ENUNCIADO. Cada diez años, en un barrio de la ciudad se organiza una fiesta conmemorativa. En el año $2016$, que es bisiesto, se ha celebrado dicha fiesta. ¿En qué año bisiesto se realizará la próxima conmemoración?
SOLUCIÓN. Recordemos que se da un año bisiesto cada $4$ años. Teniendo en cuenta que se pide el próximo año (a partir del año bisiesto $2016$) que sea bisiesto y que se dé la celebración de una conmemoración, deducimos que el número de años que ha de transcurrir ha de ser el menor múltiplo común (esto es, el mínimo común múltiplo) de $10$ y $4$, que es igual a $$\text{m.c.m}(4,10)=\text{m.c.m}(2\cdot 2,2\cdot 5)=2\cdot 2 \cdot 5= 20 \; \text{años}$$ Así, pues, el próximo año bisiesto que se va a celebrar la conmemoración será el año $$2016+20 \rightarrow 2036$$
$\square$
miércoles, 30 de noviembre de 2016
Sacando factor común
ENUNCIADO. Extraer factor común de la siguiente suma $$30+24+42$$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El máximo común divisor de $30$, $24$ y $42$ es $\text{m.c.d}(30,24,42)=6$, por tanto la suma pedida puede escribirse de la forma $$6\cdot 30\div 6+6\cdot 24\div 6+6\cdot 42\div 6$$ esto es como $$6\cdot 5 + 6\cdot 4+6\cdot 7$$ y aplicando ahora el recíproco de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma llegamos a $$6\cdot ( 5+4+7)$$
Procedimiento II
Dando un rodeo, llegamos al mismo resultado de la siguiente forma. Descomponiendo cada uno de los términos de la suma en factores primos, encontramos que
$$30=2\cdot 3 \cdot 5$$ $$24=2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3$$ $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ luego la suma pedida puede expresarse de la forma $$2\cdot 3 \cdot 5+2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 +2\cdot 3 \cdot 7$$ que es lo mismo que $$2\cdot 3 \cdot 5+2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 +2\cdot 3 \cdot 7$$ Observemos ahora que el facotr $2\cdot 3$ es común a los tres términos, luego aplicando el recíproco de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, obtenemos $$2\cdot 3\cdot ( 5+2 \cdot 2 + 7)$$ es decir $$6 \cdot ( 5+ 4 + 7)$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento I
El máximo común divisor de $30$, $24$ y $42$ es $\text{m.c.d}(30,24,42)=6$, por tanto la suma pedida puede escribirse de la forma $$6\cdot 30\div 6+6\cdot 24\div 6+6\cdot 42\div 6$$ esto es como $$6\cdot 5 + 6\cdot 4+6\cdot 7$$ y aplicando ahora el recíproco de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma llegamos a $$6\cdot ( 5+4+7)$$
Procedimiento II
Dando un rodeo, llegamos al mismo resultado de la siguiente forma. Descomponiendo cada uno de los términos de la suma en factores primos, encontramos que
$$30=2\cdot 3 \cdot 5$$ $$24=2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3$$ $$42=2\cdot 3 \cdot 7$$ luego la suma pedida puede expresarse de la forma $$2\cdot 3 \cdot 5+2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 +2\cdot 3 \cdot 7$$ que es lo mismo que $$2\cdot 3 \cdot 5+2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 +2\cdot 3 \cdot 7$$ Observemos ahora que el facotr $2\cdot 3$ es común a los tres términos, luego aplicando el recíproco de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, obtenemos $$2\cdot 3\cdot ( 5+2 \cdot 2 + 7)$$ es decir $$6 \cdot ( 5+ 4 + 7)$$
$\square$
martes, 29 de noviembre de 2016
Embalando libros para hacer un traslado
ENUNCIADO. Tenemos $14$ libros de química, $21$ libros de física y $35$ libros de matemáticas. Como queremos hacer un traslado, necesitamos ponerlos en cajas, de manera que en cada caja haya el mismo tipo libros y, también, el mismo número de libros. Si el número de cajas tiene que ser el menor posible, ¿ cuántos libros deberemos poner en cada caja ?. ¿ Cuántas cajas necesitaremos ?.
SOLUCIÓN.
Como ha de haber el mismo número de libros en cada caja, el número de libros que contenga cada una ha de ser un múltiplo común de $14$, $21$ y $35$. Además, al requerir que el número de cajas sea el menor posible, el número de libros en cada caja ha de ser el mayor posible. Así, pues, el número de libros por caja tiene que ser igual al mayor divisor común, esto es, al máximo común divisor de $14$, $21$ y $35$. Es claro que $\text{m.c.d.}(14,21,35)=\text{m.c.d}(7\cdot 2,7\cdot 3, 7\cdot 5)=7$, luego cada caja ha de contener $7$ libros.
El número de cajas necesarias para embalar los libros de química es, pues, igual a $14\div 7=2$. Para embalar los libros de física hacen falta $21 \div 7=3$ cajas. Y para embalar los libros de matemáticas necesitamos $35 \div 7=5$ cajas. Así que necesitamos un total de $2+3+5=10$ cajas para embalar todos los libros.
$\square$
SOLUCIÓN.
Como ha de haber el mismo número de libros en cada caja, el número de libros que contenga cada una ha de ser un múltiplo común de $14$, $21$ y $35$. Además, al requerir que el número de cajas sea el menor posible, el número de libros en cada caja ha de ser el mayor posible. Así, pues, el número de libros por caja tiene que ser igual al mayor divisor común, esto es, al máximo común divisor de $14$, $21$ y $35$. Es claro que $\text{m.c.d.}(14,21,35)=\text{m.c.d}(7\cdot 2,7\cdot 3, 7\cdot 5)=7$, luego cada caja ha de contener $7$ libros.
El número de cajas necesarias para embalar los libros de química es, pues, igual a $14\div 7=2$. Para embalar los libros de física hacen falta $21 \div 7=3$ cajas. Y para embalar los libros de matemáticas necesitamos $35 \div 7=5$ cajas. Así que necesitamos un total de $2+3+5=10$ cajas para embalar todos los libros.
$\square$
lunes, 28 de noviembre de 2016
Amontonando cajas
ENUNCIDO. ¿ Cuántas cajas de $2$ cm de alto, de $5$ cm de ancho, y $3$ cm de alto se necesitan, como mínimo, para formar un cubo ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo pedido. Su longitud debe corresponder a un múltiplo común de las las longitudes de las aristas de las cajas; y como el cubo que tenemos que formar ha de ser el menor posible, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los tres datos dados $$\ell=\text{m.c.m.}(2,5,3)=30 \; \text{cm}$$ Para saber cuántas cajas necesitamos para formar el cubo razonaremos de la siguiente manera:
. El número de veces que podemos superponer un segmento de $3$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 3 =10$
. El número de veces que podemos superponer un segmento de $2$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 2 =15$
. El número de veces que podemos superponer un segmento de $5$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 5 =6$
Multiplicando el número de veces que hemos calculado al superponer cada una de las tres aristas de una de las cajas sobre las respectivas aristas del cubo, deducimos que necesitamos $10\cdot 15 \cdot 6 = 900$ cajas
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo pedido. Su longitud debe corresponder a un múltiplo común de las las longitudes de las aristas de las cajas; y como el cubo que tenemos que formar ha de ser el menor posible, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los tres datos dados $$\ell=\text{m.c.m.}(2,5,3)=30 \; \text{cm}$$ Para saber cuántas cajas necesitamos para formar el cubo razonaremos de la siguiente manera:
. El número de veces que podemos superponer un segmento de $3$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 3 =10$
. El número de veces que podemos superponer un segmento de $2$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 2 =15$
. El número de veces que podemos superponer un segmento de $5$ cm sobre la arista del cubo, que es de $30$ cm es $30 \div 5 =6$
Multiplicando el número de veces que hemos calculado al superponer cada una de las tres aristas de una de las cajas sobre las respectivas aristas del cubo, deducimos que necesitamos $10\cdot 15 \cdot 6 = 900$ cajas
$\square$
jueves, 24 de noviembre de 2016
Raíz cúbica
ENUNCIADO. Un bloque de piedra con forma de cubo tiene un volumen de $8$ metros cúbicos. ¿Cuál es la longitud de su arista?
SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo. Entonces, como sabemos que $\ell \cdot \ell \cdot \ell=8$, esto es $\ell^3=8$, deducimos que $\ell$ ha de ser igual a $2$ metros, ya que $2\cdot 2\cdot 2=8$.
OBSERVACIÓN. Podemos escribir lo situiente $$\ell^3=8\Leftrightarrow \ell=\sqrt[3]{8}=2$$ A esta operación ( que deshace la multiplicación de un número consigo mismo tres veces, es decir, el cubo de dicho número ) la llamamos raíz cúbica y, como acabamos de ver, consiste en encontrar un número tal que el resultado de multiplicarlo consigo mismo tres veces sea igual a una cantidad dada.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ la arista del cubo. Entonces, como sabemos que $\ell \cdot \ell \cdot \ell=8$, esto es $\ell^3=8$, deducimos que $\ell$ ha de ser igual a $2$ metros, ya que $2\cdot 2\cdot 2=8$.
