Ejemplos de cálculos con números enteros empleando GeoGebra

División con números enteros

ENUNCIADO. Calcúlese el cociente y el resto de la división entera $11 \div (-3)$

-oOo-Recordemos el teorema de la división entera (euclídea). Sean $a$ y $b\neq 0$ números enteros, entonces existen otros dos números enteros, únicos, $c$ ( al que llamamos cociente) y $r$ (al que llamamos resto), tales que al realizar la división $a \div b$ (llamamos dividendo a $a$ y divisor a $b$), se cumple:
      i) $a=b\cdot c+r$
      ii) $r$ es positivo o cero y menor que $\left| b \right|$

Observación: Si $\left|a\right| \prec \left|b\right|$, entonces $c=0$ y $r=a$
-oOo-
SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que el dividendo es positivo y el divisor es negativo, el cociente ha de ser negativo; ensayemos pues un número negativo (para el cociente) tal que al multiplicarlo por el divisor resulte un número menor o igual que el dividendo ( si es menor, habrá de ser lo más cercano posible ): así, vemos que $-4)\cdot (-3)=+12 \succ 11$, luego no podemos tomar $-4$, así que probaremos con $-3$: $(-3)\cdot (-3)=+9\prec 11$, luego diremos que $c=-3$ y que el resto es $r=11-(-3)\cdot (-3)=2$

Nota: Comprobemos las dos condiciones que deben cumplirse:
i) $(-3)\cdot 3+3=11$
ii) $2 \prec \left|-3\right|=3$
$\square$

Descomposición de un número natural en factores primos

ENUNCIADO. Descompóngase $8239$ en factores primos

SOLUCIÓN.
. Al ser su última cifra impar, el número dado es impar, luego no es divisible por $2$
. No es divisible por $3$ pues $8+2+3+9=23 \neq \dot{3}$
. Como no acaba ni en $0$ ni en $5$, no es divisible por $5$
. La diferencia en valor absoluto entre el número que se forma con las cifras de posición par y el número formado por las cifras de posición impar es $(9+2)-(8+3)=11-11=0$, luego es divisible por $11$. El cociente de $8239 \div 11 = 749$, con lo cual $8239=11 \cdot 749$
. Por otra parte, $749$ es divisible por $7$ pues el resto de la división $749 \div 11$ es $0$, y su cociente es $107$, por tanto $8239=11 \cdot 7 \cdot 107$; y, como $107$ es primo, hemos terminado.
$\square$

Exámenes realizados resueltos y comentados

Podéis acceder a los exámenes realizados ( resueltos y comentados ) siguiendo [este enlace].

Unidades. Múltipos y submúltiplos

ENUNCIADO. Convertir:
a) $12$ decímetros cuadrados a centímetros cuadrados
b) $2,3$ kilómetros a metros

SOLUCIÓN.
a) $12\,\text{dm}^2=12\,\text{dm}^2 \cdot \dfrac{100}{1}\,\dfrac{\text{cm}^2}{\text{dm}^2}=12 \cdot 100 \,\text{cm}^2 = 1\,200\,\text{cm}^2$

b) $2,3\,\text{km}=2,3\,\text{km} \cdot \dfrac{1000}{1}\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}}=2,3 \cdot 1000 \, \text{m}=2\,300\,\text{m}$

$\square$

Aplicaciones de la proporcionalidad. Distancia recorrida en un tiempo dado ( a velocidad constante )

ENUNCIADO. Un ciclista recorre, en promedio, $4$ kilómetros en $35$ minutos. Estimar el tiempo que necesitará para recorrer $22$ kilómetros.

SOLUCIÓN. Estableciendo la proporción directa entre la longitud de camino recorrido y el tiempo empleado,

-----------------------------------------
|  tiempo ( en minutos )    | 35  |   t |   
|--------------------------------------
| longitud (en kilómetros ) |  4  |  22 |
-----------------------------------------

podemos escribir $$\dfrac{35}{4}=\dfrac{t}{22}$$ con lo cual $$t=\dfrac{22\cdot 35}{4}=192,5\,\text{min}=192\,\text{min}\,30\,\text{s}\overset{192=60\cdot 3+12}{=}3\,\text{h}\,12\,\text{min}\,30\,\text{s}$$
$\square$

Aplicaciones de la proporcionalidad directa. Descuentos.

ENUNCIADO. En una librería se hace el $6\,\%$ de descuento sobre el precio de venta de todos los productos. Se pide:
a) Si un cuaderno tiene un precio de $2$ euros, ¿ cuánto pagaremos si lo compramos ?
b) Si hemos pagado $12$ euros por un libro, ¿ cuánto habríamos pagado sin el descuento ?

SOLUCIÓN.
a)
Estableciendo la proporción directa entre el precio y la cantidad a pagar,

 ---------------------------------
| a pagar:  |  100-6=94  |   x    |
 ---------------------------------
| precio:   |   100      |   2    |
---------------------------------

$$\dfrac{94}{100}=\dfrac{x}{2}$$ luego $$x=\dfrac{94\cdot 2}{100}=1,88\,\text{euros}$$

b)
En este caso,

 ---------------------------------
| a pagar:  |  100-6=94  |  12    |
 ---------------------------------
| precio:   |   100      |   y    |
---------------------------------

$$\dfrac{94}{100}=\dfrac{12}{y}$$ luego $$\dfrac{100}{94}=\dfrac{y}{12}$$ y por tanto $$y=\dfrac{12\cdot 100}{94}\approx 12,77\,\text{euros}$$
$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen global de junio, realizado el viernes 16/06/2017

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

Cálculo con cantidades sexagesimales

ENUNCIADO. En una carrera deportiva, Pedro ha llegado a la meta a las $11:40:10$ y Marta a las $10:50:55$. ¿ Cuánto tiempo ha pasado desde la llegada de Pedro a la llegada de Marta ?.

SOLUCIÓN.
El intervalo de tiempo pedido viene dado por la diferencia $$11:40:10-10:50:55$$ que es lo mismo que $$11:39:70-10:50:55$$ y que $$10:99:70-10:50:55$$ que es igual a $$00:49:15$$ es decir $$49\,\text{min}\;15\,\text{s}$$
$\square$

Un ejercicio sencillo sobre funciones

ENUNCIADO. Considerar la función $f(x)=5\,x+3$, que asocia un número cualquiera otro número. Se pide:
a) Calcular las imágenes de $-3$, $0$, $-1$ y $1$ por dicha función, obteniendo los puntos del plano $A(-3,?)$, $B(0,?)$, $C(-1,?)$ y $D(1,?)$.
b) Representar dichos puntos y la gráfica de la función en un diagrama cartesiano.
c) A la vista de la gráfica, ¿ se puede afirmar que la función dada es lineal afín ? Razónese la respuesta.

SOLUCIÓN.

a)

$f(-3)=5\cdot (-3)+3=-15+3=-12$, luego el punto $A$ tiene coordenadas $(-3,-12)$

$f(0)=5\cdot 0+3=0+3=3$, luego el punto $B$ tiene coordenadas $(0,3)$

$f(-1)=5\cdot (-1)+3=-5+3=-2$, luego el punto $C$ tiene coordenadas $(-1,-2)$

$f(1)=5\cdot 1+3=5+3=8$, luego el punto $D$ tiene coordenadas $(1,8)$


b)

c)
La gráfica de la función es una recta que no pasa por el origen de coordenadas $O(0,0$, luego se trata de una función lineal afín

$\square$

Triángulos en el plano cartesiano

ENUNCIADO. Represéntense en el plano cartesiano los puntos $A(-4,4)$, $B(4,4)$ y $C(0,-5)$. Se pide:
a) Unir los puntos con segmentos, ¿ qué tipo de triángulo se forma ?
b) Determínese el circuncentro de dicho triángulo y trácese la circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo ( circunferencia circunscrita ).

