SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es $\pi \cdot 5^2\,\text{cm}^2$, esto es $25\,\pi\,\text{cm}^2$. Entonces, el área de una parte del mismo ( la del sector circular de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre área y ángulo: $$\dfrac{\text{Área}_{\text{sector}}}{60}=\dfrac{25\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Área}_{\text{sector}}=60\cdot \dfrac{25\,\pi}{360}=\dfrac{25\,\pi}{6}\,\text{cm}^2 \approx 13 \,\text{cm}^2$$
La longitud de la circunferencia es $2\cdot \pi \cdot 5\,\text{cm}$, esto es, $10\,\pi\,\text{cm}$. Entonces, la longitud de una parte de la misma ( la del arco de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre longitud de arco y ángulo: $$\dfrac{\text{Longitud}_{\text{arco}}}{60}=\dfrac{10\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Longitud}_{\text{arco}}=60\cdot \dfrac{10\,\pi}{360}=\dfrac{5\,\pi}{3}\,\text{cm} \approx 5 \,\text{cm}$$
$\square$