OBSERVACIÓN. Podemos escribir lo situiente $$\ell^3=8\Leftrightarrow \ell=\sqrt[3]{8}=2$$ A esta operación ( que deshace la multiplicación de un número consigo mismo tres veces, es decir, el cubo de dicho número ) la llamamos raíz cúbica y, como acabamos de ver, consiste en encontrar un número tal que el resultado de multiplicarlo consigo mismo tres veces sea igual a una cantidad dada.
$\square$
Raíz cuadrada
ENUNCIADO. Un habitación cuadrada tiene $36$ metros cuadrados de área. ¿ Cuánto mide el lado de la habitación ?
SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ el lado pedido. Entonces $\ell \cdot \ell$, esto es $\ell^2$, ha de ser igual a $36$, con lo cual el valor de $\ell$ ha de ser $6$ metros, ya que $6\cdot 6 = 36$.
OBSERVACIÓN. Podemos escribir lo situiente $$\ell^2=36 \Leftrightarrow \ell=\sqrt{36}=6$$ A esta operación ( que deshace la multiplicación de un número consigo mismo, es decir, el cuadrado de dicho número ) la llamamos raíz cuadrada y, como acabamos de ver, consiste en encontrar un número tal que al multiplicarlo consigo mismo se obtenga la cantidad dada.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $\ell$ el lado pedido. Entonces $\ell \cdot \ell$, esto es $\ell^2$, ha de ser igual a $36$, con lo cual el valor de $\ell$ ha de ser $6$ metros, ya que $6\cdot 6 = 36$.
OBSERVACIÓN. Podemos escribir lo situiente $$\ell^2=36 \Leftrightarrow \ell=\sqrt{36}=6$$ A esta operación ( que deshace la multiplicación de un número consigo mismo, es decir, el cuadrado de dicho número ) la llamamos raíz cuadrada y, como acabamos de ver, consiste en encontrar un número tal que al multiplicarlo consigo mismo se obtenga la cantidad dada.
$\square$
martes, 22 de noviembre de 2016
Un problema de divisibilidad
ENUNCIADO. Encuéntrense todas las parejas de números enteros no negativos tales que sus dos componentes sean múltiplos de $16$ y que la suma de las mismas sea igual a $80$
SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ a la primera componente de las parejas $(a,b)$ que queremos encontrar. Es claro que debemos buscar sus valores entre los múltiplos de $16$, esto es $$\dot{16}=\{0,16,32,48,64,80,96,\ldots\}$$ Por tanto, la segunda componente $b$ ha de ser igual a $80-a$, pero, además, el número resultante tiene que ser, también, múltiplo de $16$. Podemos organizar los ensayos/cálculos en una tabla:
Así pues, el conjunto de parejas pedido es $$\{(0,80),(16,64),(32,48)\}$$
SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ a la primera componente de las parejas $(a,b)$ que queremos encontrar. Es claro que debemos buscar sus valores entre los múltiplos de $16$, esto es $$\dot{16}=\{0,16,32,48,64,80,96,\ldots\}$$ Por tanto, la segunda componente $b$ ha de ser igual a $80-a$, pero, además, el número resultante tiene que ser, también, múltiplo de $16$. Podemos organizar los ensayos/cálculos en una tabla:
a 80-a ¿ (80-a) es un entero positivo múltiplo de 16 ?
---------- -------- -----------------------------------------------
0 80-0=80 sí, ya que el resto de 80 : 16 es 0
16 80-16=64 sí, ya que el resto de 64 : 16 es 0
32 80-32=48 sí, ya que el resto de 48 : 16 es 0
64 80-64=16 sí, ya que el resto de 16 : 16 es 0
80 80-80=0 sí, pues 0 es múltiplo de cualquier número distinto de cero
90 80-90=-10 no, pues -10 no es un entero positivo
106 80-106=-26 no (a partir de a=90, obtenemos n. negativos )
... ... no
Así pues, el conjunto de parejas pedido es $$\{(0,80),(16,64),(32,48)\}$$
martes, 15 de noviembre de 2016
Amontonando cajas
ENUNCIADO. En un almacén hay cajas de $25$ centímetros de altura y cajas de $35$ centímetros de altura. La base de dichas cajas es muy amplia, y todas tienen la misma base, así que podemos poner las cajas en columnas, mezclando las de uno y otro tipo, sin temor a que se caigan. Si todas las columnas han de tener la misma altura, se pide:
a) ¿ Cuál es la altura más pequeña que deben tener dichas columnas ?
b) ¿ De cuántas cajas consta cada una de las columnas de las que se habla en el apartado anterior ? ¿ Cuántas cajas de cada tipo formarán parte de una de esas columnas ?
SOLUCIÓN.
a) La altura $\ell$ de las columnas ha de ser un múltiplo común de las alturas de los dos tipos de cajas ( de $25\,\text{cm}$ y $35\,\text{cm}$, respectivamente ) que van a amontonarse en una misma columna. Además, dicho múltiplo común interesa que sea el menor posible, luego la altura de las columnas corresponde al mínimo común múltiplo de $25$ y $35$, esto es $$\ell=\text{m.c.m}(25,35)=175\,\text{cm}$$
b)
El número de cajas de $25\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 25 = 7$
El número de cajas de $35\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 35 = 5$
Así, pues, el número de cajas que hay en una columna cualquiera es igual a $7+5=12$
$\square$
a) ¿ Cuál es la altura más pequeña que deben tener dichas columnas ?
b) ¿ De cuántas cajas consta cada una de las columnas de las que se habla en el apartado anterior ? ¿ Cuántas cajas de cada tipo formarán parte de una de esas columnas ?
SOLUCIÓN.
a) La altura $\ell$ de las columnas ha de ser un múltiplo común de las alturas de los dos tipos de cajas ( de $25\,\text{cm}$ y $35\,\text{cm}$, respectivamente ) que van a amontonarse en una misma columna. Además, dicho múltiplo común interesa que sea el menor posible, luego la altura de las columnas corresponde al mínimo común múltiplo de $25$ y $35$, esto es $$\ell=\text{m.c.m}(25,35)=175\,\text{cm}$$
b)
El número de cajas de $25\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 25 = 7$
El número de cajas de $35\,\text{cm}$ de altura que hay en una columna cualquiera es igual a $175 \div 35 = 5$
Así, pues, el número de cajas que hay en una columna cualquiera es igual a $7+5=12$
$\square$
lunes, 14 de noviembre de 2016
Algunas propiedades útiles para el cálculo del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor
P1. $\text{m.c.m.}(a,b,c)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(a,b),c\right)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(a,c),b\right)=$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(b,c),a\right)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.m.}(6,15,30)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,15),30\right)=30$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,30),15\right)=\text{m.c.m.}(30,15)=30$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(15,30),6\right)=\text{m.c.m.}(30,6)=30$
P2. $\text{m.c.d.}(a,b,c)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,b),c\right)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,c),b\right)=$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(b,c),a\right)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15,30)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,15),30\right)=3$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,30),15\right)=\text{m.c.d.}(6,15)=3$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(15,30),6\right)=\text{m.c.d.}(15,6)=3$
P3. $a\cdot b=\text{m.c.d.}(a,b)\cdot\text{m.c.m.}(a,b)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15)=3$, $\text{m.c.m.}(6,15)=30$, y $a\cdot b=6\cdot 15=90$; y se cumple que $$6\cdot 15 = 30\cdot 3=90$$
OBSERVACIÓN. Esta tercera propiedad es muy útil, pues permite emplear los métodos de las restas sucesivas y el de las divisiones sucesivas ( algoritmo de Euclides ) para calcular, primero, el máximo común divisor de los dos números; y, a partir de éste, calcular el mínimo común múltiplo, pues es claro que deberá cumplirse que $$\text{m.c.m.}(a,b)=(a \cdot b) \div \text{m.c.d.}(a,b)$$
Recordemos que dos programa recursivos ( escritos en lenguaje LOGO ), bien sencillos, para calcular el máximo común divisor de dos números naturales son
Con ayuda de un intérprete de LOGO, escribimos
%mcd_restes_successives 3742036 1500872
o bien
%mcd_Euclides 3742036 1500872
y obtenemos
$$\text{m.c.d}(3742036,1500872)=4$$
Por consiguiente, y empleando la propiedad P3., $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div \text{m.c.d.}(3742036,1500872)$$ y por tanto $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div 4=1404079263848$$
$\square$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(b,c),a\right)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.m.}(6,15,30)=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,15),30\right)=30$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(6,30),15\right)=\text{m.c.m.}(30,15)=30$
$=\text{m.c.m.}\left(\text{m.c.m.}(15,30),6\right)=\text{m.c.m.}(30,6)=30$
P2. $\text{m.c.d.}(a,b,c)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,b),c\right)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(a,c),b\right)=$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(b,c),a\right)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$, $c:=30$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15,30)=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,15),30\right)=3$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(6,30),15\right)=\text{m.c.d.}(6,15)=3$
$=\text{m.c.d.}\left(\text{m.c.d.}(15,30),6\right)=\text{m.c.d.}(15,6)=3$
P3. $a\cdot b=\text{m.c.d.}(a,b)\cdot\text{m.c.m.}(a,b)$
Ejemplo: Sea $a:=6$, $b:=15$. Entonces, $\text{m.c.d.}(6,15)=3$, $\text{m.c.m.}(6,15)=30$, y $a\cdot b=6\cdot 15=90$; y se cumple que $$6\cdot 15 = 30\cdot 3=90$$
OBSERVACIÓN. Esta tercera propiedad es muy útil, pues permite emplear los métodos de las restas sucesivas y el de las divisiones sucesivas ( algoritmo de Euclides ) para calcular, primero, el máximo común divisor de los dos números; y, a partir de éste, calcular el mínimo común múltiplo, pues es claro que deberá cumplirse que $$\text{m.c.m.}(a,b)=(a \cdot b) \div \text{m.c.d.}(a,b)$$
Recordemos que dos programa recursivos ( escritos en lenguaje LOGO ), bien sencillos, para calcular el máximo común divisor de dos números naturales son
procediment mcd_restes_successives :a :b
si :a=:b
[escriu.seguit [mcd=] escriu :a acaba]
[
si :a<:b
[posa.a "b :a]
[posa.a "a (:a - :b) mcd_restes_successives :a :b]
]
fi
procediment mcd_Euclides :a :b
fes.local "r residu :a :b
si :r=0
[escriu.seguit [mcd=] escriu :b acaba]
[
posa.a "a :b
posa.a "b :r
mcd_Euclides :a :b
]
fi
Con ayuda de un intérprete de LOGO, escribimos
%mcd_restes_successives 3742036 1500872
o bien
%mcd_Euclides 3742036 1500872
y obtenemos
$$\text{m.c.d}(3742036,1500872)=4$$
Por consiguiente, y empleando la propiedad P3., $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div \text{m.c.d.}(3742036,1500872)$$ y por tanto $$\text{m.c.m.}(3742036,1500872)=(3742036 \cdot 1500872) \div 4=1404079263848$$
$\square$
jueves, 10 de noviembre de 2016
Aplicando la noción de mínimo común múltiplo
ENUNCIADO. A las ocho de la mañana, cada $12$ días, Juan coge un determinado autobús. María coge el mismo autobús cada $10$ días, a la misma hora. Un día, Juan y María se conocen en la parada del autobús. ¿ Cuántos días han de pasar hasta que coincidan por segunda vez ?