SOLUCIÓN.
a) Se forma el siguiente triángulo isósceles

b)
El circuncentro se obtiene intersecando las rectas mediatrices, y es el centro de la circunferencia circunscrita

$\square$

Área y perímetro de figuras planas

ENUNCIADO. Dibújese ( con regla y compás ) un trapecio isósceles cuyos lados paralelos midan $4$ y $8$ centímetros, siendo la distancia perpendicular entre éstos de $3$ centímetros. A continuación, calcúlese el área y el perímetro de dicho trapecio.

SOLUCIÓN.
Construcción del trapecio isósceles:

Cálculo del área:

$$\text{Área}=(4+(8-4)/2)\cdot 3=5\cdot 3=18\,\text{cm}^2$$

Cálculo del perímetro:
$$P=4+8+2\,\ell \quad \quad (1)$$
Como podemos ver, debemos calcular la longitud de $\ell$, lo cual haremos utilizando el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ( coloreado de verde en la siguiente figura ):

Así, pues, sustituyendo el valor de $\ell$ en (1) obtenemos
$$P=4+8+2\,\left|\sqrt{12}\right|$$ esto es $$P=12+2\,\left|\sqrt{12}\right|\,\text{cm}^2 \approx 15\,\text{cm}^2$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones

ENUNCIADO. Determinar el valor de $x$ que satisface la siguiente igualdad: $$1-x+4+3\,x-5=2\,x+3-8+x$$

SOLUCIÓN.
$1-x+4+3\,x-5=2\,x+3-8+x$
  $-x+3x-2x-x=3-8-1-4+5$
    $2x-2x-x=-5-1-4+5$
      $-x=-6-4+5$
        $-x=-10+5$
          $-x=-5$
            $x=5$
$\square$

Un ejercicio de operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Calcular el número fraccionario resultante: $$\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{20}{15}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{10}{12}$$

SOLUCIÓN. Antes de empezar el cálculo, notemos que $\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}$ y que $\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$, así pues el cálculo pedido es equivalente a
$\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{6}$
  $=1-1$
    $=0$
$\square$

Estadística básica

ENUNCIADO. En una clase se ha realizado un examen. Las puntuaciones obtenidas son $${1,2,1,3,1,2,2,3,2,2,3,4,4,3,3,5,4,5,3,4,3}$$ Se pide:
a) Ordenando los datos y los cálculos necesarios en una tabla, determinar la moda, la mediana y la media
b) Dibujar ( empleando la regla ) el diagrama de barras
c) Elaborar ( con regla, compás y transportador de ángulos ) el diagrama de sectores. Nota: Es necesario calcular el ángulo central de cada sector circular

SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Moléstese el lector en hacer lo mismo. $\square$

Una división decimal exacta

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente división decimal exacta: $$456,58 \div 3,2$$

SOLUCIÓN. Multiplicando por $100$ el dividendo y el divisor, la división pedida es equivalente a $$45\,658 \div 320$$ que es más sencilla a la hora de aplicar el llamado algoritmo largo de la división:

$\square$

Un ejercicio de operaciones combinadas con números enteros

ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante: $$5-4\div2\cdot 8-1+6\cdot(1-4)\div 3$$

SOLUCIÓN.
$5-4\div2\cdot 8-1+6\cdot(1-4)\div 3=$
  $=5-2\cdot 8-1+6\cdot (-3)\div 3$
    $=5-16-1+(-18)\div 3$
      $=5-16-1+(-6)$
        $=5-16-1-6$
          $=-11-1-6$
            $=-12-6$
              $=-18$

$\square$

Un ejercicio sobre la división entera

ENUNCIADO. Calcular el resto y el cociente de la siguiente división con los números enteros enteros no negativos (números naturales) que se indican: $$79829 \div 534$$

SOLUCIÓN.

$\square$

Construcción de un triángulo de lados conocidos y cálculo ( aproximado ) de su área

ENUNCIADO. Empleando la regla y el compás, dibujar un triángulo cuyos lados midan $4$, $7$ y $10$ centímetros, respectivamente. Una vez hecho esto, determinar el área de dicho triángulo; para ello, debéis elegir uno de los lados como base y medir la altura correspondiente, aplicando a continuación la fórmula del área.

SOLUCIÓN.


Observación: Como las medidas de los lados puede entenderse que vienen aproximadas a las unidades, el área obtenida deberíamos aproximarla también a las unidades y por tanto podemos de decir que es igual a $11$ centímetros cuadrados ( aproximadamente ).
$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 11, 12 y 13, realizado el martes 6/06/2017

[1|2|3|4|5|6|7]

Función lineal afín ( gráfica: una recta que no pasa por el origen de coordenadas )

ENUNCIADO. La gráfica de una cierta función ha resultado ser una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Decir el nombre de dicha función.

SOLUCIÓN. Función lineal afín
$\square$

Introducción a las funciones. Imagen de un número dada por una función.

ENUNCIADO. Considérese una función dada por $f(x)=(x-1)^2$. Calcular las imágenes de $-3$, $2$ y $5$ por dicha función.

SOLUCIÓN.
$f(-3)=(-3-1)^2=(-4)^2=-4 \cdot (-4)=16$
$f(2)=(2-1)^2=(1)^2=1\cdot 1=1$
$f(5)=(5-1)^2=(4)^2=4 \cdot 4=16$
$\square$

Representación de puntos en el plano cartesiano

ENUNCIADO. Representar en el plano cartesiano los puntos $A(1,0)$, $B(1,4)$ y $C(3,0)$. ¿ Qué tipo de triángulo forman ?. Calcular el área y el perímetro del mismo, expresando cada una de dichas magnitudes en las unidades del gráfico ( de longitud y área, respectivamente ).

SOLUCIÓN.

El triángulo del que se habla es un triángulo rectángulo puesto que $\angle CAB$ es un ángulo recto. Entonces el área del mismo es la mitad del área del rectángulo del cual $\overline{BC}$ es una de sus diagonales. Por tanto $$\text{Área}=\dfrac{4\cdot 2}{2}=2\;\text{unidades de área del gráfico}$$ Por otra parte el perímetro es igual a $$4+2+\overline{BC} \quad \quad (1)$$ Así que para poder calcularlo deberemos saber la medida de la hipotenusa. Al tratarse de un triángulo rectángulo, deberá cumplirse el teorema de Pitágoras $$\overline{BC}^2=4^2+2^2=16+4=20$$ luego $$\overline{BC}=\left|\sqrt{20}\right| \approx 4,4 \; \text{unidades de longitud del gráfico}$$ ya que $4,4^2=19,36 \prec 20 \prec 4,5^2=20,25$. Sustituyendo esta aproximación de $\left|\sqrt{20}\right|$ en (1) obtenemos $$\text{Perímetro} \approx 10,4 \; \text{unidades de longitud del gráfico}$$
$\square$

Construcción de un rombo, conocidas sus diagonales. Cálculo de su área.

ENUNCIADO. Dibujar ( con los instrumentos de dibujo ) un rombo cuyas diagonales midan $3$ y $5$ centímetros, respectivamente. A continuación, calcular el área y el perímetro de dicho rombo.

SOLUCIÓN.
Construcción del rombo y cálculo de su perímetro:



A continuación, calculamos su área:

Estadística descriptiva

ENUNCIADO. En una clase se ha realizado un examen. Las puntuaciones obtenidas son ${1,2,2,3,1,2,2,3,3,5,4,4,4}$. Ordenar los datos en una tabla y determinar la moda, la mediana y la media. Dibujar el diagrama de barras y el diagrama de sectores.

