Consideremos un cierto número de bolas que queremos disponer en grupos de ocho ...

Enunciat:
    En Josep té un cert nombre de boles: entre $140$ i $150$ boles. Quan les posa en grups de vuit s'adona que li'n queda una sense poder agrupar; si les agrupa de nou en nou, també n'hi queda una sense agrupar; i, si les posa en grups de dotze succeeix el mateix. Exactament, quantes boles té?

Solució:
El nombre de boles ha de ser igual a un múltiple comú de $8$, $9$ i $12$ més una bola. El múltiple comú més petit és igual a $\text{m.c.m}(8,9,2)=2^3 \cdot 3^2=72$, que és un nombre més petit que $140$. Si el multipliquem per $2$ obtenim el múltiple comú consecutiu a $72$, que és $144$ ( quantitat compresa entre $140$ i $150$ ). Per tant, el nombre de boles que té en Josep és igual a $144+1=145$.
$\square$

Calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números enteros

Enunciat:
    Traballant amb nombres enters, calculeu:
      a) el mínim comú múltiple de $-2$ i $8$
      b) el màxim comú divisor de $-2$ i $8$

Solució:
  a)
    Tinguem en compte que, ara, estem treballant amb nombres enters. Les idees sobre els conceptes de múltiples i divisors s'hi estenen a partir dels nombres naturals. En aquest cas, però, que volem trobar el mínim comú múltiple de dos nombres enters un dels quals és negatiu, cal donar, com a resultat en tots dos casos, el múltiple comú més proper (als nombres enters donats). El múltiples de $-2$ y $8$ son, respectivament:
      $\dot{(-2)}=\dot{(2)}=\{\ldots,-10-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8\ldots\}$
      $\dot{(-8)}=\dot{(8)}=\{\ldots,-16,-8,0,8,16,\ldots\}$
d'on trobem que
      $\text{m.c.m}(-2,8)=\pm 8$

Observació 1: Si féssim servir l'algorisme dels factors, treballant amb nombres enters ( no només amb nombres naturals ), d'aquí cal entendre, per tant, que $$\text{m.c.m}(2,-8)=\text{m.c.m}(\left|-2\right|,8)=\pm 8$$
$\square$

  b)
    Per calcular el màxim comú divisor de $-2$ i $8$ ( que és el mateix que el de $8$ i $-2$ ) podem fer ús del mètode de les llistes (de divisors), és a dir, trobar tots els divisors de cada un dels dos nombres; i, a partir d'aquestes llistes, escriure la dels divisors comuns; i, finalment, mirar quin és el més gran (ara, en valor absolut). O bé, havent calculat ja el mínim comú múltiple, podem també fer ús de següent propietat ( que ja hem fet servir altres vegades ):
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
així,
        $\pm 8 \times \text{m.c.d}(-2, 8)=-2 \cdot 8$
és a dir
        $\pm 8 \times \text{m.c.d}(-2, 8)=-16$
per tant
        $\text{m.c.d}(-2, 8)=-16 \div (\pm 8)=\pm 2$

Observació 2: Si féssim servir l'algorisme dels factors, treballant amb nombres enters ( no només amb nombres naturals ), d'aquí cal entendre, per tant, que $$\text{m.c.d}(-2,8)=\text{m.c.d}(\left|-2\right|,8)=\pm 2$$
$\square$

máximo común divisor y mínimo común múltiplo de un conjunto de números enteros

Enunciado:
  Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números enteros: $12$, $-4$ i $18$.

Ayuda:
Utilizar las siguientes propiedades:
1.         $\text{m.c.m}(a,b,c)=\text{m.c.m}\big(\text{m.c.m}(a,b),c\big)$
                                $=\text{m.c.m}\big(a,\text{m.c.m}(b,c)\big)$

2.         $\text{m.c.d}(a,b,c)=\text{m.c.d}\big(\text{m.c.d}(a,b),c\big)$
                                $=\text{m.c.d}\big(a,\text{m.c.d}(b,c)\big)$

Solución:
        $\text{m.c.m}(12,-4,18)=\text{m.c.m}\big(\text{m.c.m}(12,\left|-4\right|),18\big)$
                                $=\text{m.c.m}(12,18)$
                                $=\pm 36$

        $\text{m.c.d}(12,-4,18)=\text{m.c.d}\big(\text{m.c.d}(12,\left|-4\right|),18\big)$
                                $=\text{m.c.d}(4,18)$
                                $=\pm 2$

Determinar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo ...