SOLUCIÓN.
El número de días que ha de pasar hasta que coincidan otras veces ha de ser múltiplo de $12$ y de $10$; además, nos interesa saber cuál es el menor múltiplo común ( esto es, el mínimo común múltiplo ), pues éste es el tiempo mínimo que ha de transcurrir hasta el nuevo encuentro. Calculándolo, obtenemos $$\text{m.c.m}(12,10)=60$$ luego han de transcurrir $60$ días hasta que Juan y María vuelvan a encontrarse.
OBSERVACIÓN. En ese intervalo de tiempo, Juan habrá cogido el autobús $60 \div 12 = 5$ veces; y, María, $60\div 10=6$ veces.
$\square$
SOLUCIÓN.
El número de días que ha de pasar hasta que coincidan otras veces ha de ser múltiplo de $12$ y de $10$; además, nos interesa saber cuál es el menor múltiplo común ( esto es, el mínimo común múltiplo ), pues éste es el tiempo mínimo que ha de transcurrir hasta el nuevo encuentro. Calculándolo, obtenemos $$\text{m.c.m}(12,10)=60$$ luego han de transcurrir $60$ días hasta que Juan y María vuelvan a encontrarse.
OBSERVACIÓN. En ese intervalo de tiempo, Juan habrá cogido el autobús $60 \div 12 = 5$ veces; y, María, $60\div 10=6$ veces.
$\square$
Aplicando la noción de máximo común divisor
ENUNCIADO. Dos listones de madera tienen longitudes respectivas de $32$ y $24$ decímetros. ¿ Cuántos trozos de igual longitud debemos cortar de uno y otro para que el número de dichos trozos sea el menor posible y de tal forma que no sobre ningún pedazo de listón ? ¿ Cuál será la longitud de cada uno de dichos trozos ?.
SOLUCIÓN.
La longitud $\ell$ de los trozos ha de ser un divisor común de las longitudes de uno y otro listón; además, si el número de trozos en que cortemos los dos listones ha de ser el menor posible, dicho divisor común ha de ser máximo, luego la longitud de los trozos es igual al máximo común divisor de $32$ y $24$. Para calcularlo, emplearemos el método de las restas sucesivas
con lo cual $$\text{m.c.d.}(32,24)=8$$ así que $\ell=8\,\text{dm}$. Por tanto, el número de trozos que obtendremos es $$(32+24)\div 8 = 7\; \text{trozos}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
La longitud $\ell$ de los trozos ha de ser un divisor común de las longitudes de uno y otro listón; además, si el número de trozos en que cortemos los dos listones ha de ser el menor posible, dicho divisor común ha de ser máximo, luego la longitud de los trozos es igual al máximo común divisor de $32$ y $24$. Para calcularlo, emplearemos el método de las restas sucesivas
$\square$
miércoles, 9 de noviembre de 2016
Encontrar el máximo común divisor de dos números naturales, por el método de las restas sucesivas
ENUNCIADO. Calcular el máximo común divisor de $1150$ y $220$ empleando el algoritmo de las restas sucesivas
SOLUCIÓN. Tengamos en cuenta la siguiente propiedad, que es muy evidente: Sean $a$ y $b$ dos números naturales, entonces si $a=b$ se tiene que $\text{m.c.d}(a,b)=a$; y, en caso contrario, si $a {>} b$ o bien $b {>}a$, deberá cumplirse que $$\text{m.c.d}(a,b)=\text{m.c.d.}\left(\text{máximo}(\{a,b\}),\text{máximo}(\{a,b\})-\text{mínimo}(\{a,b\}\right)$$ Iterando este operación [ intercambiando los términos de la resta si el minuendo fuese menor que el sustraendo ], hasta el paso en que el resultado de dicha resta sea cero, deberemos concluir entonces que el máximo común divisor de $a$ y $b$ ha de ser igual a los valores iguales de los términos de esta última resta.
La siguiente tabla ilustra el procedimiento cuando lo implementamos manualmente, organizando los cálculos en una tabla
OBSERVACIÓN. Si bien este método es menos eficaz que el de Euclides ( véase [éste otro artículo] en el que se utiliza dicho método para otro par de números ) -- ambos métodos se atribuyen a Euclides --, es muy fácil programarlo en un ordenador. En primero y segundo de ESO, recomiendo emplear el lenguaje Logo, si se dispone de un intérprete de dicho lenguaje de programación. Es preferible este método al m. basado en la descomposición en factores primos, en el caso de que los números dados no sean pequeños y sus descomposiciones en factores sean demasiado laboriosas. Y es tanto más eficaz cuanto menor sea la diferencia entre los dos números dados
El algoritmo se puede escribir en un lenguaje de programación, por ejemplo en Logo ( muy apropiado para los primeros cursos de ESO ), para poder implementarlo en un ordenador en el que tengamos instalado un intérprete de Logo:
Para poner en marcha el programa en el intérprete de Logo escribimos (en la línea de comandos):
% mcd_restes_successives 1150 220 y validamos la petición ( pulsando la tecla Enter )
dando como respuesta
mcd=10
$\square$
SOLUCIÓN. Tengamos en cuenta la siguiente propiedad, que es muy evidente: Sean $a$ y $b$ dos números naturales, entonces si $a=b$ se tiene que $\text{m.c.d}(a,b)=a$; y, en caso contrario, si $a {>} b$ o bien $b {>}a$, deberá cumplirse que $$\text{m.c.d}(a,b)=\text{m.c.d.}\left(\text{máximo}(\{a,b\}),\text{máximo}(\{a,b\})-\text{mínimo}(\{a,b\}\right)$$ Iterando este operación [ intercambiando los términos de la resta si el minuendo fuese menor que el sustraendo ], hasta el paso en que el resultado de dicha resta sea cero, deberemos concluir entonces que el máximo común divisor de $a$ y $b$ ha de ser igual a los valores iguales de los términos de esta última resta.
La siguiente tabla ilustra el procedimiento cuando lo implementamos manualmente, organizando los cálculos en una tabla
OBSERVACIÓN. Si bien este método es menos eficaz que el de Euclides ( véase [éste otro artículo] en el que se utiliza dicho método para otro par de números ) -- ambos métodos se atribuyen a Euclides --, es muy fácil programarlo en un ordenador. En primero y segundo de ESO, recomiendo emplear el lenguaje Logo, si se dispone de un intérprete de dicho lenguaje de programación. Es preferible este método al m. basado en la descomposición en factores primos, en el caso de que los números dados no sean pequeños y sus descomposiciones en factores sean demasiado laboriosas. Y es tanto más eficaz cuanto menor sea la diferencia entre los dos números dados
El algoritmo se puede escribir en un lenguaje de programación, por ejemplo en Logo ( muy apropiado para los primeros cursos de ESO ), para poder implementarlo en un ordenador en el que tengamos instalado un intérprete de Logo:
procediment mcd_restes_successives :a :b
si :a=:b
[escriu.seguit [mcd=] escriu :a acaba]
[
si :a<:b
[posa.a "b :a]
[posa.a "a (:a - :b) mcd_restes_successives :a :b]
]
fi
Para poner en marcha el programa en el intérprete de Logo escribimos (en la línea de comandos):
dando como respuesta
$\square$
Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales empleando el algoritmo de Euclides
ENUNCIADO. Calcular el máximo común divisor de $1050$ y $22$, empleando el algoritmo de Euclides
SOLUCIÓN. Dados dos números naturales $a$ y $b$, con $a \ge b$, se cumple la siguiente propiedad $$\text{m.c.d.}(a,b)=\text{m.c.d}(b,r)$$ donde $r$ representa el resto de la división $a \div b$. Iterando esta propiedad, hasta llegar a una división con resto igual a $0$, vemos que el máximo común divisor pedido ha de ser igual al divisor de la última división.