SOLUCIÓN.
Organicemos los valores en una tabla de frecuencias ( $f$ es la frecuencia absoluta del recuento y $F$ la frecuencia absoluta acumulada ):

x     f     F
-------------
1     2     2
2     4     6
3     3     9
4     3    12
5     1    13
    ----
    N=13

Observemos que el valor que aparece un mayor número de veces es $2$, así que decimos que la moda es $2$. Por otra parte, la tabla nos permite visualizar los los valores ordenados de menor a mayor, basta con observar la frecuencia acumulada $F$; como hay $13$ valores en total, el valor que está en el centro ( esto es la mediana ) es $$\text{mediana}=x_{\text{cociente}(13\div 2)+1}=x_7=3$$

Finalmente, sólo nos queda calcular la media ( dividiendo la suma de todos los valores entre el número de estos ); para ello, es muy recomendable organizar el cálculo de la siguiente manera:

x     f      x·f
----------------
1     2    2·1=2
2     4    2·4=8
3     3    3·3=9
4     3    4·3=12
5     1    5·1=5
           -------
           suma=36

y por tanto, la media pedida es igual a $\dfrac{36}{13} \approx 2,8$

Dibujemos el diagrama de barras:

Para elaborar el diagrama de sectores debemos calcular los ángulos de cada sector, que obtendremos planteando la proporción directa entre la frecuencia y el ángulo respectivo:

x     f    ángulo
----------------------
1     2    2·360/13= 55
2     4    4·360/13=111
3     3    3·360/13= 83
4     3    3·360/13= 83
5     1    1·360/13= 28
           ------------
           suma  =  360

Y empleando las herramientas de dibujo obtenemos el siguiente diagrama de sectores

$\square$

Sector circular. Área. Longitud de arco.

ENUNCIADO. Dibujar ( con regla y compás ) un sector circular de $5$ centímetros de radio y cuyo ángulo central mide $60^{\circ}$. A continuación, calcular el área de dicho sector y, también, longitud de su arco.

SOLUCIÓN.

El área del círculo completo es $\pi \cdot 5^2\,\text{cm}^2$, esto es $25\,\pi\,\text{cm}^2$. Entonces, el área de una parte del mismo ( la del sector circular de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre área y ángulo: $$\dfrac{\text{Área}_{\text{sector}}}{60}=\dfrac{25\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Área}_{\text{sector}}=60\cdot \dfrac{25\,\pi}{360}=\dfrac{25\,\pi}{6}\,\text{cm}^2 \approx 13 \,\text{cm}^2$$

La longitud de la circunferencia es $2\cdot \pi \cdot 5\,\text{cm}$, esto es, $10\,\pi\,\text{cm}$. Entonces, la longitud de una parte de la misma ( la del arco de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre longitud de arco y ángulo: $$\dfrac{\text{Longitud}_{\text{arco}}}{60}=\dfrac{10\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Longitud}_{\text{arco}}=60\cdot \dfrac{10\,\pi}{360}=\dfrac{5\,\pi}{3}\,\text{cm} \approx 5 \,\text{cm}$$

$\square$

Área de una corona circular

ENUNCIADO. Empleando el compás, dibujar una corona circular cuyos radios menor y mayor midan $4$ y $5$ centímetros, respectivamente. Calcular su área.

SOLUCIÓN.

El área de la corona circular es igual a la diferencia de las áreas de los dos círculos $$\pi\cdot 5^2 - \pi\cdot 4^2=25\,\pi -16\,\pi=9\,\pi \; \text{cm}^2$$

$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 8, 9 y 10, realizado el miércoles 3/05/2017

[1|2|3|4|5]

Apliaciones del teorema de Tales

ENUNCIADO. Un bastón de $2$ metros de longitud que está plantado perpendicularmente al suelo ( siendo el suelo horizontal ) da una sombra ( a la luz del Sol ) de $3$ metros de longitud. En el mismo instante un árbol, que está al lado del bastón, da una sombra de $15$ metros de longitud. Calcúlese la altura del árbol.

SOLUCIÓN.
En clase, hemos planteado y resuelto muchas veces ejercicios parecidos a este. Recordemos que se resuelve aplicando el teorema de Tales, pues los rayos del Sol ( casi paralelos ), las sombras y los bastones configuran dos triángulos semejantes. Denominando $x$ a la altura del árbol pedida, deberá cumplirse que
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{15}{3}$$ luego $x=2\cdot \dfrac{15}{3}$ y haciendo el cálculo del segundo miembros obtenemos $$x=10\,\text{metros}$$
$\square$

Centros notables de un triángulo

ENUNCIADO. Citar los cuatro centros notables de un triángulo ( explicados en clase ). Y, a continuación, sin hacer dibujo alguno, explicar cómo se obtiene cada uno de ellos.

SOLUCIÓN.
Los centros del triángulo explicados en clase son los siguientes:

• Circuncentro ( punto de intersección de las tres rectas mediatrices de los respectivos lados del triángulo )
  
• Incentro ( punto de intersección de las tres rectas bisectrices de los respectivos ángulos interiores del triángulo )
  
• Baricentro ( punto de intersección de las tres rectas medianas del triángulo )
  
• Ortocentro ( punto de intersección de las tres rectas altura del triángulo )
  

$\square$

Construcción de un triángulo escaleno, dados sus lados. Circuncentro.

ENUNCIADO. Construir ( con regla y compás ) un triángulo escaleno cuyos lados midan $3$, $4$ y $5$ centímetros. Y, a continuación, se pide:
Denominar los vértices y los lados del triángulo siguiendo el convenio establecido
b) Medir cada uno de los tres ángulos ( empleando el transportador de ángulos )
c) Determinar ( con regla y compás ) el circuncentro y trazar la circunferencia circunscrita.

SOLUCIÓN.

Triángulos equiláteros

ENUNCIADO. Construir (con regla y compás) un triángulo equilátero de $5$ centímetros de lado. Y, a continuación, calcular el perímetro y el área del mismo.

SOLUCIÓN. Este ejercicio es un caso particular (los tres lados del triángulo son iguales) de lo que se explica en esta otra entrada del blog.

Operaciones aritméticas con unidades sexagesimales

ENUNCIADO. Dadas las medidas de los siguientes ángulos: $\hat{A} = 63^{\circ}\,40^{'}\,30^{''}$ y $\hat{B} = 22^{\circ}\,55^{'}\,58^{''}$, se pide el valor de estos otros ángulos:
a) $\hat{A}+\hat{B}$
b) $\hat{A}-\hat{B}$
b) $\dfrac{1}{3}\,\hat{A}$
c) $6\,\hat{B}$

SOLUCIÓN. He comentado muchos ejercicios como éste, por ejemplo en [goo.gl/F34onW]
. Para no aburrir al lector, me limito a dar las soluciones, pidiéndole - eso sí - que reproduzca los cálculos:

a) $\hat{A} + \hat{B}= 86^{\circ}\,36^{'}\,28^{''}$
b) $\hat{A}-\hat{B} = 40^{\circ}\,44^{'}\,32^{''}$
c) $\dfrac{1}{3}\,\hat{A}=21^{\circ}\,13^{'}\,30^{''}$
d) $6\,\hat{B}=137^{\circ}\,35^{'}\,48^{''}$

$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación de los temas 4, 5, 6 y 7, realizado miércoles 3/05/2017

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

Proporciones y ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{2}{x}=\dfrac{16}{8}$$

SOLUCIÓN.
Observemos que $\dfrac{16}{8}=2$, luego la ecuación pedida equivale a
$$\dfrac{2}{x}=2$$ y por tanto se cumple que $2\,x=2$, luego $x=1$
$\square$