Enunciado:
    Calcular:
      a) el máximo común divisor de $-2$ i $-8$
      b) el mínimo común múltiplo de $-2$ i $8$

Solución:
  a)
Teniendo en cuenta que los divisores de sendos números son:
      $\text{div}(-2)=\{-2,-1,-1,2\}$
      $\text{div}(-8)=\{-8,-4,-2,-1,1,2,4,8\}$
vemos que
            $\text{m.c.d}(-2,-8)=\pm 2$

  b)
Y, por la siguiente propiedad,
        $\text{m.c.m}(a,b) \times \text{m.c.d}(a,b)=a \cdot b$
obtenemos
        $\text{m.c.m}(-2,-8) = \big((-2)\cdot (-8)\big) \div \text{m.c.d}(-2,-8)$
                                        $= \big((-2)\cdot (-8)\big) \div (\pm 2)$
                                        $= 16 \div (\pm 2)$
                                        $= \pm 8$
$\square$

Encontrar cinco múltiplos ...

Enunciado:
¿Cuáles son los cinco primeros múltiplos de seis mayores que $-18$?

Solución:
Los múltiplos de $6$ mayores que un cierto número se obtienen sumando $6$ a dicho número, sucesivamente. Así, como $18$ es múltiplo de $6$, y se piden sólo cinco más, obtenemos:
    $-18+6=-12$
    $-12+6=-6$
    $-6+6=0$
    $0+6=6$
    $6+6=12$
Obtenim, doncs, el següent conjunt dels primers cinc múltiples consecutius de $-18$
      $\{-12,-6,0,6,12\}$
$\square$

Con 24 bolas, queremos formar grupos de bolas de modo que no quede ninguna sin agrupar

Enunciat:
  Disposem de $24$ boles i volem posar-les agrupades de tal manera que no en quedi cap sense agrupar. De quines grandàries (nombre de boles que posem a cada grup) podem fer els grups?

Solució:
  Podem fer els grups de $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ i $24$ boles, que són els divisors de $24$.
$\square$
Observació:     Si les agrupem de una en una, es formen 24 grups; si les agrupem de dos en dos, es formen $24 \div 2 = 12 $ grups; si les agrupem de tres en tres, tindrem $24 \div 3 = 8$ grups; $24 \div 4 = 6$ grups si les agrupem de quatre en quatre; tindrem $24 \div 6 =4$ grups si les ajuntem de sis en sis; i $24 \div 8=3$, si les posem de vuit en vuit; $24 \div 12 =2$, si les ordenem de dotze en dotze, i un sol grup si les posem totes juntes.

´

Justificación del criterio de divisibilidad por tres

Enunciat:     Justifiqueu el criteri de divisibilitat d'un nombre enter per $3$.

Solució:     Considerem, per exemple, un nombre enter de tres xifres, $abc$ (que escollirem positiu, per comoditat), i que desenvoluparem de la forma $100\,a+10\,b+c$. Tindrem en compte la següent propietat fonalmental: si $m$ i $n$ (nombres enters) són divisibles per $k$ ( enter menor o igual, en valor absolut, que $m$ i $n$ ), llavors $m+n$ també és divisible per $k$. Desenvolupant el nombre de tres xifres podem escriure'l de la forma $100\,a+10\,b+c$ que és igual a $(99+1)\,a+(9+1)\,b +c$ i que també podem posar de la forma $99\,a+9\,b+(a+b+c)$; llavors, com que els dos primers sumands són divisibles per tres (això és ben evident, ja que $99$ i $9$ ho son), i el tercer ho és si el valor de la suma $a+b+c$ és múltiple de $3$, el nombre donat ho serà si es compleix aquesta condició. Vet aquí, doncs, la regla que ens permet detectar fàcilment si un nombre és divisible per $3$: ho és si la suma de les seves xifres és un múltiple de tres.

