En la fuente ...

ENUNCIAT
Jaume i Anna han anat a la font a omplir garrafes d'aigua. A la font hi ha dos dolls. El doll on omple en Jaume li permet omplir 4 garrafes en 16 minuts, mentre que el doll on omple Anna permet omplir 5 garrafes en 10 minuts. Tots dos comencen al mateix temps a omplir les garrafes. Quant de temps ha de passar per tal que omplin 20 garrafes ?

SOLUCIÓ
Mirem a quin ritme omplen garrafes tots dos a la vegada. Come que Jaume omple
a un ritme de 4/16 garrafes/minut (un quart de garrafa cada minut), i Anna omple 5/10 garrafes/minut (mitja garrafa per minut), entre tots dos omplen a un ritme de 1/4+1/2 =3/4 de garrafa cada minut; és a dir, en un temps (en minuts) igual 4/3 s'omple una garrafa (entre tots dos); per tant, per omplir 30 garrafes caldrà un temps igual a (4/3) minuts/garrafa x 30 garrafes = 40 minuts.
$\square$

Un cuento con números

Es pot troben en molts llibres el següent problema. És tot un clàssic. I, certament, la solució, per enginyosa, us deixarà àmb una agradable sensació de sorpresa.

ENUNCIAT
En un llogarret, fa molts anys, vivia un home vell que tenia tres fills. Tenia disset camells i, va voler cedir-los als seus tres fills. Per això, va decidir repartir-los de la manera següent: al fill gran li va cedir va cedir la meitat del grup de camells; al fill mitjà, una tercera part. I, al fill petit, una novena part. La pregunta és: com podria fer efectiu el repartiment ?

SOLUCIÓ
Els fills, de seguida s'adonen que hi ha alguna cosa curiosa en la disposició del seu pare. Així, la meitat de disset no és pas un nombre enter, tampoc ho és la tercera part de disset i, evidentment, tampoc l'és la novena part de disset. No té sentit parlar de fraccions de camell. I el seu pare mai voldria sacrificar els seus estimats camells per repartir-los com a aliment ! Així, doncs, segur que el seu savi pare ho havia fet per alguna raó, van pensar. Per què ?

    - Bé, adoneu-vos – va dir un d'ells – que si sumem les parts no obtenim pas el total de l'herència: 1/2+1/3+1/9 = 17/18. Falta una part entre divuit !. Ben segur que en aquest fet calia cercar la clau de volta per entendre la decisió del seu pare.

    Ja sé que voleu fer ! - va exclamar un altre – ja ho entenc. Mireu, si enlloc de disset camells en tingués divuit, ja no passaria això tan estrany, perquè les parts proporcionals a 1/2, 1/3 i 1/9, donen nombres enters: 9, 6, i 2, respectivament.

    - Bé, però, no teniu pas divuit camells, sino disset, pare.

    - Sí, pero fixeu-vos que la suma de 9, 6 i 2 dóna exactament el nombre de camells que us cediré, ni més ni menys: 9+6+2 = 17.

    - Però i el divuitè camell ? D'on surt, pare ? - va exclamar el més gran -. Ja ens adonem que és necessari per fer el repartiment, però no el teniu pas !

    - Oh ! Això no representa cap problema. Puc demanar al vostre oncle que em deixi un camell en préstec just abans de fer constar els meus béns que, passaran llavors a ser de 18 camells. No més necessito el camell en préstec per fer repartiment. Després d'haver-vos cedit els camells, li tornaré immediatament el camell que em sobrarà, perquè recordeu que us en cedeixo disset, i en total rebreu disset camells, 9=18/2 per al més gran de vosaltres, 6=18/3 per al mitjà, i 2=18/9 per al fill petit, que, en total, són disset, ni més ni menys. Jo em quedaré amb el divuitè camell, però, tot seguit, el tornaré al vostre oncle. Vet aquí la solució.
$\square$

Un autobus y sus pasajeros

ENUNCIADO
Dos personas viajan en un autobús (el conductor y un pasajero). A partir de la segunda parada, así como en cada una de las siguientes, se baja un pasajero y suben dos. ¿Cuántas personas viajan en el autobús entre la décima y la undécima parada?