Descuentos

ENUNCIADO. El precio de un cuaderno ( IVA incluido ) que queremos comprar es de $4,00$ euros. El vendedor nos hace un $5\,\%$ de descuento por la compra del mismo. ¿ Cuánto tendremos que pagar ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad a pagar. Para calcular su valor, debemos plantear una proporción directa: $$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{4,00} \quad \quad (1)$$ en la que igualamos las razones aritméticas ("tanto a pagar con respecto al coste"): $\dfrac{100-4}{100}$ y $\dfrac{x}{4,00}$. Así pues, despejando $x$ de (1) se obtiene $$x=4,00\cdot \dfrac{100-4}{100}$$ esto es $$x=4,00\cdot \dfrac{96}{100}$$ y por tanto $$x=\dfrac{4,00\cdot 96}{100}=\dfrac{380}{100}=3,80\;\text{euros}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$2\cdot(6-2x)=4\cdot(1+x)$$

SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ ambos miembros de la ecuación se llega a la ecuación equivalente $$6-2x=2\cdot(1+x)$$ Aplicando ahora la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma en el segundo miembro, podemos escribir $$6-2x=2+2\,x$$ Y agrupando en el mismo miembro los términos literales, y en el otro, los términos numéricos ( empleando las reglas de transposición de términos ) nos queda $$6-2=2\,x+2\,x$$ esto es $$4=4\,x$$ de lo cual deducimos que $x$ ha de ser igual a $1$. $\square$

Ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Determinar el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad: $$3-x=x-3$$

SOLUCIÓN.
Una forma de resolverla es la que sigue. La ecuación pedida equivale a $$-(x-3)=x-3$$ Entonces, agrupando en el segundo miembro, podemos escribir la ecuación anterior de la forma $$0=x-3+(x-3)$$ esto es $$2\,(x-3)=0$$ por tanto, como $2\neq 0$, deberá cumplirse que $$x-3=0$$ de lo cual deducimos que $x$ ha de ser igual a $3$. $\square$

Valor numérico de una expresión algebraica

ENUNCIADO. Calcular el valor numérico de la expresión algebraica $(1-2x)^2$ para $x=3$

SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable $x$ por el valor propuesto, que es $3$, la expresión algebraica $(1-2x)^2$ pasa a ser una expresión numérica $$(1-2\cdot 3)^2$$ cuyo resultado es $(1-6)^2=(-5)^2=-5\cdot (-5)=+25$
$\square$

Porcentajes

ENUNCIADO. Un trayecto a pie tiene una longitud de $1\,600$ metros. Hemos recorrido $200$ metros. ¿ Qué fracción del trayecto se ha recorrido ? ¿ Qué tanto por ciento representa ?.

SOLUCIÓN. Si la longitud del camino recorrido es de $200$ metros, puede decirse que se ha completado la siguiente fracción del camino total: $\dfrac{200}{1600}$ que equivale a $\dfrac{1}{8}$. Veamos ahora el tanto por ciento $t$ que ello representa. Para eso, planteamos la siguiente proporción directa $$\dfrac{1}{8}=\dfrac{t}{100}$$ Despejando $t$ se llega a $$t=100\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{100}{8}=\dfrac{25}{2}\,\%=12,5\,\%$$
$\square$

Porcentajes

ENUNCIADO. Calcular la cantidad resultante de: el $30\,\%$ de $75$ litros

SOLUCIÓN. Igualando las razones "parte con respecto del total" $\dfrac{30}{100}$ y $\dfrac{x}{75}$ ( donde $x$ representa la cantidad parcial pedida ), se llega a la proporción $$\dfrac{30}{100}=\dfrac{x}{75}$$ que es una ecuación de primer grado con una incógnita. Despejándo $x$, obtenemos $$x=75\cdot \dfrac{30}{100}=\dfrac{75\cdot 30}{100}=\dfrac{2250}{100}=22,5\,\text{litros}$$
$\square$

Número racional que representa una parte del total

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante de: las dos quintas partes de tres medios

SOLUCIÓN. De manera similar al cálculo con porcentajes, podemos igualar las razones "parte con respecto del total": $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{f}{\frac{3}{2}}$ , donde $f$ representa la fracción pedida; por lo que procede plantear la siguiente proporción directa $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{f}{\frac{3}{2}}$$ Entonces, despejando $f$, llegamos a $$f=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$$
$\square$

Reduciendo al mínimo común denominador un conjunto de fracciones, para compararlas y ordenarlas de menor a mayor

ENUNCIADO. Reducir al mínimo común denominador las siguientes fracciones y ordenarlas de menor a mayor ( empleando el símbolo $<$ ): $$\dfrac{5}{3}\,,\,-\dfrac{11}{10}\,,\,\dfrac{6}{5}$$

SOLUCIÓN.
Para comparar las fracciones y, así, ordenarlas de menor a mayor ( ese es el objetivo del ejercicio ), podemos encontrar fracciones equivalentes a cada una de las fracciones dadas que tengan el mismo denominador; hecho ésto, la ordenación de los numeradores dicta la ordenación de las fracciones. Procedemos pues a encontrar esas fracciones equivalentes. Para evitar los números 'grandes', reduciremos al mínimo común denominador ( de los denominadores de las fracciones dadas ), calculando por tanto el mínimo común múltiplo.

Así, $\text{m.c.m.}(3,10,5)=30$. Luego encontramos: $$\dfrac{5}{3}=\dfrac{5\cdot 30\div 3}{30}=\dfrac{5 \cdot 10}{30}=\dfrac{50}{30}$$
$$-\dfrac{11}{10}=\dfrac{(-11)}{10}=\dfrac{(-11)\cdot 30\div 10}{30}=\dfrac{(-11) \cdot 3}{30}=\dfrac{(-33)}{30}$$
$$\dfrac{6}{5}=\dfrac{6\cdot 30\div 5}{30}=\dfrac{6 \cdot 6}{30}=\dfrac{36}{30}$$ Entonces, como $-33 \prec 36 \prec 50$, y tratándose del mismo denominador, $$\dfrac{(-33)}{30} \prec \dfrac{36}{30} \prec \dfrac{50}{30}$$ luego $$\dfrac{(-11)}{10} \prec \dfrac{6}{5} \prec \dfrac{5}{3}$$ esto es $$-\dfrac{11}{10} \prec \dfrac{6}{5} \prec \dfrac{5}{3}$$
$\square$

Expresión en forma mixta de una fracción impropia

ENUNCIADO. Expresar en forma mixta la siguiente fracción impropia y decir cuáles son los dos números enteros más próximos entre los que se sitúa en la recta numérica: $$\dfrac{19}{3}$$

SOLUCIÓN. Realizando la división entera $19 \div 3$ encontramos que $19=6\cdot 3 +1$, luego, dividiendo ambos miembros por $3$ llegamos a $$\dfrac{19}{3}=\dfrac{6\cdot 3}{3}+\dfrac{1}{3}$$ y simplificando el primer término del segundo miembro, obtenemos finalmente, $$\dfrac{19}{3}=6+\dfrac{1}{3}$$ con lo cual podemos afirmar que $$6 \prec \dfrac{19}{3} \prec 6+1$$ esto es $$6 \prec \dfrac{19}{3} \prec 7$$
$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación del 2.º trimestre de RMT ( temas 4,5,6 y 7 ), realizado el jueves 20/04/2017

[1|2|3|4|5|6 y 7|8|9|10]

Ordenando números racionales

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones, reduciéndolas previamente a común denominador: $$\dfrac{3}{20} \quad \quad \dfrac{7}{50} \quad \quad \dfrac{13}{100}$$

SOLUCIÓN.

Estimando el tiempo necesario para recorrer una cierta distancia (sin disminuir ni aumentar el ritmo de la marcha)

ENUNCIADO. Una excursionista recorre $2$ kilómetros en $45$ minutos (manteniendo el mismo paso y en terreno regular), ¿ cuánto tiempo empleará en recorrer $5$ kilómetros ?

SOLUCIÓN.

Proporciones directas. Tanto por ciento.