Nota:   Amb un nombre enter arbitrari de xifres faríem exactament el mateix que el que aquí s'explic, a tall indicatiu, per a un nombre enter de tres xifres.

$\square$

Exemple:
  $76437$ és divisible per $3$ perquè la suma de les seves xifres $7+6+4+3+7$ ( que dóna $27$ ) és un múltiple de $3$

Sin efectuar la división ...

Enunciado:
Sin efectuar la división tal cual, demostrar que $845$ es múltiplo de $13$.

Solución:
    $845=8\cdot 10^2+4\cdot 10+5$
        $=8\cdot (13-3)^2+4\cdot (13-3)+5$
        $=8\cdot (13^2-2\cdot 3\cdot 13+9)+4\cdot 13- 4\cdot 3+5$
        $=8 \cdot 13^2 - 8\cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 + 8 \cdot 9 + 4\cdot 13 - 4 \cdot 3 +5$
        $=8 \cdot 13^2 - 8\cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 + 4\cdot 13 + 8 \cdot 9 - 4\cdot 3 +5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 8 \cdot 9 - 4\cdot 3 +5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 65$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4\big)\cdot 13 + 6\,(13-3)+5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6\big)\cdot 13 - 18 +5$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6\big)\cdot 13 - 13$
        $=\big(8 \cdot 13 - 8\cdot 2 \cdot 3 + 4 + 6-1\big)\cdot 13 \Rightarrow 13 \quad \text{es divisor de} \quad 845$
con lo cual, queda demostrado que $845$ es múltiplo de ( es divisible por ) $13$.
$\square$

Justificación de la regla de divisibilidad por once

Enunciat:     Justifiqueu el criteri de divisibilitat per $11$ d'un nombre enter.

Solució:     Considerem, per exemple, un nombre enter de quatre xifres, $abcd$, que escriurem de la forma $1000\,a+100\,b+10\,c+d$. Tindrem en compte, com en els altres criteris de divisibilitat, la següent propietat fonamental: si $m$ i $n$ (nombres enters) són divisibles per $k$ ( enter menor o igual, en valor absolut, que $m$ i $n$ ), llavors $m+n$ també és divisible per $k$. El nombre de quatre xifres desenvolupat el podem escriure també de la forma $(1100-100)\,a+(110-10)\,b +(11-1)\,c+d$
que és igual a
$(1100\,a+110\,b+11\,c)-100\,a-10\,b-c+d$
és a dir
$(11\cdot 100\,a+11\cdot 10\,b+11\,c)-(100\,a+10\,b+c-d)$
llavors, com que els quatre termes del primer parèntesi són (clarament) divisibles per onze, si el valor del segon parèntesi, $100\,a+10\,b+c-d$, també l'és, per tant, el nombre donat $abcd$ també ho serà.

Vet aquí, doncs, una primera regla que ens permet detectar fàcilment si un nombre és divisible per onze: s'ha de complir que $100\,a+10\,b+c-d$ sigui un múltiple d'onze. Reduirem, ara, aquesta regla a una que encara més més manejable. Vegem-ho.

Aquesta condició que hem trobat per tal que $abcd$ sigui múltiple d'onze es pot tornar a aplicar a la mateixa quantitat que hem obtingut, atès que
$100\,a+10\,b+c-d$ es pot escriure de la forma $(110-10)\,a+(11-1)\,b+c-d$ que és igual a $(110\,a+11\,b)-(10\,a+b-c+d)$. Raonant de la mateixa manera, veiem que $10\,a+b-c+d$ ha de ser un múltiple d'onze i, tornant altre cop a fer el mateix, trobem que aquest darrer valor es pot escriure de la forma $(11-1)\,a+b-c+d$ que és igual a $(11\,a)-(a-b+c-d)$ i, al final, deduïm que, per tal que $abcd$ sigui divisible per onze ho ha de ser també el nombre que s'obté de $a-b+c-d$, amb la qual cosa clarifiquem una regla molt pràctica i ràpida per detectar si un nombre donat $abcd$ (de quatre xifes en aquest cas) és o no és divisible per onze.

