r=1$ es menor que el divisor $d:=2$ ( que en este caso es positivo )
Veamos algunos ejemplos más:
d) Si $D:=-1$ y $d:=-2$, entonces $c=1$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-1=-2\cdot 1+1$ y $r=1\prec \left|-2\right|=2$
e) Si $D:=5$ y $d:=-3$, entonces $c=-1$ y $r=2$, ya que se cumplen las dos condiciones: $5=-3\cdot (-1)+1$ y $r=2\prec \left|-3\right|=3$
f) Si $D:=-5$ y $d:=3$, entonces $c=-2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=3\cdot (-2)+1$ y $r=1 \prec \left|3\right|=3$
g) Si $D:=-5$ y $d:=-3$, entonces $c=2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=(-3)\cdot 2+1$ y $r=1 \prec \left|-3\right|=3$
h) Si $D:=1$ y $d:=-2$, entonces $c=0$ y $r=1$
i) Si $D:=12$ y $d:=-3$, entonces $c=-4$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $12$ es múltiplo de $-3$, en otras palabras, $-3$ es divisor de $12$ )
j) Si $D:=-24$ y $d:=4$, entonces $c=-6$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-24$ es múltiplo de $4$, en otras palabras, $4$ es divisor de $-24$ )
k) Si $D:=-121$ y $d:=-11$, entonces $c=11$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-121$ es múltiplo de $-11$, en otras palabras, $-11$ es divisor de $-121$ )
Una situación práctica:
Digamos ahora algo acerca de en qué situaciones prácticas podría aplicarse este cálculo, para ello consideremos la siguiente situación, a modo de ejemplo. Dos personas que viajan juntas adquieren una deuda de $1$ unidad monetaria. Para calcular la aportación ( por igual ) de cada una, al objeto de satisfacer dicha deuda ( $D=-1$ y $d=2$ ), y suponiendo que no haya monedas más pequeñas como fracciones dicha unidad monetaria, debemos pensar en la división euclídea ( con números enteros ) $-1 \div 2$. Es evidente que cada persona deberá aportar $1$ unidad monetaria (el cociente es $c=-1$ ) y, evidentemente, va a sobrar $1$ unidad monetaria ( el resto es $r=1$ ) [ que se puede poner en una hucha común para futuros gastos ].
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