SOLUCIÓN
Entre la primera y la segunda parada, viajan dos personas en el autobús; entre la segunda y la tercera, viajan tres personas; entre la tercera y la cuarta, viajan cuatro personas. De todo ello se desprende una clara regularidad: entre la décima y la undécima viajan once personas en el autobús. Y, en general, entre la $n$-ésima parada y la $(n+1)$-ésima parada, viajan $n+1$ personas en el autobús.
$\square$

Expresiones algebraicas. Operaciones básicas y propiedades

Com que els símbols no numèrics de les expressions algèbriques no deixen de ser representacions de nombres, podem operar els termes literals fent ús de les mateixes propietats dels nombres reals que ja coneixem. Així, per exemple, sovint farem ús de la propietat commutativa (per a la suma i per a la multiplicació): x+y = y+x, i x·y = y·x; també de la propietat associativa (també per a totes dues): x+(y+z)=(x+y)+z, i x·(y·z)=(x·y)·z; i, en especial, de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma: x(y+z)=x·y+x·z. La propietat distributiva ens serveix per traure factor comú d'una expressió, x·y+x·z-->x(y+z), o bé, a l'inversa, per expandir una expressió factoritzada d'antuvi d'aquesta manera: x(y+z)-->x·y+x·z No cal dir que les propietats de les potències també són vàlides amb símbols. Per exemple, xn·xm=xn+m (on n i m poden ser nombres positius, negatius, o fins també representar el nombre zero [Recordeu que x0=1, sempre i quan x sigui diferent de zero] Aquest curs només apareixeran expressions algèbriques de tipus polinòmic [Recordeu que el curs passat ja vareu veure estudiar una mica]. Els polinomis es poden sumar, multiplicar per nombres, i també es poden dividir; no obstant, no apareixeran divisions en aquest curs. A continuació podeu veure alguns exemples d'operacions amb expressions algèbriques de tipus polinòmic i amb una sola variable (o indeterminada): Exemple 1. Sumeu les expressions x+5 i 3x-7. Simplement cal escriure x+5 + 3x -7 i sumar els termes semblants; així obtindrem x+3x + 5-7 = 4x -2 Exemple 2. Multipliqueu les expressions x+5 i 3x-7. Cal calcular el resultat de l'operació (x+5)·(3x -7); per això (fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma) ens queda: x·3x +5·3x-7x-35, és a dir, 3x2 +15x -7x -35. Finalment, sumant els termes semblants i ordenant els termes de grau més gran a grau més petit, trobem com a resultat 3x2 + 8x -35. Exemple 3. Extraieu factor comú (factoritzeu) l'expressió x+3x2 Observem que els dos termes de l'expressió no són semblants, per tant, no els podem sumar, no obstant, podem escriure l'expressió com un producte de dos termes. Vegem-ho: com que x2=x·x, tenim que x+3x2 = x+3x·x i fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma queda x(1+3x)

Ejercicios varios de proporcionalidad

1. Volem comprar un article valorat en 12,50 € . Com que és època de rebaixes, ens fan un descompte del 5%. Quina quantitat haurem de pagar ?

Anomenem $x$ a la quantitat que cal pagar i plategem la següent proporció, interpretant el significat del tant per cent donat

$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{x}{12,50}$

i d'aquí, aïllem la incògnita

$x=\dfrac{95 \cdot 12,50}{100} \approx 11,88 \, \text{euros}$
$\square$

2. Quant val la raó aritmètica entre la longitud $L$ de la circumferència i el seu diàmetre $D$ ?

$\dfrac{L}{D}=3,14159 \ldots \; = \pi$

$\square$

3. Si comprem $1650$ g d'una substància i ens costa $12,50 \, \text{euros}$, quant val la raó aritmètica entre el cost i la quàntitat que comprem (o venem) ? Quin nom se li dóna al comerç a aquesta raó aritmètic ?