ENUNCIADO. Calcular el $4\,\%$ de $25,50$ euros

SOLUCIÓN.

Ejercicios sencillos de transcripción del lenguaje usual al lenguaje del álgebra

ENUNCIADO. Dados dos números, escribir en el lenguaje del álgebra: El cuadrado de la suma de dichos números

SOLUCIÓN. Designemos por $x$ e $y$ dichos números. La suma de los dos números se escribe como $x+y$. Entonces, la frase en cursiva ( el cuadrado de la suma ) se transcribe así $$(x+y)^2$$
$\square$

Ecuaciones con una incógnita y de primer grado

ENUNCIADO. Determínese el valor de $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad $$x-2=2-x$$

SOLUCIÓN.
$x-2=2-x$
  $x-2+2=2-x+2$
    $x+0=-x+2+2$
      $x=-x+4$
        $x+x=x-x+4$
          $2\,x=0+4$
            $2\,x=4$
              $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4$
                $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2}$
                  $1\cdot x=2$
                    $x=2$
$\square$

Multiplicación y división de fracciones

ENUNCIADO: Calcular la fracción resultante:

a) $\dfrac{2}{15}\cdot \dfrac{30}{4}$

b) $\dfrac{5}{2}\div \dfrac{25}{4}$

SOLUCIÓN.

Expresiones decimales periódicas mixtas

ENUNCIADO. Determinar la expresión decimal del número fraccionario $$\dfrac{1}{90}$$

SOLUCIÓN.

Fracciones propias e impropias

ENUNCIADO. Expresar en forma mixta la siguiente fracción impropia $$\dfrac{29}{3}$$

SOLUCIÓN. Al hacer la división entera $29 \div 3$ se obtiene $9$ de cociente y $2$ de resto, luego por el teorema de la división entera podemos escribir $$29=9\cdot 3+2$$ y dividiendo ambos miembros de la igualdad numérica entre $3$ llegamos a $$\dfrac{29}{3}=\dfrac{9 \cdot 3}{3}+\dfrac{2}{3}$$ esto es $$\dfrac{29}{3}=9+\dfrac{2}{3}$$ que es la forma mixta pedida. $\square$

Suma de fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}$

  $=\dfrac{1}{3}+\dfrac{(-3)}{4}+\dfrac{5}{12}$

    $=\dfrac{1\cdot 4}{12}+\dfrac{(-3)\cdot 3}{12}+\dfrac{5}{12}$ (reduciendo las fracciones al mínimo común denominador)

      $=\dfrac{4}{12}+\dfrac{(-9)}{12}+\dfrac{5}{12}$

        $=\dfrac{4+(-9)+5}{12}$

          $=\dfrac{0}{12}$

            $=0$

$\square$

Multiplicación de la medida de un ángulo por un número. Cantidades sexagesimales.

Diferencia de las amplitudes de dos ángulos. Resta con cantidades sexagesimales.

División de la medida de un ángulo en un cierto número de partes iguales

Unidades sexagesimales. Conversión de forma compleja a forma incompleja.

Unidades sexagesimales. Conversión de forma incompleja a compleja.

Midiendo ángulos con el transportador de ángulos

Ejercicios resueltos del examen de los temas 6 y 7 de la asignatura "Recuperación de Matemáticas", realizado el lunes 13/03/2017

Resolviendo ecuaciones con WIRIS

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 6 y 7, realizado el viernes 13/03/2017

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

Valor numérico de una expresión algebraica fijado el valor de la variable de la que depende

ENUNCIADO. Calcular el valor numérico de la expresión algebraica $(1-3x)^2$ para $x=4$

SOLUCIÓN. Sustituyendo $x$ por el valor que toma, $4$, en la expresión dada, obtenemos la expresión numérica $(1-3\cdot 4)^2$ cuyo valor es el de la expresión algebraica para dicho valor concreto de la variable $x$. Veamos cuál es:
$(1-3\cdot 4)^2$
  $=(1-12)^2$
    $=(-11)^2$
      $=-11\cdot (-11)$
        $=11\cdot 11$
          $=121$
$\square$

Otro ejemplo de proporción directa

ENUNCIADO. Un ciclista recorre $5$ kilómetros en $10$ minutos (sin acelerar ni frenar). ¿Cuánto tiempo le llevará recorrer $34$ kilómetros?.

SOLUCIÓN.
Dada relación de proporcionalidad directa entre la longitud del camino recorrido y el tiempo empleado, y denotando por $t$ el tiempo pedido, podemos escribir:

$\dfrac{10}{5}=\dfrac{t}{34}$

despejando la incógnita $t$, llegamos a

$34\cdot \dfrac{10}{5}=t$

esto es

$t=\dfrac{34\cdot 10}{5}$

  $t=\dfrac{340}{5}=68\;\text{minutos}$

$\square$

Resolviendo ecuaciones en forma de proporción

ENUNCIADO. Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$$

SOLUCIÓN. Procedemos al despeje de la incógnita $x$:

$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$

Dada la proporción, y como el producto de medios es igual al producto de extremos, podemos escribir

$3\cdot 8 = 12\,x$

  $24 = 12\,x$

    $12\,x=24$

      $\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 24$

        $\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{24}{12}$

          $1\,x=2$

            $x=2$

$\square$

Calculando el precio de un artículo a partir de la cantidad que pagamos y del descuento que nos hacen

ENUNCIADO. El día del libro tenemos intención de comprar una novela de aventuras que sabemos que nos costará $11,00$ euros, con el descuento del $12\,\%$ que nos van a hacer. ¿ Cuál es el precio de dicho libro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al precio del libro. Entonces, entre la cantidad que pagamos y el precio, podemos plantear la siguiente proporción:

$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{11,00}{x}$

con lo cual, también se cumple la igualdad entre las razones inversas

$\dfrac{100}{100-12}=\dfrac{x}{11,00}$

y por tanto ( despejando $x$ ),

$x=\dfrac{11\cdot 100}{100-12}$

esto es

$x=\dfrac{1100}{88}$

  $x=\dfrac{25}{2} = 12,5 \; \text{euros}$ (esto es, $12$ euros y $50$ céntimos de euro )

$\square$

Descuentos

ENUNCIADO. El precio de un cuaderno que queremos comprar es de $2,00$ euros. El vendedor nos hace un $10\,\%$ de descuento por la compra del mismo. ¿ Cuánto tendremos que pagar ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cantidad que deberemos pagar por la compra del cuaderno. Entonces, podemos establecer la siguiente proporción:
$\dfrac{100-10}{100}=\dfrac{x}{2,00}$

Y resolviendo la ecuación,

  $\dfrac{90}{100}=\dfrac{x}{2,00}$

    $\dfrac{9}{10}=\dfrac{x}{2,00}$

      $2,00\cdot \dfrac{9}{10}=x$

        $x=\dfrac{2,00\cdot 9}{10}$

          $x=\dfrac{18,00}{10}=1,80\;\text{euros}$

$\square$

Ejemplo de ecuación incompatible

ENUNCIADO. Justificar la siguiente afirmación: La ecuación $2+x=3+x$ no tiene solución

SOLUCIÓN.
Si iniciamos el proceso de resolución -- con el propósito de obtener una ecuación equivalente en la que la incógnita $x$ aparezca aislada en un miembro de la igualdad ( esto es, $x=\square$ ) --, llegaremos a una contradicción, de lo cual se desprende el que no tenga solución, al no existir ningún valor para $x$ que verifique la igualdad de los valores numéricos de las expresiones algebraicas de ambos miembros. En efecto,
$2+x=3+x$
  $-2+2+x=-2+3+x$
    $0+x=1+x$
      $x=1+x$
        $-1+x=-1+1+x$
          $-1+x=0+x$
            $-1+x=x$
              $-1+x-x=x-x$
                $-1+0=0$
                  $-1=0$     (contradicción)