Así, pues, organizando los cálculos en una tabla con los números del ejercicio, se llega a
con lo cual $$\text{m.c.d}(1050,22)=2$$
OBSERVACIÓN. Este método es más eficaz que el m. basado en la descomposición en factores primos de los dos números dados. El siguiente programa escrito en Logo puede implementarse en un ordenador en el que hayamos instalado un intérprete de dicho lenguaje de programación ( muy apropiado para los primeros cursos de ESO ):
Siendo $a \ge b$, el siguiente programa recursivo lleva rápidamente a la solución:
Este otro programa utiliza el mismo algoritmo, si bien es una versión no recursiva del de arriba
%mcd_Euclides 1050 22 dando como respuesta
mcd=2 $\square$
SOLUCIÓN. Dados dos números naturales $a$ y $b$, con $a \ge b$, se cumple la siguiente propiedad $$\text{m.c.d.}(a,b)=\text{m.c.d}(b,r)$$ donde $r$ representa el resto de la división $a \div b$. Iterando esta propiedad, hasta llegar a una división con resto igual a $0$, vemos que el máximo común divisor pedido ha de ser igual al divisor de la última división.
Así, pues, organizando los cálculos en una tabla con los números del ejercicio, se llega a
OBSERVACIÓN. Este método es más eficaz que el m. basado en la descomposición en factores primos de los dos números dados. El siguiente programa escrito en Logo puede implementarse en un ordenador en el que hayamos instalado un intérprete de dicho lenguaje de programación ( muy apropiado para los primeros cursos de ESO ):
Siendo $a \ge b$, el siguiente programa recursivo lleva rápidamente a la solución:
procediment mcd_Euclides :a :b
fes.local "r residu :a :b
si :r=0
[escriu.seguit [mcd=] escriu :b acaba]
[
posa.a "a :b
posa.a "b :r
mcd_Euclides :a :b
]
fi
Este otro programa utiliza el mismo algoritmo, si bien es una versión no recursiva del de arriba
procediment mcd_Euclides_2 :a :b
fes.local "r
fes.local "dividend
fes.local "divisor
si :a > :b
[
posa.a "dividend :a
posa.a "divisor :b
]
[
posa.a "dividend :b
posa.a "divisor :a
]
repeteix :dividend
[
posa.a "r residu :dividend :divisor
si :r=0
[
escriu.seguit [mcd =] escriu :divisor
acaba
]
[
posa.a "dividend :divisor
posa.a "divisor :r
]
]
fi
Una vez preparado con el editor de Logo, lo pondremos en marcha mediante la siguiente petición ( línea de comandos del entorno de programación ):
lunes, 7 de noviembre de 2016
De la descripción literal de una cantidad a la escritura numérica
ENUNCIADO. Escribir la cantidad numérica:
a) dos mil doscientos cuarenta y tres
b) trescientos tres millones cuatrocientos dos mil cincuenta y cuatro
c) cinco billones ciento ochenta mil
SOLUCIÓN.
a) $2\,243$
b) $303\,402\,054$
c) $5 \,000\, 000\, 180\, 000$
$\square$
a) dos mil doscientos cuarenta y tres
b) trescientos tres millones cuatrocientos dos mil cincuenta y cuatro
c) cinco billones ciento ochenta mil
SOLUCIÓN.
a) $2\,243$
b) $303\,402\,054$
c) $5 \,000\, 000\, 180\, 000$
$\square$
Escribiendo una cantidad ( forma literal )
ENUNCIADO. Escribir en forma literal:
a) $3\,569\,102$
b) $231\,744$
c) $7\,847\,754\,890\,128$
SOLUCIÓN.
a) tres millones quinientos sesenta y nueve mil ciento dos
b) dos cientos treinta y un mil setecientos cuarenta y cuatro
c) siete billones ochocientos cuarenta y siete mil setecientos cincuenta y cuatro millones ochocientos noventa mil ciento veintiocho
$\square$
a) $3\,569\,102$
b) $231\,744$
c) $7\,847\,754\,890\,128$
SOLUCIÓN.
a) tres millones quinientos sesenta y nueve mil ciento dos
b) dos cientos treinta y un mil setecientos cuarenta y cuatro
c) siete billones ochocientos cuarenta y siete mil setecientos cincuenta y cuatro millones ochocientos noventa mil ciento veintiocho
$\square$
Obteniendo el mínimo común múltiplo de dos números naturales
ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo de $24$ y $32$
SOLUCIÓN.
Vamos a emplear el método de las restas sucesivas para hallar, primero, el máximo común divisor de $24$ y $32$
Y, a continuación, por la propiedad que dice que para dos números naturales $a$ y $b$ se cumple $$\text{m.c.d}(a,b) \cdot \text{m.c.m}(a,b) = a \cdot b$$ llegamos a $$8 \cdot \left(\text{m.c.m}(32,24)\right) =32 \cdot 24$$ de donde $$\text{m.c.m}(32,24)=32\cdot 24 \div 8 = 96$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Vamos a emplear el método de las restas sucesivas para hallar, primero, el máximo común divisor de $24$ y $32$
minuendo sustraendo resta
32 24 8
24 8 16
16 8 8
8 8 0
encontrando $$\text{m.c.d}(32,24)=8$$Y, a continuación, por la propiedad que dice que para dos números naturales $a$ y $b$ se cumple $$\text{m.c.d}(a,b) \cdot \text{m.c.m}(a,b) = a \cdot b$$ llegamos a $$8 \cdot \left(\text{m.c.m}(32,24)\right) =32 \cdot 24$$ de donde $$\text{m.c.m}(32,24)=32\cdot 24 \div 8 = 96$$
$\square$
Hallar el máximo común divisor de dos números naturales
ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $12$ y $15$
SOLUCIÓN.
Procedimiento 1. $\text{div}(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$ y $\text{div}(12)=\{1,2,5,15\}$, luego $\text{divisores comunes}(12,15)=\{1,3\}$; así que, $$\text{m.c.d}(12,15)=\text{máximo}\{1,3\}=3$$
Procedimiento 2. Descomponiendo en producto de factores primos, $$12=2^2\cdot 3$$ y $$15=3\cdot 5$$ entonces, seleccionando los factores comunes con menor exponente, encontramos $$\text{m.c.d.}(15,12)=\text{m.c.d.}(2^2\cdot 3,3\cdot 5)=3$$
Procedimiento 3. Restando de manera iterada el menor de los dos números del mayor que vamos obteniendo de dichas restas, hasta encontrar un resultado menor que el menor de los dos números, alcanzamos el máximo común divisor en un sólo paso
$$15-12=3 \rightarrow \text{m.c.d.}(15,12)=3$$
Procedimiento 4. Empleando el método de Euclides -- que se basa en aplicar de forma iterada la siguiente propiedad: el máximo común divisor de dos números naturales $a$ y $b$ ( donde $a \ge b$ ) es igual al $b$ si $a$ es múltiplo de $b$ ( el resto de $a \div b$ es cero ), y si no $a$ no es múltiplo de $b$, el máximo común divisor de $a$ y $b$ es igual al máximo común divisor de $b$ y del resto de $a \div b$ --, vemos que el resto de la división $15\div 12$ es $3$; como dicho resto no es $0$, procedemos a dividir $12 \div 3$, y obtenemos resto igual a $0$, luego $\text{m.c.d.}(15,12)=3$
$\square$
SOLUCIÓN.
Procedimiento 1. $\text{div}(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$ y $\text{div}(12)=\{1,2,5,15\}$, luego $\text{divisores comunes}(12,15)=\{1,3\}$; así que, $$\text{m.c.d}(12,15)=\text{máximo}\{1,3\}=3$$
Procedimiento 2. Descomponiendo en producto de factores primos, $$12=2^2\cdot 3$$ y $$15=3\cdot 5$$ entonces, seleccionando los factores comunes con menor exponente, encontramos $$\text{m.c.d.}(15,12)=\text{m.c.d.}(2^2\cdot 3,3\cdot 5)=3$$
Procedimiento 3. Restando de manera iterada el menor de los dos números del mayor que vamos obteniendo de dichas restas, hasta encontrar un resultado menor que el menor de los dos números, alcanzamos el máximo común divisor en un sólo paso
$$15-12=3 \rightarrow \text{m.c.d.}(15,12)=3$$
Procedimiento 4. Empleando el método de Euclides -- que se basa en aplicar de forma iterada la siguiente propiedad: el máximo común divisor de dos números naturales $a$ y $b$ ( donde $a \ge b$ ) es igual al $b$ si $a$ es múltiplo de $b$ ( el resto de $a \div b$ es cero ), y si no $a$ no es múltiplo de $b$, el máximo común divisor de $a$ y $b$ es igual al máximo común divisor de $b$ y del resto de $a \div b$ --, vemos que el resto de la división $15\div 12$ es $3$; como dicho resto no es $0$, procedemos a dividir $12 \div 3$, y obtenemos resto igual a $0$, luego $\text{m.c.d.}(15,12)=3$
$\square$
Encontrando los divisores de un número natural
ENUNCIADO. Calcular todos los divisores de $24$
SOLUCIÓN. Descomponiendo $24$ como producto de factores primos, obtenemos la factorización $$24=2^3\cdot 3$$. Según dicha factorización, los divisores de $2^3$ son divisores de $24$ y éstos son $\text{div}(2^3=8)=\{1,2,2^2,2^3\}=\{1,2,4,8\}$. También son divisores de $24$ los divisores $3$, que son $\{1,3\}$. Pero, además, son también divisores de $24$ los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^3$ por todos los divisores de $3$, esto es, $\{1\cdot 1, 2\cdot 1,4\cdot 1,8\cdot 1, 1\cdot 3,2\cdot 3,4\cdot 3,8\cdot 3\}$, es decir, $\text{div}(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$
Nota: Cuando la descomposición admite más factores, es conveniente organizar la búsqueda de divisores mediante diagramas de árbol o bien mediante tablas de doble entrada.