La raó aritmètica a la que es refereix l'enunciat s'anomena preu de la substància que comprem/venem; en el cas concret de l'enunciat el preu té el següent valor:

$\text{preu=}\; \dfrac{12,50}{1650} \; \dfrac{\text{euros}}{\text{g}} \approx 0,008 \; \dfrac{\text{euros}}{\text{g}}$

$\square$

4. Apliqueu, ara, el concepte de proporció per resoldre la següent qüestió, relacionada amb el que s'ha dit a l'enunciat de l'exercici anterior: quant costarà una quantitat de $3450 \; \text{g}$ d'aquella substància ?

Anomenem $x$ al cost d'aquesta quantitat i plantegem la següent proporció

$\dfrac{12,50}{1650}=\dfrac{x}{3450}$

d'on, aïllant la incògnita $x$, trobem

$x=\dfrac{3450 \cdot 12,50}{1650} \approx 26,14 \, \text{euros}$

$\square$

5. Calculeu el valor de $x$ en la següent proporció
$\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{10}$

Si
$\dfrac{3}{x}=\dfrac{15}{10}$
s'haurà de complir que
$3 \cdot 10 = 15 \, x$
i d'aquí
$x=\dfrac{3 \cdot 10 }{15}$
que, naturalment, és igual a $2$
$\square$

6. Un article que hem comprat ens ha costat $45,00 \, \text{\euro}$ (impost de l'I.V.A., del 18%, inclòs). Quant ens costaria si no s'hagués de pagar l'impost ?

Interpretant el tant per cent de l'I.V.A. donat, podem plantejar la proporció, tenint en compte que el que se'ns demana és el preu nominal de l'article $x$:

$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{45,00}$

Aïllant $x$ trobem

$x=\dfrac{45,00 \cdot 100}{118} \approx 38,14 \, \text{euros}$
$\square$

7. Un article que hem comprat a les rebaixes (tots els articles estaven rebaixats un 5%) ens ha costat $15,20 \, \text{\euro}$ (I.V.A. inclòs). Quant costava aquest article abans de les rebaixes ?

Interpretant el tant per cent del descompte, podem plantejar la proporció

$\dfrac{100}{100-5}=\dfrac{x}{15,20}$

on $x$ representa el que se'ns demana: el preu nominal de l'article

Aïllant $x$ trobem

$x=\dfrac{15,20 \cdot 100}{95} = 16,00 \, \text{euros}$
$\square$

Ejercicios varios

1. El preu d'un producte es de $40,00 \; \text{euro}$. Afegint al preu nominal l'I.V.A. del $18$%, quina quantitat haurem de pagar ?

Anomenem $x$ a la quantitat que haurem de pagar. Plantejant la proporció corresponent podem escriure
$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{x}{40,00}$
i aïllant $x$
$x=\dfrac{40,00 \cdot 118}{103} \approx 45,60 \, \text{euro}$
$\square$

2. Quant val el tant per cent que correspon a:
a) trenta unitats d'un total de trenta-dues
b) tres d ecimes d'un total de quatre unitats
c) vint unitats d'un total de

Anomenem $t$ al tant per cent

a)
Plantegem la proporció:
$\dfrac{30}{32}=\dfrac{t}{100}$
i d'aquí
$t=\dfrac{30 \cdot 100}{32}$
i aproximant
$t \approx 93,8$%

b)
Plantejant la proporció:
$\dfrac{0,3}{4}=\dfrac{t}{100}$
i d'aquí
$t=\dfrac{0,3 \cdot 100}{4}$
llavors,
$t = 7,5$%

c)
Plantejant la proporció:
$\dfrac{20}{1000}=\dfrac{t}{100}$
i d'aquí
$t=\dfrac{20 \cdot 100}{1000}$
és a dir
$t = 2$%
$\square$

3. Una botiga ofereix tots els seus productes rebaixats un 6%. Hem comprat un objecte pel qual hem hagut de pagar 12,10 € . Quant hauríem pagat si no ens haguessin fet el descompte ?