$\square$

Resolviendo ecuaciones, paso a paso

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$$

SOLUCIÓN.
$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$
  $(x+2x-3x)+(-1+5)=(8-7)+(-x+6x)$
    $0\,x+4=1+5\,x$
      $0+4=1+5\,x$
        $4=1+5\,x$
          $-1+4=-1+1+5\,x$
            $3=0+5\,x$
              $3=5\,x$
                $5\,x=3$
                  $\dfrac{1}{5}\cdot 5\,x=\dfrac{1}{5}\cdot 3$
                    $\dfrac{5}{5}\,x=\dfrac{3}{5}$
                      $1\,x=\dfrac{3}{5}$
                        $x=\dfrac{3}{5}$
$\square$

Aplicando las reglas de transposición de términos en la resolución de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$$

SOLUCIÓN.
$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$
  $2\cdot4-2\cdot 3\,x=3\cdot 1+3 \cdot 2\,x$
    $8-6\,x=3+6\,x$
      $8-6\,x+6\,x=3+6\,x+6\,x$
        $8-0=3+12\,x$
          $8=3+12\,x$
            $8-3=3+12\,x-3$
              $5=3+12\,x-3$
               $5=12\,x+3-3$
                 $5=12\,x+0$
                   $5=12\,x$
                     $12\,x=5$
                       $\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 5$
                         $\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{5}{12}$
                           $1\,x=\dfrac{5}{12}$
                             $x=\dfrac{5}{12}$
$\square$

Resolviendo ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $1-x=x-1$; esto es, determinar el valor de $x$ que cumple dicha igualdad.

SOLUCIÓN.
Empleando las reglas de transposición de términos y las propiedades con respecto a la suma y la multiplicación, debemos llegar a una ecuación equivalente a la original del tipo $x=\square$; el número del segundo miembro será la solución de la ecuación pedida.
$1-x=x-1$
  $1-x+x=x-1+x$
    $1+0=x+x-1$
      $1+0=2\,x-1$
        $1=2\,x-1$
          $1-1=2\,x-1-1$
            $0=2\,x-2$
              $0+2=2\,x-2+2$
                $2=2\,x+0$
                  $2=2\,x$
                    $2\,x=2$
                      $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 2$
                        $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{2}{2}$
                          $1\,x=1$
                            $x=1$
$\square$

Acerca de círculos y circunferencias. Expresiones algebraicas del área del círculo y del perímetro de una circunferencia

ENUNCIADO. Hablando de un círculo de radio $r$, ¿ qué representan las siguientes expresiones algebraicas ?
a) $\pi \cdot (2\,r)$, o lo que es lo mismo $2\,\pi\,r$
b) $\pi\,r^2$

SOLUCIÓN.
a) El perímetro de la circunferencia ( que es el contorno del círculo ), pues el número $\pi$ se puede definir como la razón aritmética entre el perímetro de la circunferencia y su diamétro ( que es lo mismo que $2\,r$ )
b) El área del círculo
$\square$

Algunas expresiones algebraicas referidas a un rectángulo

ENUNCIADO. Hablando de un rectángulo cuyas lados desiguales se denotan por $a$ y $b$, ¿qué representan las siguientes expresiones algebraicas?
a) $a\cdot b$
b) $2\cdot (a+b)$

SOLUCIÓN.
a) El área del rectángulo
b) El perímetro del rectángulo
$\square$

Expresándonos en el lenguaje del álgebra

ENUNCIADO. Expresar en el lenguaje del álgebra:
a) El triple del cuadrado de la diferencia entre dos números
b) La suma de dos números pares consecutivos

SOLUCIÓN.
a) Sean $x$ e $y$ dichos números, entonces según la afirmación podemos escribir $3\cdot (x-y)^2$, que es lo mismo que $3\cdot (y-x)^2$

b) Sea $n$ un número natural cualquiera, entonces la cantidad pedida es $2n + (2n+2)$, que es lo mismo que $4n+2$, y que también podemos expresar como $2\cdot (2n+1)$

$\square$

Resolviendo ecuaciones compatibles

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$2x-3=4\cdot (1-x)$$

SOLUCIÓN.

Ejercicios resueltos del examen sobre fracciones y números decimales ( lista de reproducción de vídeos ), realizado el jueves 16/02/2017 en la asignatura Recuperación de Matemáticas

Ordenando fracciones

ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor los siguientes números: $$0,35 \quad \quad \dfrac{1}{3} \quad \quad \dfrac{17}{50}$$

SOLUCIÓN.

Reduciendo a mínimo común denominador. Fracciones equivalentes.

ENUNCIADO. Reducir a común denominador estas tres fracciones: $$\dfrac{3}{4} \quad \quad \dfrac{2}{5} \quad \quad \dfrac{1}{6}$$

SOLUCIÓN.

Aplicando porcentajes

ENUNCIADO. Calcular el $3\,\%$ de $25$ euros

SOLUCIÓN.

Dividiendo fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante $$\dfrac{5}{7}\div \dfrac{10}{21}$$

SOLUCIÓN.

Multiplicando fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante $$\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{2}{6}$$

SOLUCIÓN.

Operaciones con números decimales. Sumas y restas.

ENUNCIADO. Calcular el número decimal resultante $$63,034+2,890-54,624$$

SOLUCIÓN.

Multiplicaciones con decimales

ENUNCIADO. Realizar la siguiente multiplicación
$$1920,49 \cdot 85,3$$

SOLUCIÓN.

Forma mixta de una fracción impropia

ENUNCIADO. Expresar en forma mixta ( un número entero más una fracción propia ) la siguiente fracción impropia: $$\dfrac{19}{3}=\square + \dfrac{\square}{\square}$$

SOLUCIÓN.

Ejemplos de expresiones decimales de los números racionales

ENUNCIADO. Determinar la expresión decimal del número fraccionario $$\dfrac{451}{90}$$

SOLUCIÓN.

Sumando fracciones

ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante: $$\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{6}+\dfrac{7}{24}$$
SOLUCIÓN.

Divisiones con decimales

ENUNCIADO. Calcular el resultado de la siguiente división, expresando el resultado aproximado a las diezmilésimas $$7495,01 \div 345,612$$

SOLUCIÓN.

Operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Resolver de forma ordenada y paso a paso: $$\displaystyle \dfrac{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}}{\left(\frac{1}{3}+\frac{5}{6}\right)\cdot \frac{2}{7}}$$

SOLUCIÓN.

Contando cosas

ENUNCIADO. ¿Cuántos números enteros impares hay entre $11$ y $1457$?

SOLUCIÓN. Reduzcamos la magnitud del problema: ¿Cuántos números enteros impares hay entre $11$ y $15$?. Evidentemente, hay tres: $11$, $13$ y $15$.

Intentemos encontrar un procedimiento que nos permita contar dicho número de una forma directa. Para ello, debemos darnos cuenta de que entre un número impar y el número impar consecutivo hay un número par en medio, es decir, cada dos números impares encontramos un número par entre ellos; por ello, podemos obtener el número pedido haciendo $$(15-11)\div 2+1$$ donde hemos sumado un '1' para que esta operación dé cuenta también del primero y del último; operando, llegamos a $$4\div 2 +1 = 2+1=3$$ resultado que se refiere a los tres números impares consecutivos que hay entre $11$ y $15$, ambos incluidos.