$\square$
SOLUCIÓN. Descomponiendo $24$ como producto de factores primos, obtenemos la factorización $$24=2^3\cdot 3$$. Según dicha factorización, los divisores de $2^3$ son divisores de $24$ y éstos son $\text{div}(2^3=8)=\{1,2,2^2,2^3\}=\{1,2,4,8\}$. También son divisores de $24$ los divisores $3$, que son $\{1,3\}$. Pero, además, son también divisores de $24$ los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^3$ por todos los divisores de $3$, esto es, $\{1\cdot 1, 2\cdot 1,4\cdot 1,8\cdot 1, 1\cdot 3,2\cdot 3,4\cdot 3,8\cdot 3\}$, es decir, $\text{div}(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$
Nota: Cuando la descomposición admite más factores, es conveniente organizar la búsqueda de divisores mediante diagramas de árbol o bien mediante tablas de doble entrada.
$\square$
Situar en la recta de los números naturales y ordenar de menor a mayor
ENUNCIADO. Situar los números que se dan abajo en la recta de los números enteros ( mediante la regla y el compás ); y ordenarlos de menor a mayor, utilizando correctamente el símbolo $<$, que significa (...) menor que (...) $$\{5,1,0,2,8,3,6\}$$
SOLUCIÓN.
Con ayuda de una regla, trazamos una semirrecta. A continuación, mediante un compás con apertura constante, y a partir del extremo izquierdo, vamos trazando divisiones; a continuación las enumeramos a partir del cero. Y, finalmente, situamos los puntos dados en la semirrecta de los números naturales $\mathbb{N}$, que así hemos construido.
Ordenando los números dados, de izquierda a derecha, según su posición en la semirrecta de los números naturales, podemos escribir:
$$0\prec 1 \prec 2 \prec 3 \prec 5 \prec 6 \prec 8$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Con ayuda de una regla, trazamos una semirrecta. A continuación, mediante un compás con apertura constante, y a partir del extremo izquierdo, vamos trazando divisiones; a continuación las enumeramos a partir del cero. Y, finalmente, situamos los puntos dados en la semirrecta de los números naturales $\mathbb{N}$, que así hemos construido.
$$0\prec 1 \prec 2 \prec 3 \prec 5 \prec 6 \prec 8$$
$\square$
Multiplicación de números naturales
ENUNCIADO. Realizar la siguiente multiplicación
$$14\,201 \cdot 103$$
SOLUCIÓN.
$14\,201 \cdot 103=$
$=14\,201 \cdot (100+3)$
$=14\,201 \cdot 100+ 14\,201 \cdot 3$ ( propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma )
$=1\,420\,100 + 42\,603$
$=1\,400\,000 + ( 20\,100+42\,603)$
$=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + ( 100+2\,603)$
$=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + 2\,000 + ( 100+603)$
$=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + 2\,000 + 703$
$=1\,400\,000 + 60\,000 + 2\,000 + 703$
$=1\,400\,000 + 60\,000 + 2\,000 + 700+3$
$=1\,000\,000 +400\,000+ 60\,000 + 2\,000 + 700+3$
$=1\,462\,703$
$\square$
$$14\,201 \cdot 103$$
SOLUCIÓN.
$14\,201 \cdot 103=$
$=14\,201 \cdot (100+3)$
$=14\,201 \cdot 100+ 14\,201 \cdot 3$ ( propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma )
$=1\,420\,100 + 42\,603$
$=1\,400\,000 + ( 20\,100+42\,603)$
$=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + ( 100+2\,603)$
$=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + 2\,000 + ( 100+603)$
$=1\,400\,000 + ( 20\,000+40\,000) + 2\,000 + 703$
$=1\,400\,000 + 60\,000 + 2\,000 + 703$
$=1\,400\,000 + 60\,000 + 2\,000 + 700+3$
$=1\,000\,000 +400\,000+ 60\,000 + 2\,000 + 700+3$
$=1\,462\,703$
$\square$
Operaciones combinadas con números naturales
ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada:
$$7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot(12-9)$$
SOLUCIÓN.
$7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot(12-9)$
$=7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot 3$
$=21+30+6$
$=51+6$
$=57$
$\square$
$$7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot(12-9)$$
SOLUCIÓN.
$7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot(12-9)$
$=7\cdot 3+6\cdot 5+2\cdot 3$
$=21+30+6$
$=51+6$
$=57$
$\square$
División con números naturales
ENUNCIADO. Queremos repartir $21$ bolígrafos entre $8$ personas, de modo que a cada una de ellas le corresponda el mismo número de bolígrafos que a las demás. Se pide:
a) ¿ Cuántos bolígrafos habrá que entregar a cada persona ?
b) ¿ Cuántos bolígrafos no podremos entregar a nadie ?
SOLUCIÓN.
a) El cociente de la división ( con números naturales ) $21 \div 8$ es $2$, luego debemos dar $2$ bolígrafos a cada persona.
b) El número de bolígrafos que no podremos distribuir corresponde al resto de la división $21\div 8$, que es igual a $21-2\cdot 8=5$ bolígrafos.
$\square$
a) ¿ Cuántos bolígrafos habrá que entregar a cada persona ?
b) ¿ Cuántos bolígrafos no podremos entregar a nadie ?
SOLUCIÓN.
a) El cociente de la división ( con números naturales ) $21 \div 8$ es $2$, luego debemos dar $2$ bolígrafos a cada persona.
b) El número de bolígrafos que no podremos distribuir corresponde al resto de la división $21\div 8$, que es igual a $21-2\cdot 8=5$ bolígrafos.
$\square$
Cálculos con números naturales
ENUNCIADO. Hallar el número que debe ocupar el recuadro:
a) $126+899+786=\square$
b) $12+\square+11=31$
SOLUCIÓN.
a)
Se nos pide el resultado de la suma. Lo siguiente es un proceso explicativo del resultado, que supongo habréis deducido haciendo la cuenta tal como se os ha enseñado en la escuela primaria.
$126+899+786=$
$1\cdot 100 + 2\cdot 10 + 6 +$
$+8\cdot 100 + 9\cdot 10 + 9 +$
$+7\cdot 100 + 8\cdot 10 + 6$
$=(1+8+7)\cdot 100 + ( 2+9+8)\cdot 10 + (6+9+6)$
$=16\cdot 100 + 19\cdot 10 + 21$
$=1\cdot 1000 + 6\cdot 100 + 1\cdot 100+9\cdot 10 + 2\cdot 10+1$
$=1\cdot 1000 + (6+1)\cdot 100 + (9+2)\cdot 10 +1$
$=1\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 11\cdot 10 +1$
$=1\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 1\cdot 100+1\cdot 10 +1$
$=1\cdot 1000 + (7+1)\cdot 100 + 1\cdot 10+1$
$=1\cdot 1000 + 8\cdot 100 + 1\cdot 10+1$
$=1811$
b)
$12+\square+11=31$
$(12+11)+\square=31$, donde hemos aplicado la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa de la suma ( en el primer miembro )
Así, obtenemos
$23+\square=31$
$-23+23+\square=-23+31$
$0+\square=-23+31$
$\square=-23+31$
$\square=31+(-23)$
$\square=(+31)+(-23)$
$\square=+8$, esto es, $\square=8$
$\square$
a) $126+899+786=\square$
b) $12+\square+11=31$
SOLUCIÓN.
a)
Se nos pide el resultado de la suma. Lo siguiente es un proceso explicativo del resultado, que supongo habréis deducido haciendo la cuenta tal como se os ha enseñado en la escuela primaria.