Nota:   Amb un nombre arbitrari de xifres faríem exactament el mateix que el que aquí s'explica, a tall indicatiu, per a un nombre enter de quatre xifres; per exemple, $abcde$ és múltiple d'onze si $a+b-c+d-e$ és un múltiple d'onze (incloent el zero).
$\square$

Exemples:
a)   $1375$ és divisible per $11$ perquè $1-3+7-5$, que és igual a $0$, que és un múltiple trivial d'onze.
b)   $8290454$ no és divisible per $11$ perquè $-8+2-9+0-4+5-4$, que és igual a $-18$, no és divisible per $11$.

Propietat:     Tot nombre capicua que tingui un nombre parell de xifres és divisible per $11$ ja que el valor de l'expressió de la condició necessària donarà zero i, aquest, és un múltiple trivial d'onze.

        Exemple:     $23788732$ (un capicua de vuit xifres [ 8 és un nombre parell ]) és múltiple d'onze perquè es compleix la condició necessària ( $2-3+7-8+8-7+3-2$ és igual a $0$, que és múltiple trivial d'onze ).

    Observació:     Atenció, però: No pas tots els nombres capicues que tinguin un nombre senar de xifres són, necessàriament, divisibles per $11$.

        Exemples:     El nombre $121$ és un capicua de tres xifres i també és un múltiple d'onze perquè compleix la condició $-1+2-1=0$ que és múltiple trivial d'onze. Per contra $111$, que també és un capicua, però que, tenint un nombre senar de xifres, no compleix la condició necessària ( $-1+1-1$, que és igual a $-1$, no és múltiple d'onze ) per tant $111$ no és múltiple d'onze.

Nota:     Feu un cop d'ull a uns quants criteris/regles de divisibilitat més (divisibilitat per 7, per 13, ...) aquí.

Justificación del criterio de divisibilidad por cinco

Enunciat:     Justifiqueu el criteri de divisibilitat per $5$ d'un nombre enter.

Solució:     Considerem, per exemple, un nombre enter de tres xifres, $abc$ (que considerem positiu, per comoditat), i que desenvoluparem de la forma $100\,a+10\,b+c$. Tenint en compte que si $m$ i $n$ són divisibles per $k$, llavors $m+n$ també és divisible per $k$, veiem que, essent $100\,a$ i $10\,b$ clarament divisibles per $5$, llavors $100\,a+10\,b+c$ serà també divisible per $5$ si $c$ és divisible per $5$ i, per tant, la xifra $c$ només pot ser $0$ o bé $5$.
$\square$

Exemples:
a)  $17893678020945$ és divisible per $5$ perquè la última xifra és $5$
b)  $980527682940$ és divisible per $5$ perquè la última xifra és $0$

Calcular la operación combinada con fracciones .

Enunciat:
Efectueu, pas a pas, la següent operació amb fraccions
      $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{15}$

Solució:
Trobem, primer de tot, fraccions equivalents a les dels tres sumands que tingui el mateix denominador (reducció a comú denominador). El denominador comú cal que sigui un múltiple dels tres nombres enters; qualsevol valdria, però, per comoditat i simplicitat, prendrem el més petit dels múltiples comuns, és a dir, el mínim comú múltiple, $\text{m.c.m}(4,12,15)=60$

    $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3 \cdot (60 \div 4)}{60}=\dfrac{3\cdot 15}{60}=\dfrac{45}{60}$

    $\dfrac{1}{12}=\dfrac{1 \cdot (60 \div 12)}{60}=\dfrac{ 1 \cdot 5}{60}=\dfrac{5}{60}$