Veamos si funciona para un caso con números más distanciados: ¿ Cuántos números impares hay entre $11$ y $19$ ? Según lo que acabamos de proponer tiene que haber $$(19-11)\div 2+1=8 \div 2+1 =4+1=5\, \text{números impares, incluidos los dos dados}$$ Y, en efecto, hay $5$ números, que son $11,13,15,17,19$

Así que entre $11$ y $1457$ ( ambos impares, como en los dos casos ensayados) hay
$(1457-11)\div 2+1=1446\div 2+1$
  $=723+1=724\;\text{números impares, incluidos los dos números dados}$
$\square$

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 4 y 5 ( fracciones y números decimales ), realizado el viernes 3/02/2017

[ 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 ]

Aplicando las fracciones

ENUNCIADO. De una tarta $1000$ gramos, Javier se ha comido el $30\,\%$ y Elena el $40\,\%$. El resto de la tarta se la ha comido Jorge. Se pide:
a) ¿Cuántos gramos se ha comido Javier? ¿Y Elena?
b) ¿Cuál es el tanto por ciento de la tarta que se ha comido Jorge? ¿Cuántos gramos se ha comido Jorge?

SOLUCIÓN.
a)
Javier se ha comido el $30\,\%$ de $1000$ gramos, esto es, $\dfrac{30}{100}\cdot 1000=300$ gramos
Elena se ha comido el $40\,\%$ de $1000$ gramos, es decir, $\dfrac{40}{100}\cdot 1000=400$ gramos

b)
Javier y Elena se han comido, entre los dos, el $30\,\%+40\,\%=70\,\%$ de la tarta, luego a Jorge ( que se ha comido el resto ) le ha correspondido un $100\,\%-70\,\%=30\,\%$ de la tarta, lo cual supone $\dfrac{30}{100} \cdot 1000=300$ gramos.

NOTA: Se comprueba que la suma de los tres porcentajes es igual al $100\,\%$; en efecto, $30\,\%+40\,\%+30\,\%=100\,\%$. Y que la suma de las tres cantidades ( en gramos ) es igual a la cantidad total de tarta, que es $1000$ gramos; en efecto: $300+400+300=1000$ gramos

$\square$

Empleando fracciones ...

ENUNCIADO. Un trayecto a pie tiene una longitud de $1\,500$ metros. Hemos recorrido $300$ metros. ¿Qué fracción del trayecto queda aún por recorrer? ¿Qué tanto por ciento representa?

SOLUCIÓN. Si hemos recorrido $300$ metros, todavía quedan por recorrer $1\,500 - 300 = 1\,200$ metros, que representa $\dfrac{1\,200}{1\,500}=\dfrac{4}{5}$ del trayecto. Y como $\dfrac{4}{5}=0,8$, podemos decir también que queda un $80\,\%$ del trayecto por recorrer.

$\square$

Problemas con fracciones

ENUNCIADO. Se ha llenado la mitad de un depósito y, a continuación, una cuarta parte de lo que faltaba por llenar. ¿Qué fracción del depósito quedará todavía para acabar de llenar? ¿Qué tanto por ciento representa?.

SOLUCIÓN. En las dos primeras operaciones, se ha llenado la siguiente fracción de depósito $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot \left( 1-\dfrac{1}{2}\right)$, esto es, $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}$, luego faltan aún por llenar $1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{8}{8}-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$ partes del total.

Como $\dfrac{3}{8}=0,375$ ( tanto por unidad ), el porcentaje correspondiente es de un $0,375 \cdot 100=37,5\,\%$.
$\square$

Interpretando las fracciones

ENUNCIADO. Interpretar y calcular:
a) Las tres cuartas partes de cien euros
b) La fracción equivalente a las dos quintas partes de dos tercios

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{3}{4}\,( 100 )= \dfrac{3}{4}\cdot 100 = \dfrac{3\cdot 100}{4}=\dfrac{300}{4}=\dfrac{150}{2}=75$ euros

b)
$\dfrac{2}{5}\,\left( \dfrac{2}{3} \right)= \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2\cdot 2}{5\cdot 3}=\dfrac{4}{15}$ partes del total

$\square$

Operaciones combinadas con fracciones

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente operación con fracciones: $$\dfrac{5}{20}\cdot \dfrac{10}{2}+\dfrac{3}{12}\div \dfrac{9}{2}$$

SOLUCIÓN.

Observemos, en primer lugar, que algunas de las fracciones que aparecen en la operación combinada pueden simplificarse. En efecto:

$\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{10}{2}=5$

$\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$

luego la operación pedida es equivalente a $$\dfrac{1}{4}\cdot 5+\dfrac{1}{4}\div \dfrac{9}{2} \quad \quad (1)$$ Realizando en primer lugar la multiplicación y la división
$$\dfrac{1}{4}\cdot 5=\dfrac{1\cdot 5}{4}=\dfrac{5}{4}$$ y $$\dfrac{1}{4}\div \dfrac{9}{2}=\dfrac{1}{4}\cdot \text{inverso}\left( \dfrac{9}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{18}$$
por lo que (1) nos queda $$\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{18} \quad \quad (2)$$ Reduciendo a común denominador, $$\text{m.c.m}(4,18)=\text{m.c.m}(2^2,2\cdot 3^2)=2^2\cdot 3^2=4\cdot 9 = 36$$ y, así, (2) es equivalente a

$\dfrac{5\cdot (36\div 4)}{36}+\dfrac{1\cdot (36 \div 18)}{36}$
  $=\dfrac{5\cdot 9}{36}+\dfrac{1\cdot 2}{36}$
    $=\dfrac{45}{36}+\dfrac{2}{36}$
      $=\dfrac{45+2}{36}$
        $=\dfrac{47}{36}$

$\square$

Sumas y restas de fracciones

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente operación con fracciones: $$\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{15}+\dfrac{7}{4}$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{5}{12}-\dfrac{1}{15}+\dfrac{7}{4}$

  $=\dfrac{5}{12}+\dfrac{(-1)}{15}+\dfrac{7}{4} \quad \quad (1)$

Reduciendo a común denominador, $\text{m.c.m}(12,15,4)=\text{m.c.m}(2^2\cdot 3,3\cdot 5,2^4)=2^2\cdot 3\cdot 5=60$
luego (1) queda

    $=\dfrac{5\cdot (60\div 12)}{60}+\dfrac{(-1)\cdot (60\div 15)}{60}+\dfrac{7\cdot (60\div 4)}{60}$

      $=\dfrac{5\cdot 5}{60}+\dfrac{(-1)\cdot 4}{60}+\dfrac{7\cdot 15}{60}$

        $=\dfrac{25}{60}+\dfrac{(-4)}{60}+\dfrac{105}{60}$

          $=\dfrac{25+(-4)+105}{60}$

            $=\dfrac{126}{60}$

              $=\dfrac{63}{30}$

                $=\dfrac{21}{10}$

$\square$

Fracciones. Reducción a común denominador.

ENUNCIADO. Reducir a común denominador las siguientes fracciones: $$\dfrac{7}{8}\,,\,\dfrac{5}{12}\,,\,\dfrac{1}{18}$$

SOLUCIÓN.
Para reducir a común denominador las fracciones dadas, debemos obtener un múltiplo común de los tres denominadores. Hay infinitos múltiplos comunes, pero nos basta encontrar el menor de ellos, esto es, el mínimo común múltiplo: $$\text{m.c.m.}(8,12,18)=\text{m.c.m.}(2^3,2^2\cdot 3,2\cdot 3^2)=2^3\cdot 3^2=72$$ Entonces,
$$\dfrac{7}{8}=\dfrac{7\cdot (72\div 8)}{72}=\dfrac{7\cdot 9}{72}=\dfrac{63}{72}$$ $$\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot (72\div 12)}{72}=\dfrac{5\cdot 6}{72}=\dfrac{30}{72}$$ $$\dfrac{1}{18}=\dfrac{1\cdot (72\div 18)}{72}=\dfrac{1\cdot 4}{72}=\dfrac{4}{72}$$

$\square$

División de números decimales

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente división, sacando dos decimales:
$$2,68 \div 45,002$$

SOLUCIÓN.
$2,68 \div 45,002 = \dfrac{268}{100} \div \dfrac{45\,002}{1000}=\dfrac{268 \cdot 45\,002}{100\cdot 1000}=\dfrac{12\,060\,536}{100\,000}=120,60536$
$\square$

Multiplicación con números decimales

ENUNCIADO. Efectuar la siguiente multiplicación:
$$12,901 \cdot 34,5$$

SOLUCIÓN.
$12,901 \cdot 34,5 = \dfrac{12\,901}{1000}\cdot \dfrac{345}{10}=\dfrac{12\,901 \cdot 345}{1000 \cdot 10} = \dfrac{4\,450\,845}{10\,000}=445,0845$
$\square$

Fracciones impropias y propias. Forma mixta de una fracción impropia.