$126+899+786=$
$1\cdot 100 + 2\cdot 10 + 6 +$
$+8\cdot 100 + 9\cdot 10 + 9 +$
$+7\cdot 100 + 8\cdot 10 + 6$
$=(1+8+7)\cdot 100 + ( 2+9+8)\cdot 10 + (6+9+6)$
$=16\cdot 100 + 19\cdot 10 + 21$
$=1\cdot 1000 + 6\cdot 100 + 1\cdot 100+9\cdot 10 + 2\cdot 10+1$
$=1\cdot 1000 + (6+1)\cdot 100 + (9+2)\cdot 10 +1$
$=1\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 11\cdot 10 +1$
$=1\cdot 1000 + 7\cdot 100 + 1\cdot 100+1\cdot 10 +1$
$=1\cdot 1000 + (7+1)\cdot 100 + 1\cdot 10+1$
$=1\cdot 1000 + 8\cdot 100 + 1\cdot 10+1$
$=1811$
b)
$12+\square+11=31$
$(12+11)+\square=31$, donde hemos aplicado la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa de la suma ( en el primer miembro )
Así, obtenemos
$23+\square=31$
$-23+23+\square=-23+31$
$0+\square=-23+31$
$\square=-23+31$
$\square=31+(-23)$
$\square=(+31)+(-23)$
$\square=+8$, esto es, $\square=8$
$\square$
domingo, 6 de noviembre de 2016
Los números primos y las cigarras
Se sabe que las cigarras del género [Magicicada] pasan la casi totalidad de su tiempo de vida bajo tierra, donde se alimentan ( de los nutrientes de las raíces de las plantas ), se aparean y mueren. Las cigarras engendradas salen a la superficie cada $13$ o cada $17$ años. Estos dos números son primos, así que surge la siguiente pregunta: ¿ Por qué la evolución ha seleccionado números primos como duración de los ciclos vitales ?. Algunas investigaciones apuntan a que la razón de ello no es otra que la de aminorar el efecto de los depredadores que tengan ciclos vitales cuya duración sea un número compuesto, pues, si en lugar de ser la duración del ciclo vital de dichas cigarras un número primo como $13$, fuese un número próximo, si bien compuesto, pongamos que, p. ej. de $12$ años, todos los depredadores cuyo ciclo vital fuese divisor de $12$ ( $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ y $12$ años ) contribuirían a la disminución del número de individuos de las especies de dichas cigarras; mientras que si el ciclo vital es de un número primo de años ( como p. ej. de $13$ años ), el número de individuos muertos por los depredadores, lógicamente, se reduce.
Referencias:
PICKOVER, C.A., El libro de las Matemáticas, Librero b.v., Madrid, 2011.
Referencias:
PICKOVER, C.A., El libro de las Matemáticas, Librero b.v., Madrid, 2011.
Operaciones combinadas con números enteros ...
ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante:
a) $(-15) \cdot (-2) \div 3$
b) $3\cdot (-7)+(-1)\cdot 4$
c) $\text{opuesto}(2)\cdot \text{opuesto}(6)$
SOLUCIÓN.
a)
$(-15) \cdot (-2) \div 3$
$=30 \div 3$
$=10$
b)
$3\cdot (-7)+(-1)\cdot 4$
$=-21+(-4)$
$=-25$
c)
$\text{opuesto}(2)\cdot \text{opuesto}(6)$
$=-2\cdot (-6)$
$=12$
$\square$
a) $(-15) \cdot (-2) \div 3$
b) $3\cdot (-7)+(-1)\cdot 4$
c) $\text{opuesto}(2)\cdot \text{opuesto}(6)$
SOLUCIÓN.
a)
$(-15) \cdot (-2) \div 3$
$=30 \div 3$
$=10$
b)
$3\cdot (-7)+(-1)\cdot 4$
$=-21+(-4)$
$=-25$
c)
$\text{opuesto}(2)\cdot \text{opuesto}(6)$
$=-2\cdot (-6)$
$=12$
$\square$
Operaciones combinadas con números enteros
ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante:
a) $2+\text{opuesto}(5)-1$
b) $3-7+\text{opuesto}(10)$
c) $1\cdot \text{opuesto}(1)+1$
SOLUCIÓN.
a)
$2+\text{opuesto}(5)-1$
$=2+(-5)-1$
$=2+(-6)$
$=2-6$
$=\text{opuesto}(6-2)$
$=\text{opuesto}(4)$
$=-4$
b)
$3-7+\text{opuesto}(10)$
$=3-7+(-10)$
$=3-17$
$=\text{opuesto}(17-3)$
$=\text{opuesto}(14)$
$=-14$
c)
$1\cdot \text{opuesto}(1)+1$
$=\text{opuesto}(1)+1$
$=0$
$\square$
a) $2+\text{opuesto}(5)-1$
b) $3-7+\text{opuesto}(10)$
c) $1\cdot \text{opuesto}(1)+1$
SOLUCIÓN.
a)
$2+\text{opuesto}(5)-1$
$=2+(-5)-1$
$=2+(-6)$
$=2-6$
$=\text{opuesto}(6-2)$
$=\text{opuesto}(4)$
$=-4$
b)
$3-7+\text{opuesto}(10)$
$=3-7+(-10)$
$=3-17$
$=\text{opuesto}(17-3)$
$=\text{opuesto}(14)$
$=-14$
c)
$1\cdot \text{opuesto}(1)+1$
$=\text{opuesto}(1)+1$
$=0$
$\square$
Hallar el número natural que corresponde al mínimo común múltiplo de ...
ENUNCIADO. Hallar el mínimo común múltiplo de $16$, $24$ y $40$
SOLUCIÓN.
$\text{m.c.m}(16,24,40)$
$=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(16,24,40)$
$=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(2^4,2^3\cdot 3),2^3\cdot 5)$
$=\text{m.c.m}(2^4 \cdot 3,2^3\cdot 5)$
$=2^4\cdot 3 \cdot 5$
$=16\cdot 3 \cdot 5$
$=48 \cdot 5$
$=240$
$\square$
SOLUCIÓN.
$\text{m.c.m}(16,24,40)$
$=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(16,24,40)$
$=\text{m.c.m}(\text{m.c.m}(2^4,2^3\cdot 3),2^3\cdot 5)$
$=\text{m.c.m}(2^4 \cdot 3,2^3\cdot 5)$
$=2^4\cdot 3 \cdot 5$
$=16\cdot 3 \cdot 5$
$=48 \cdot 5$
$=240$
$\square$
Hallar el máximo común divisor de los siguientes números naturales ...
ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $12$, $18$ y $15$
SOLUCIÓN.
$\text{m.c.d}(12,18,15)$
$=\text{m.c.d}(\text{m.c.d}(12,18),15)$
$=\text{m.c.d}(\text{m.c.d}(2^2\cdot 3,2\cdot 3^2),15)$
$=\text{m.c.d}(6,15)$
$=\text{m.c.d}(2\cdot 3,3\cdot 5)$
$=3$
$\square$
SOLUCIÓN.
$\text{m.c.d}(12,18,15)$
$=\text{m.c.d}(\text{m.c.d}(12,18),15)$
$=\text{m.c.d}(\text{m.c.d}(2^2\cdot 3,2\cdot 3^2),15)$
$=\text{m.c.d}(6,15)$
$=\text{m.c.d}(2\cdot 3,3\cdot 5)$
$=3$
$\square$
Encontrando todos los números naturales que son divisores de ...
ENUNCIADO. Calcular todos los divisores de $84$
SOLUCIÓN.
Descomponiendo $84$ en producto de factores primos, obtenemos $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$
Entonces, los divisores de $2^2$, de $3$ y $7$ han de ser, también, divisores de $84$. Sin embargo, hay otros además de éstos, que corresponden a los números que resultan de multiplicar los divisores de cada uno de estos números ( $2^2$, $3$ y $7$, respectivamente ), por los divisores de los otros dos números; éstos otros divisores de $8$ los determinaremos en el último paso. Vamos a encontrar, primero, los divisores de los tres factores: $$\text{div}(2^2)=\{1,2,4\}$$ $$\text{div}(3)=\{1,3\}$$ $$\text{div}(7)=\{1,7\}$$
Pasemos al segundo y último que nos llevará a encontrar todos los divisores de $84$ ( no sólo los que son divisores de $2^2$, de $3$ y de $7$, que acabamos de encontrar ). En otros ejercicios hemos organizado la búsqueda sistemática mediante un diagrama de árbol; en esta ocasión, aprovecharemos para presentar otra forma alternativa ( aunque muy parecida ) de organizar dicha búsqueda, que consiste en utilizar tablas de doble entrada para ir agotando todas las combinaciones de los productos de los divisores de todos y cada uno de los factores.
En la primera tabla se muestran los divisores de $84$ que corresponden a los productos de los divisores de $2^2$ con los de $3$ ( en azul ); y, en la segunda, los divisores de $84$ que se obtienen de la multiplicación de los divisores ( de $84$ ) obtenidos en la primera tabla, con los divisores de $7$. Éstos ( en rojo ) son, por tanto, todos los divisores de $84$:
$$\text{div}(84)=\{1,2,3,4,6,12,7,14,21,28,42,84\}$$
Nota: Observemos que aparecen $12$ divisores, pues, en las combinaciones de productos tenemos que por cada uno de los tres divisores de $2^2$ hay dos divisores de $3$; y, por cada uno de estos $3\cdot 2=6$ divisores que acabamos de obtener de esta primera combinación, hay dos divisores de $7$, luego hay un total de $3\cdot 2 \cdot 2=12$ divisores en total.
$\square$
SOLUCIÓN.