    $\dfrac{7}{15}=\dfrac{7 \cdot (60 \div 15)}{60}=\dfrac{ 7 \cdot 4}{60}=\dfrac{28}{60}$

Per tant, podem expressar l'operació
      $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12}+\dfrac{7}{15}$
de la forma
      $\dfrac{45}{60}+\Big(\dfrac{-5}{60}\Big)+\dfrac{28}{60}$
i, com que els tres denominadors són iguals, podrem escriure-la així
      $\dfrac{45-5+28}{60}$
ara, operant els sumands del numerador, queda
      $\dfrac{68}{60}$
i, tenint en compte que $\text{m.c.d}(68,60)=4$, dividint numerador i denominador per aquest divisor comú podrem simplificar la fracció resultant, que és equivalent a
      $\dfrac{17}{15}$
Hem acabat.
$\square$

Calculos diversos con cantidades sexagesimales

Enunciado:
Calcúlese
    $4\cdot (\;6^{\circ}\;30^{'}\;40^{''}\;)$

Solución:
    $4\cdot (\;6^{\circ}\;30^{'}\;40^{''}\;)$
      $=24^{\circ}\;120^{'}\;160^{''}$
      $=24^{\circ}\;120^{'}\;(2\cdot 60 +40)^{''}$
      $=24^{\circ}\;(120+2)^{'}\;40^{''}$
      $=24^{\circ}\;122^{'}\;40^{''}$
      $=24^{\circ}\;(2\cdot 60+2)^{'}\;40^{''}$
      $=(24+2)^{\circ}\;2^{'}\;40^{''}$
      $=26^{\circ}\;2^{'}\;40^{''}$
$\square$

Calcular ...

Enunciado:
Calcúlese
    $5^{\circ}\;20^{'}\;30^{''}+7^{\circ}\;50^{'}\;55^{''}$

Solución:
    $5^{\circ}\;20^{'}\;30^{''}+7^{\circ}\;50^{'}\;55^{''}$
      $=12^{\circ}\;70^{'}\;85^{''}$
      $=12^{\circ}\;(70+1)^{'}\;(85-60)^{''}$
      $=12^{\circ}\;71^{'}\;25^{''}$
      $=(12+1)^{\circ}\;(71-60)^{'}\;25^{''}$
      $=13^{\circ}\;11^{'}\;25^{''}$
$\square$

Calcular la suma ...

Enunciado:
Calcúlese
    $4^{\circ}\;1^{'}\;3^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$

Solución:
    $4^{\circ}\;1^{'}\;3^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$
      $=4^{\circ}\;0^{'}\;63^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$
      $=3^{\circ}\;60^{'}\;63^{''}-2^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}$
      $=(3-2)^{\circ}\;(60-5)^{'}\;(63-6)^{''}$
      $=1^{\circ}\;55^{'}\;57^{''}$
$\square$

Acotaciones

Enunciado:
Sin utilizar la división con decimales, acotar la fracción $-\frac{11}{3}$ entre los dos números enteros más próximos (por defecto y por exceso)

Solución:
El cociente de la división entera $11 \div 3$ es $3$; y el resto, $2$; por tanto,
      $\dfrac{11}{3}=3+\dfrac{2}{3} \Rightarrow -\dfrac{11}{3}=-3-\dfrac{2}{3} \Rightarrow -4 \prec \big(-3-\dfrac{2}{3}\big) \prec -3$
es decir
      $-4 \prec -\frac{11}{3} \prec -3$
$\square$

Resolver la ecuación ...

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación, detallando todos los pasos:   $4\,x-5=6+2\,x$

Solución:
  $4\,x-5=6+2\,x$
  $4\,x-5+5=6+2\,x+5$
  $4\,x+0=6+5+2\,x$
  $4\,x=11+2\,x$
  $4\,x-2\,x=11+2\,x-2\,x$
  $4\,x-2\,x=11+0\cdot x$
  $4\,x-2\,x=11+0$
  $4\,x-2\,x=11$
  $x\,(4-2)=11$
  $(4-2)\,x=11$
  $2\,x=11$
  $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 11$
  $\dfrac{2}{2}\cdot x=\dfrac{11}{2}$
  $1 \cdot x=\dfrac{11}{2}$
  $x=\dfrac{11}{2}$
$\square$

Expresar en el lenguaje natural la siguiente expresión algebraica ...