Anomenem $x$ al preu nominal (que volem calcular) i plantejant la proporció:
$\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{12,10}$
i d'aquí
$x=\dfrac{12,10 \cdot 100}{94}$
i aproximant
$x \approx 12,87$ €
$\square$

4. Si ens fan un descompte del 5% en la venda d'un article que té un preu nominal de 30,00 €, quant pagarem ?

Anomenem $p$ a la quantitat que haurem de pagar i plantejant la proporció:
$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{p}{30,00}$
i d'aquí
$p=\dfrac{30,00 \cdot 95}{100}$
i, per tant,
$p = 28,50$ €
$\square$

5. L'import de la factura de compra d'un determinat article, amb un I.V.A. del 18 % incl òs, es de 32,00 €. Quin es el preu nominal de l'article ?

Anomenem $x$ a la quantitat demanada, que calcularem plantejant la proporció:
$\dfrac{100}{100+18}=\dfrac{x}{32,00}$
i d'aquí
$x=\dfrac{30,00 \cdot 100}{118}$
d'on trobem que
$x \approx 27,12$ €
$\square$

6. Hem comprat un article que t é un preu de 120,00 €. Quan anem a pagar, ens fan un descompte del 10 %, per ò, per altra banda, cal pagar també un 18$ d'I.V.A. Quant ens costarà ?

Cal calcular el descompte, i afegir l'impost de l'I.V.A., sense que importi l'ordre que seguim per fer aquestes dues operacions (tal i com ja hem justificat a classe).

Anomenem $x$ a la quantitat que resulta d'aplicar el descompte al preu nominal i plantegem la corresponent proporció:
$\dfrac{100-10}{100}=\dfrac{x}{120,00}$
i d'aquí trobem
$x=\dfrac{90 \cdot 120}{100}$
d'on, fent el càlcul trobem
$x = 108,00$ €

A continuació, plategem la proporció que ens permetrà calcular la quantitat $p$ que caldrà pagar havent inclòs l'impost de l'I.V.A.; per això, partint del resultat anterior, escriurem:

$\dfrac{100+18}{100}=\dfrac{p}{108,00}$
i d'aquí trobem que
$p=\dfrac{118 \cdot 108,00}{100}$
d'on, fent el càlcul,
$x = 127,44$ €
$\square$

Determinar el valor de los ángulos interiores de un polígono regular ...

ENUNCIADO:
¿ Cuál es el valor de cada uno de los ángulos interiores de un pentágono regular ?

SOLUCIÓN:

Una interesante fórmula que se deduce al recorrer el perímetro de un polígono regular de $n$ lados es la siguiente $$\hat{Y}=180^{\circ}\,(n-2)$$
donde $\hat{Y}$ denota el valor de cada uno de los $n$ ángulos interiores del polígono.

En efecto, sumando los ángulos de giro realizados cada vez que pasamos de un vértice a otro hasta terminar el recorrido cerrado ( volviendo al mismo vértice y orientándonos de la misma forma que al inicio del recorrido ), observemos que dicho valor es igual a un ángulo completo; esto es, $360^{\circ}$. Por lo tanto, cada uno de los $n$ giros exteriores ( que denotamos por $\hat{X}$ ) debe ser igual a $360^{\circ}/n$; y como el ángulo exterior y el ángulo interior son suplementarios, deducimos que el ángulo interior es igual a $180^{\circ}-360^{\circ}/n$, es decir, $180^{\circ} ( n-2)/n$. Teniendo en cuenta, ahora, que el número total de giros es $n$, deducimos que la suma de los ángulos interiores es $n\cdot \left( 180^{\circ} ( n-2)/n \right) = 180^{\circ}\,(n-2)$, que es la expresión que queríamos justificar.

En el caso particular de un pentágono, $n=5$, encontramos que el valor de la suma de los cinco ángulos interiores es de $180^{\circ}\,(5-2)=180^{\circ}\cdot 3 = 540^{\circ}$, luego $\hat{X}=540^{\circ}/5=108^{\circ}$
$\square$

Calcular mentalmente ...