Descomponiendo $84$ en producto de factores primos, obtenemos $84=2^2\cdot 3 \cdot 7$
Entonces, los divisores de $2^2$, de $3$ y $7$ han de ser, también, divisores de $84$. Sin embargo, hay otros además de éstos, que corresponden a los números que resultan de multiplicar los divisores de cada uno de estos números ( $2^2$, $3$ y $7$, respectivamente ), por los divisores de los otros dos números; éstos otros divisores de $8$ los determinaremos en el último paso. Vamos a encontrar, primero, los divisores de los tres factores: $$\text{div}(2^2)=\{1,2,4\}$$ $$\text{div}(3)=\{1,3\}$$ $$\text{div}(7)=\{1,7\}$$
Pasemos al segundo y último que nos llevará a encontrar todos los divisores de $84$ ( no sólo los que son divisores de $2^2$, de $3$ y de $7$, que acabamos de encontrar ). En otros ejercicios hemos organizado la búsqueda sistemática mediante un diagrama de árbol; en esta ocasión, aprovecharemos para presentar otra forma alternativa ( aunque muy parecida ) de organizar dicha búsqueda, que consiste en utilizar tablas de doble entrada para ir agotando todas las combinaciones de los productos de los divisores de todos y cada uno de los factores.
En la primera tabla se muestran los divisores de $84$ que corresponden a los productos de los divisores de $2^2$ con los de $3$ ( en azul ); y, en la segunda, los divisores de $84$ que se obtienen de la multiplicación de los divisores ( de $84$ ) obtenidos en la primera tabla, con los divisores de $7$. Éstos ( en rojo ) son, por tanto, todos los divisores de $84$:
$$\text{div}(84)=\{1,2,3,4,6,12,7,14,21,28,42,84\}$$
Nota: Observemos que aparecen $12$ divisores, pues, en las combinaciones de productos tenemos que por cada uno de los tres divisores de $2^2$ hay dos divisores de $3$; y, por cada uno de estos $3\cdot 2=6$ divisores que acabamos de obtener de esta primera combinación, hay dos divisores de $7$, luego hay un total de $3\cdot 2 \cdot 2=12$ divisores en total.
$\square$
Representar en la recta numérica y ordenar
ENUNCIADO. Situar los números que se dan abajo en la recta de los números enteros ( con regla y compás ) y ordenarlos de menor a mayor, utilizando correctamente el
símbolo ${<}$, que significa (...) menor que (...) $$\{-4,1,0,-2,3,-3\}$$
SOLUCIÓN.
símbolo ${<}$, que significa (...) menor que (...) $$\{-4,1,0,-2,3,-3\}$$
SOLUCIÓN.
Hallar el cociente y el resto
ENUNCIADO. Calcular el cociente y el resto de la siguiente división con números naturales
$$71209 \div 358$$
SOLUCIÓN.
$$71209 \div 358$$
SOLUCIÓN.
Operaciones combinadas con números enteros
ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada:
$$1-7\cdot 3+14\div7\cdot 2+6\cdot(12-11)$$
SOLUCIÓN.
$$1-7\cdot 3+14\div7\cdot 2+6\cdot(12-11)$$
SOLUCIÓN.
Encontrar las cifras que faltan
ENUNCIADO. Hallar las cifras que faltan:
a)
$(4\text{?}8\text{?})-(\text{?}2\text{?}7)=3325$
b)
$(\text{?}4\text{?}3) \cdot (\text{?})=7115$
SOLUCIÓN.
Obtenemos fácilmente la siguientes soluciones:
a) $3325$
b) $1423$
$\square$
a)
$(4\text{?}8\text{?})-(\text{?}2\text{?}7)=3325$
b)
$(\text{?}4\text{?}3) \cdot (\text{?})=7115$
SOLUCIÓN.
Obtenemos fácilmente la siguientes soluciones:
a) $3325$
b) $1423$
$\square$
Operaciones con números naturales
ENUNCIADO. Hallar el número que debe ocupar el recuadro:
a) $323+197+401=\square$
b) $3761+\square+2632=6518$
SOLUCIÓN.
a)
Desarrollando cada uno de los sumandos,
$323=3\cdot 100+2\cdot 10+3$
$197=1\cdot 100+9\cdot 10+7$
$401=4\cdot 100+0\cdot 10+1$
Así, podemos escribir la suma pedida de la siguiente forma,
$323+197+401=$
$=3\cdot 100+2\cdot 10+3+$
$+1\cdot 100+9\cdot 10+7+$
$+4\cdot 100+0\cdot 10+1$
$=(3+1+4)\cdot 100+(2+9+0)\cdot 10+(3+7+1)$
$=8\cdot 100+11\cdot 10+11$
$=(8+1)\cdot 100+1\cdot 10+11$
$=9\cdot 100+(1+1)\cdot 10+1$
$=9\cdot 100+2\cdot 10+1$
$=921$
b)
$3761+\square+2632=6518$
$3761+2632+\square=6518$
$6393+\square=6518$ ( se omiten los pasos de la suma de los dos primeros sumandos )
$-6393+6393+\square=-6393+6518$
$0+\square=6518-6393$
$\square=6518-6393$
$\square=125$ ( se omiten los pasos de la resta de los dos números enteros del segundo miembro )
$\square$
a) $323+197+401=\square$
b) $3761+\square+2632=6518$
SOLUCIÓN.
a)
Desarrollando cada uno de los sumandos,
$323=3\cdot 100+2\cdot 10+3$
$197=1\cdot 100+9\cdot 10+7$
$401=4\cdot 100+0\cdot 10+1$
Así, podemos escribir la suma pedida de la siguiente forma,
$323+197+401=$
$=3\cdot 100+2\cdot 10+3+$
$+1\cdot 100+9\cdot 10+7+$
$+4\cdot 100+0\cdot 10+1$
$=(3+1+4)\cdot 100+(2+9+0)\cdot 10+(3+7+1)$
$=8\cdot 100+11\cdot 10+11$
$=(8+1)\cdot 100+1\cdot 10+11$
$=9\cdot 100+(1+1)\cdot 10+1$
$=9\cdot 100+2\cdot 10+1$
$=921$
b)
$3761+\square+2632=6518$
$3761+2632+\square=6518$
$6393+\square=6518$ ( se omiten los pasos de la suma de los dos primeros sumandos )
$-6393+6393+\square=-6393+6518$
$0+\square=6518-6393$
$\square=6518-6393$
$\square=125$ ( se omiten los pasos de la resta de los dos números enteros del segundo miembro )
$\square$
martes, 1 de noviembre de 2016
Números naturales primos y compuestos
Para representar un número natural con granos de arroz ( o asteriscos en un dibujo ), podemos asignarle el número de granos de arroz que le corresponda a su cuantía. Así, por ejemplo, necesitaremos dos granos de arroz para representar el número $2$.
Números compuestos
Si los granos de arroz necesarios para representar un cierto número natural pueden disponerse en forma de rectángulo, diremos que dicho número es compuesto.
Ejemplos de números compuestos:
a) el número $4$ puede representarse de la forma ( cada asterisco hace las veces de un grano de arroz )
**
**
en otras palabras, podemos escribir $4$ como producto de otros números más pequeños, distintos de $1$ y del propio $4$: $4=2\cdot 2$
b) el número $16$ puede representarse como
********
********
**
**
**
**
**
**
**
**
o bien
****
****
que significa que $16$ puede escribirse como producto de dos números más pequeños, distintos de $1$ y del propio $16$, esto es $16=4\cdot 4=8\cdot 2=2\cdot 8$
Números primos
Si los granos de arroz necesarios para representar un cierto número natural no pueden disponerse en forma de rectángulo, diremos que dicho número es primo ( no es compuesto ).
Ejemplos de números primos:
c) el número $3$ es primo, pues ninguna de las posibles disposiciones es rectangular
***
*
**
**
*
así que la única forma de escribir $3$ como producto de dos números ( producto de factores ) $3=1\cdot 3=3\cdot 1$
d) el número $5$ es primo, pues ninguna de las posibles disposiciones es rectangular
*****
**
***
...
***
**
Observemos que $5$, como producto de dos números, sólo puede escribirse como $5=1\cdot 5 = 5\cdot 1$
$\square$
Números compuestos
Si los granos de arroz necesarios para representar un cierto número natural pueden disponerse en forma de rectángulo, diremos que dicho número es compuesto.
Ejemplos de números compuestos:
a) el número $4$ puede representarse de la forma ( cada asterisco hace las veces de un grano de arroz )
**
**
en otras palabras, podemos escribir $4$ como producto de otros números más pequeños, distintos de $1$ y del propio $4$: $4=2\cdot 2$
b) el número $16$ puede representarse como
********
********
**
**
**
**
**
**
**
**
o bien
****
****
que significa que $16$ puede escribirse como producto de dos números más pequeños, distintos de $1$ y del propio $16$, esto es $16=4\cdot 4=8\cdot 2=2\cdot 8$
Números primos
Si los granos de arroz necesarios para representar un cierto número natural no pueden disponerse en forma de rectángulo, diremos que dicho número es primo ( no es compuesto ).
Ejemplos de números primos:
c) el número $3$ es primo, pues ninguna de las posibles disposiciones es rectangular
***
*
**
**
*
así que la única forma de escribir $3$ como producto de dos números ( producto de factores ) $3=1\cdot 3=3\cdot 1$
d) el número $5$ es primo, pues ninguna de las posibles disposiciones es rectangular
*****
**
***
...