Enunciado:
Si $x$ representa una cierta cantidad, expresar en el lenguaje natural la siguiente expresión algebraica:
    $4\,\bigg(x^2-\dfrac{2}{3}\,x\bigg)$

Solución:
    El cuádruple de la diferencia del cuadrado de una cierta cantidad y dicha cantidad es igual a las dos terceras partes de ésta.
$\square$

Transcribir al lenguaje del álgebra

Enunciat:
Feu la transcripció del següent enunciat a una expressió algebraica:
    El triple de la diferència dels quadrats de dos nombres diferents

Solució:
Considerant dos nombres qualssevol $x,y \in \mathbb{R}$ tals que $x \neq y$ podem traduir l'enunciat a la següent expressió algebraica:
    $3\,\big(x^2-y^2)$
$\square$

Operar y simplificar

Enunciado:
Operar y simplificar:
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{32}{5}}$

Solución:
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{32}{5}}=4\cdot \dfrac{\;1\;}{\frac{32}{5}}=4 \cdot \text{invers}\big(\dfrac{32}{5}\big)=4\cdot \dfrac{5}{32}=\dfrac{4 \cdot 5}{32}= 5\cdot \dfrac{4}{32}=5\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{8}$

Nota:   También puede hacerse con alguna variación, como por ejemplo, ésta:
    $\dfrac{\;4\;}{\frac{32}{5}}=4 \div \frac{32}{5}=4 \cdot \text{invers}\big(\dfrac{32}{5}\big)=4\cdot \dfrac{5}{32}=\ldots=\dfrac{5}{8}$

$\square$

Calcular el valor numérico ...

Enunciado:
Calcular el valor numérico de la expresión algebraica
    $2\,m-3\,n$
pera $m=-7$ i $n=5$

Solución:
    $\big[2\,m-3\,n \big]_{m=-7,n=5}=2\cdot (-7)-3\cdot 5=-14-15=-29$
$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de $x$ ...

Enunciat:
Calculeu el valor de $x$ que compleix la següent condició:
    $\dfrac{x}{4}=\dfrac{5}{6}$

Solució:
Podem deixar sol el símbol $x$ ( incògnita de l'equació ) en el primer membre de la igualtat multiplicant ambdós membres per $4$
    $\dfrac{x}{4} \cdot 4=\dfrac{5}{6} \cdot 4$

    $x \cdot \dfrac{4}{4}=\dfrac{4 \cdot 5}{6}$

    $x \cdot 1=\dfrac{4}{6} \cdot 5$

    $x=\dfrac{2}{3} \cdot 5$

    $x=\dfrac{2 \cdot 5}{3}$

    $x=\dfrac{10}{3}=3,\bar{3}$

$\square$

División de la medida de un ángulo

Enunciat:
Calculeu:
    $(\;9^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}\;)\div 2$

Solució:
    $(\;9^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}\;)\div 2$
Comencem dividint el nombre de graus:
      $9^{\circ}\div 2 \rightarrow \text{quocient}(4^{\circ} \div 2)=4^{\circ} \quad \text{residu}(4^{\circ} \div 2)=1^{\circ}=60^{'}$
Llavors, afegint el nombre de minuts del residu de la divisió anterior al nombre de minuts de la quantitat original i dividint el resultat per $5$ trobem
      $(5^{'}+60^{'})\div 2 \rightarrow \text{quocient}(65^{'} \div 2)=37^{'} \quad \text{residu}(65^{'} \div 2)=1^{'}=60^{''}$
I, per acabar, afegim el nombre de segons del residu de la divisió anterior al nombre de segons de la quantitat original i, dividint el resultat, per $5$ trobem
      $(6^{''}+60^{''})\div 2 \rightarrow \text{quocient}(66^{''} \div 2)=33^{''} \quad \text{residu}(66^{''} \div 2)=0^{''}$
Per tant
    $(\;9^{\circ}\;5^{'}\;6^{''}\;)\div 2 =4^{\circ}\;37^{'}\;33^{''}$
$\square$

¿Qué tipo de expresión decimal corresponde al número racional $\dfrac{2}{99}$ ?