ENUNCIADO. Expresar en forma mixta las siguientes fracciones impropias y decir cuáles son los dos números enteros más próximos entre los que se encuentran:
a) $\dfrac{17}{4}$
b) $-\dfrac{13}{3}$

SOLUCIÓN.
a) Realizando la división entera $17 \div 4$ obtenemos: cociente igual a $4$ y resto igual a $1$. Así pues, $4 \prec \dfrac{17}{4} \prec 5$. De esta forma, $17=4\cdot4+1$ ( teorema de la división entera ); y, dividiendo por $4$ en los dos miembros de esa igualdad numérica, llegamos a $\dfrac{17}{4}=4+\dfrac{1}{4}$

a) Veamos, primero, la fracción positiva $\dfrac{13}{3}$. Realizando la división entera $13 \div 3$ obtenemos: cociente igual a $4$ y resto igual a $1$. Con lo cual, $4 \prec \dfrac{13}{4} \prec 5$. De esta forma, $13=4\cdot 3+1$ ( teorema de la división entera ); y, dividiendo por $3$ en los dos miembros de esa igualdad numérica, llegamos a $\dfrac{13}{3}=4+\dfrac{1}{3}$. Teniendo en cuenta, ahora, que la fracción pedida, $-\dfrac{13}{3}$, es negativa, deducimos que $-5 \prec -\dfrac{13}{4} \prec 4$, y, por tanto, la escribiremos de la siguiente forma $-\dfrac{13}{3}=-4-\dfrac{1}{3}$

$\square$

Fracciones y decimales

ENUNCIADO. Expresar en tanto por unidad y en tanto ciento:
a) $\dfrac{1}{4}$
b) $\dfrac{2}{3}$
a) $\dfrac{3}{2}$
a) $\dfrac{5}{4}$

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{1}{4}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}0,25\overset{\text{multiplicando por}\; 100}{=}25\,\%$
b) $\dfrac{2}{3}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}0,6666\ldots \overset{\text{multiplicando por}\; 100}{\approx} 67\,\%$
c) $\dfrac{3}{2}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}1,5\overset{\text{multiplicando por}\; 100}{=}150\,\%$
d) $\dfrac{5}{4}\overset{\text{dividiendo y sacando decimales}}{=}1,25\overset{\text{multiplicando por}\; 100}{=}125\,\%$

$\square$

Aplicaciones de las fracciones

ENUNCIADO. Calcular:
a) tres cuartos de cien personas
b) una quinta parte de diez litros
c) dos terceras partes de nueve euros
d) una cuarta parte de un tercio de veinticuatro automóviles

SOLUCIÓN.
a) $\dfrac{3}{4}\,\left( 100 \right) = \dfrac{3}{4}\cdot 100 = \dfrac{3\cdot 100}{4}=\dfrac{300}{4}=75$ personas

b) $\dfrac{1}{5}\,\left( 10 \right) = \dfrac{1}{5}\cdot 10 = \dfrac{1\cdot 10}{5}=2$ litros

c) $\dfrac{2}{3}\,\left( 9 \right) = \dfrac{2}{3}\cdot 9 = \dfrac{2\cdot 9}{3}=\dfrac{18}{3}=6$ euros

d) $\dfrac{1}{4}\,\left( (\dfrac{1}{3} (24) \right) = \dfrac{1}{4}\cdot (\dfrac{1\cdot 24}{3}) = \dfrac{1}{4}\cdot 8 = \dfrac{1\cdot 8}{4} = \dfrac{8}{4}= 2$ automóviles
$\square$

Repartiendo cromos

ENUNCIADO. Se quiere repartir $151$ cromos de animales entre $11$ personas, de modo que a cada una de ellas le corresponda el mismo número de cromos. ¿ Cuántos cromos ha de dar a cada uno ? ¿ Cuántos cromos no será posible asignar a nadie ?.

SOLUCIÓN.

Ejercicios resueltos y comentados del examen de recuperación de los temas 1, 2 y 3 del primer trimestre, realizado el viernes 13/01/2017

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

Ordenando números enteros

ENUNCIADO. Ordenar los siguientes números de menor a mayor ( empleando el símbolo $\prec$, que significa "menor que" ): $$\{-4,3,-1,0,1,4,5,-9,12,-25\}$$

SOLUCIÓN.

Aplicación de las reglas de divisibilidad

ENUNCIADO. Un número es divisible por $9$ si la suma de sus cifras es igual a $9$ o a un múltiplo de $9$. Aplicar esta regla para averiguar si $7812972$ es múltiplo de $9$. ¿ Es ese número divisible también por $11$ ?.

SOLUCIÓN.

Encontrando los divisores de un número natural

ENUNCIADO. Encontrar los divisores de $60$

SOLUCIÓN.

Descomposición de un número natural en factores primos

ENUNCIADO. Descomponer $11\,700$ en producto de factores primos

SOLUCIÓN.

Aplicando el teorema de la división con números naturales

ENUNCIADO. Al dividir un cierto número entero positivo entre $13$, se obtiene $12$ de cociente y $6$ de resto. ¿Cuál es ese número?.

SOLUCIÓN. Por el teorema de la división entera, sabemos que el dividendo ha de ser igual al divisor por el cociente más el resto, luego, en este caso, el dividendo ha te tener el siguiente valor

$13 \cdot 12 +6$
  $= 156 + 6$
    $= 162$

$\square$

Subiendo y bajando

ENUNCIADO. Una persona se monta en el ascensor cuando se encuentra en el párquing de un edificio, que es la planta $-1$. Sube tres pisos, luego baja dos, y finalmente sube otros siete. ¿ En qué planta se encuentra ? ¿ Cuántas plantas tendrá que bajar para volver al párquing ?.

SOLUCIÓN. Calculamos la planta en que se encuentra de la siguiente manera: $$-1+3-2+7=7$$ luego concluimos que se encuentra en la séptima planta.

Por otra parte, si desde la séptima planta, baja al párquing ha de descender el siguiente número de plantas $$7-(-1)=7+1=8\quad \text{plantas}$$
$\square$

Operaciones combinadas con números enteros

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada:
$$4\div 2\cdot (1-3)-9 \div 3 \cdot (-4)-5\cdot (1-2)$$

SOLUCIÓN.

Números primos entre sí ( o coprimos )

ENUNCIADO. Los números $25$ y $36$ son coprimos (o primos entre sí). Justifíquese esta afirmación.

SOLUCIÓN. Los números $25$ y $36$ son coprimos (o primos entre sí) porqué el único divisor común es $1$, esto es, $\text{m.c.d}(25,36)=\text{m.c.d.}(5^2,2^2\cdot 3^2)=1$
$\square$

Cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo de un conjunto de números naturales, empleando las reglas de los factores

ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de $12$, $15$ y $18$, descomponiendo previamente cada número en factores primos y aplicando las reglas llamadas de los factores.

SOLUCIÓN.

Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $15$ y $18$ empleando el algoritmo de Euclides ( también llamado de las divisiones sucesivas ) o, si se prefiere, empleando éste otro: el de las restas sucesivas.

SOLUCIÓN.