***
**
Observemos que $5$, como producto de dos números, sólo puede escribirse como $5=1\cdot 5 = 5\cdot 1$
$\square$
Algunos comentarios sobre la división con números enteros
La división con números naturales
Cuando hemos tratado la división con números naturales, hemos dicho que para dos números naturales $D$ y $d\neq 0$ ( a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente ), realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números naturales, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1. $D=d\cdot c + r$
2. $r$ ha de ser menor que el divisor
Veamos algunos ejemplos:
a) Si $D:=3$ y $d:=2$, entonces $c=1$ y $r=1$. Una situación práctica: Si queremos repartir ( por igual ) tres lápices entre dos personas, cada una se queda con un lápiz y queda un lápiz sin que podamos repartir.
b) Si $D:=7$ y $d:=3$, entonces $c=2$ y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) siete lápices entre tres personas, supone dar dos lápices a cada una, quedando un lápiz sin repartir.
c) Si $D:=1$ y $d:=2$, entonces $c=0$ ( entendemos el $0$ como un número natural ) y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) un lápiz entre dos personas es imposible, luego quedará dicho lápiz por repartir, y cada una de las dos personas se quedará sin lápiz alguno.
-oOo-
La división con números enteros
Podemos plantearnos ahora la extensión de la división con números naturales a la división con números números enteros, esto es, realizar divisiones en las que el dividendo o bien el divisor ( o ambos ) puedan ser no sólo números enteros positivos, sino, también, números enteros negativos, como p. ej. $-1 \div 2$. Nos preguntamos: ¿ Qué valor tomará ahora el cociente ? ¿ y el resto ?
Para dar respuesta a estas preguntas, debemos tener en cuenta el siguiente teorema, conocido como teorema de la división euclídea ( o de la división con números enteros ): dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1. $D=d\cdot c + r$
2. $r$ ha de ser positivo o cero, y menor que el valor absoluto del divisor
Así, dada la división $-1 \div 2$ donde $D:=-1$ y $d:=2$, vemos que $c=-1$ y $r=1$, ya que estos números cumplen las dos condiciones:
1. $-1=2\cdot (-1) + 1$
2. $r=1$ es menor que el divisor $d:=2$ ( que en este caso es positivo )
Veamos algunos ejemplos más:
d) Si $D:=-1$ y $d:=-2$, entonces $c=1$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-1=-2\cdot 1+1$ y $r=1\prec \left|-2\right|=2$
e) Si $D:=5$ y $d:=-3$, entonces $c=-1$ y $r=2$, ya que se cumplen las dos condiciones: $5=-3\cdot (-1)+1$ y $r=2\prec \left|-3\right|=3$
f) Si $D:=-5$ y $d:=3$, entonces $c=-2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=3\cdot (-2)+1$ y $r=1 \prec \left|3\right|=3$
g) Si $D:=-5$ y $d:=-3$, entonces $c=2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=(-3)\cdot 2+1$ y $r=1 \prec \left|-3\right|=3$
h) Si $D:=1$ y $d:=-2$, entonces $c=0$ y $r=1$
i) Si $D:=12$ y $d:=-3$, entonces $c=-4$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $12$ es múltiplo de $-3$, en otras palabras, $-3$ es divisor de $12$ )
j) Si $D:=-24$ y $d:=4$, entonces $c=-6$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-24$ es múltiplo de $4$, en otras palabras, $4$ es divisor de $-24$ )
k) Si $D:=-121$ y $d:=-11$, entonces $c=11$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-121$ es múltiplo de $-11$, en otras palabras, $-11$ es divisor de $-121$ )
Una situación práctica:
Digamos ahora algo acerca de en qué situaciones prácticas podría aplicarse este cálculo, para ello consideremos la siguiente situación, a modo de ejemplo. Dos personas que viajan juntas adquieren una deuda de $1$ unidad monetaria. Para calcular la aportación ( por igual ) de cada una, al objeto de satisfacer dicha deuda ( $D=-1$ y $d=2$ ), y suponiendo que no haya monedas más pequeñas como fracciones dicha unidad monetaria, debemos pensar en la división euclídea ( con números enteros ) $-1 \div 2$. Es evidente que cada persona deberá aportar $1$ unidad monetaria (el cociente es $c=-1$ ) y, evidentemente, va a sobrar $1$ unidad monetaria ( el resto es $r=1$ ) [ que se puede poner en una hucha común para futuros gastos ].
-oOo- Nota: La división con números naturales debe verse, ahora, como un caso particular de la división con números enteros.
$\square$
Cuando hemos tratado la división con números naturales, hemos dicho que para dos números naturales $D$ y $d\neq 0$ ( a los que denominamos dividendo y divisor, respectivamente ), realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números naturales, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1. $D=d\cdot c + r$
2. $r$ ha de ser menor que el divisor
Veamos algunos ejemplos:
a) Si $D:=3$ y $d:=2$, entonces $c=1$ y $r=1$. Una situación práctica: Si queremos repartir ( por igual ) tres lápices entre dos personas, cada una se queda con un lápiz y queda un lápiz sin que podamos repartir.
b) Si $D:=7$ y $d:=3$, entonces $c=2$ y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) siete lápices entre tres personas, supone dar dos lápices a cada una, quedando un lápiz sin repartir.
c) Si $D:=1$ y $d:=2$, entonces $c=0$ ( entendemos el $0$ como un número natural ) y $r=1$. Una situación práctica: Repartir ( por igual ) un lápiz entre dos personas es imposible, luego quedará dicho lápiz por repartir, y cada una de las dos personas se quedará sin lápiz alguno.
La división con números enteros
Podemos plantearnos ahora la extensión de la división con números naturales a la división con números números enteros, esto es, realizar divisiones en las que el dividendo o bien el divisor ( o ambos ) puedan ser no sólo números enteros positivos, sino, también, números enteros negativos, como p. ej. $-1 \div 2$. Nos preguntamos: ¿ Qué valor tomará ahora el cociente ? ¿ y el resto ?
Para dar respuesta a estas preguntas, debemos tener en cuenta el siguiente teorema, conocido como teorema de la división euclídea ( o de la división con números enteros ): dados dos números enteros cualesquiera $D$ y $d$, a los que denominamos dividendo y divisor, realizar la división $D \div d$ consiste en encontrar otros dos números enteros, $c$ y $r$ ( a los que denominamos cociente y resto, respectivamente ) tales que se cumplan las siguientes condiciones:
1. $D=d\cdot c + r$
2. $r$ ha de ser positivo o cero, y menor que el valor absoluto del divisor
Así, dada la división $-1 \div 2$ donde $D:=-1$ y $d:=2$, vemos que $c=-1$ y $r=1$, ya que estos números cumplen las dos condiciones:
1. $-1=2\cdot (-1) + 1$
2. $r=1$ es menor que el divisor $d:=2$ ( que en este caso es positivo )
Veamos algunos ejemplos más:
d) Si $D:=-1$ y $d:=-2$, entonces $c=1$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-1=-2\cdot 1+1$ y $r=1\prec \left|-2\right|=2$
e) Si $D:=5$ y $d:=-3$, entonces $c=-1$ y $r=2$, ya que se cumplen las dos condiciones: $5=-3\cdot (-1)+1$ y $r=2\prec \left|-3\right|=3$
f) Si $D:=-5$ y $d:=3$, entonces $c=-2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=3\cdot (-2)+1$ y $r=1 \prec \left|3\right|=3$
g) Si $D:=-5$ y $d:=-3$, entonces $c=2$ y $r=1$, ya que se cumplen las dos condiciones: $-5=(-3)\cdot 2+1$ y $r=1 \prec \left|-3\right|=3$
h) Si $D:=1$ y $d:=-2$, entonces $c=0$ y $r=1$
i) Si $D:=12$ y $d:=-3$, entonces $c=-4$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $12$ es múltiplo de $-3$, en otras palabras, $-3$ es divisor de $12$ )
j) Si $D:=-24$ y $d:=4$, entonces $c=-6$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-24$ es múltiplo de $4$, en otras palabras, $4$ es divisor de $-24$ )
k) Si $D:=-121$ y $d:=-11$, entonces $c=11$ y $r=0$ ( Como el resto es cero, decimos que $-121$ es múltiplo de $-11$, en otras palabras, $-11$ es divisor de $-121$ )
Una situación práctica:
Digamos ahora algo acerca de en qué situaciones prácticas podría aplicarse este cálculo, para ello consideremos la siguiente situación, a modo de ejemplo. Dos personas que viajan juntas adquieren una deuda de $1$ unidad monetaria. Para calcular la aportación ( por igual ) de cada una, al objeto de satisfacer dicha deuda ( $D=-1$ y $d=2$ ), y suponiendo que no haya monedas más pequeñas como fracciones dicha unidad monetaria, debemos pensar en la división euclídea ( con números enteros ) $-1 \div 2$. Es evidente que cada persona deberá aportar $1$ unidad monetaria (el cociente es $c=-1$ ) y, evidentemente, va a sobrar $1$ unidad monetaria ( el resto es $r=1$ ) [ que se puede poner en una hucha común para futuros gastos ].
$\square$
Suscribirse a:
Entradas
(
Atom
)