Enunciat:
Quin tipus d'expressió decimal correspon al nombre decimal     $\dfrac{2}{99}$?

Solució:
La fracció és pròpia, per tant representa un nombre més petit que u. Per altra banda la fracció és irreductible i les xifres del denominador són totes nous; llavors es tracta d'un nombre decimal periòdic pur: la part decimal del nombre consta de dues xifres diferents que es van repetint indefinidament.

¿Qué tipo de expresión decimal corresponden al número racional $\frac{7}{900}$ ?

Enunciat:
Quin tipus d'expressió decimal correspon al nombre decimal     $\frac{7}{900}$ ?

Solució:
La fracció és pròpia, per tant representa un nombre més petit que u. Per altra banda, la fracció és irreductible i les xifres del denominador són tals que la primera és un $9$, i, la resta, zeros; llavors es tracta d'un nombre decimal periòdic mixt: a la part decimal hi ha dues xifres decimals que no formen part del grup de xifres ( decimals ) que es va repetint ( que només consta d'una xifra).

Ejercicio de proporcionalidad. Partes del total

Enunciat:
Calculeu la quantitat que correspon a les dues cinques parts de cinc-mil unitats.

Solució:
Si d'un total de cinc parts ( en total ) en considerem dues, podem expressar això mitjançant la raó aritmètica
    $\dfrac{2}{5}$
Per altra banda, si d'un total de cinc-milt unitats en considerem $x$ d'aquestes, podem expressar-ho de la forma
    $\dfrac{x}{5000}$
Ara, tenint en compte que ambdues maneres d'expressar això són equivalents ( proporció ) podem plantejar la següent igualtat ( equació ):
    $\dfrac{x}{5000}=\dfrac{2}{5}$
Per trobar el valor de $x$ multipliquem per $5000$ a cada membre i, així, en simplificar, aconseguirem deixar sol el símbol $x$ ( la incògnita ) en el primer membre:
    $\dfrac{x}{5000} \cdot 5000 =\dfrac{2}{5} \cdot 5000$

    $x \cdot \dfrac{5000}{5000} =2 \cdot \dfrac{5000}{5}$

    $x\cdot 1 =2 \cdot 1000$

per tant

    $x = 2000$

$\square$

Ejercicio de aplicación de los números enteros

Enunciat:
Un noi arriba a la feina en metro i entra per la porta principal que es troba a la planta zero d'un gran edifici que disposa també de quatre plantes per aparcar els vehicles. En entrar es troba amb una amiga seva que ha vingut en cotxe i que l'ha aparcat en una plaça del les plantes destinades a deixar els vehicles que hi ha a l'edifici, per sota el nivell del carrer. A la porta de l'ascensor es saluden i ella el convida a portar-lo a casa amb el cotxe quan acabin la jornada laboral. Comença la jornada laboral i el noi es mou per les diverses plantes de l'edifici fent el següent recorregut seqüencial: en puja set, en baixa dues, en puja cinc, en baixa quatre, i, finalment en baixa set. Quin és el número de la planta on té el cotxe la seva amiga?

Solució:
El número de planta final del recorregut del noi és igual al número de la planta on comença la jornada laboral, que és la número $0$, més la variació total del recorregut al llarg de la jornada:
      $0+(7-2+5-4-7)=-1$
Llavors, si quan acaba la jornada, el noi baixa fins a la planta $-1$, deduïm que el cotxe de la seva amiga es troba aparcat en aquesta planta de pàrquing: la planta $-1$.
$\square$