Enunciado:
Utilizando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, diseñar una estrategia de cálculo mental para realizar la siguiente operación:
                                                $29 \times 26$

Solución:
El objetivo es no abusar de la memoria temporal ( poco precisa ); una estrategia válida sería la siguiente ( si bien hay otras igualmente válidas ):

          $29 \times 26 = \ldots $
              $=29 \times ( 25 + 1)$
              $=29 \times 25 + 29 \times 1$
              $=29 \times 100 \div 4 + 29 $
              $=2900 \div 4 + 29 $
              $=1450 \div 2 + 30 -1$
              $= 725 + 30 -1$
              $= 755 - 1$
              $= 754$
$\square$

Queremos embaldosar el suelo de una habitación rectangular ...

ENUNCIADO:
Queremos embaldosar el suelo de una habitación rectangular, de $24$ decímetros por $36$ decímetros, con baldosas cuadradas. ¿ Qué longitud debe tener el lado de dichas baldosas si deseamos que no quede ningún resquicio y que el número de las mismas sea el menor posible ? ¿ Cuántas baldosas necesitamos ?.

SOLUCIÓN:
El lado de cada baldosa ha de ser el mayor divisor común de las longitudes de sendos lados del suelo de la habitación, esto es, al máximo común divisor de $36$ y $24$, que es $12$. Las baldosas cuadradas deben medir, por tanto, $12$ dm de lado. Y el número de las mismas que se precisa es igual al número de veces que el lado de una baldosa está contenido a lo largo de uno de los lados del suelo de la habitación por el número de las mismas que el otro lado contiene; es decir, $\dfrac{36}{12} \cdot \dfrac{24}{12}= 3 \cdot 2 = 6$ baldosas. $\square$

Una bolsa de un determinado tipo de fruta cuesta ...

ENUNCIADO:
Una bolsa de un determinado tipo de fruta cuesta $6$ euros. Otra bolsa que contiene el mismo tipo de fruta, pero con dos kilogramos más que el contenido de la primera bolsa, cuesta $10$ euros. ¿Cuántos kilogramos de fruta contienen cada una de las dos bolsas? ¿Cuánto cuesta un kilogramo de dicho tipo de fruta?

SOLUCIÓN:
Denotando por $x$ al contenido ( en kilogramos ) de la primera bolsa, la segunda contendrá $x+2$ kilogramos; y como $\dfrac{x}{6}$ es el precio por kilogramo de fruta de la primera bolsa, que tiene el mismo valor que el de la segunda bolsa, $\dfrac{x+2}{10}$, podemos escribir la proporción $$\dfrac{x}{6}=\dfrac{x+2}{10}$$
Reduciendo a común denominador,
$$10x=6x+12$$
y despejando la incógnita ( contenido en kilogramos de la primera bolsa ),
$$x=3\,\text{kg}$$
luego la segunda bolsa contiene
$$x=3+2=5\,\text{kg}$$
El precio por kilogramo es, pues,
$$\dfrac{6}{3}=\dfrac{10}{5}=2\,\dfrac{\text{euros}}{\text{kg}}$$
$\square$

Queremos repartir por igual $213$ cromos entre $13$ amigos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Hom vol distribuir $213$ cromos entre $13$ amics, de tal manera que a cada u li toqui el mateix nombre de cromos. Quants cromos correspon a cada un dels onze amics? Quants cromos es queden sense poder repartir? (Feu ús de la calculadora científica bàsica).

Solució:
És evident que cal dividir $213$ entre $13$; ajudant-nos de la calculadora fem
          $213 \div 13 $
i obtenim
          $16,384615\ldots$

El fet que aquest quocient tingui una part decimal no nul·la indica que $213$ no és múltiple de $13$; és a dir, el residu (reste) de la divisió és diferent de zero.

A cada un, doncs, li correspon $16$ cromos (trunquem la quantitat decimal que apareix a la pantalla de la calculadora i negligim la part decimal).

Pel que fa al nombre demanat de cromos que no podem repartir l'obtenim fent ús de la propietat fonamental de la divisió entera (teorema fonamental de la divisió entera):

si anomenem $D$ al dividend, $d$ al divisor, $q$ al quocient, i $r$ al residu, ( $ r \le d$ ) llavors,

    $\left.\begin{matrix}\text{quocient}\big(D \div d \big)=q\\\\\text{reste}\big(D \div q\big)=r \end{matrix}\right\} \;\Leftrightarrow\; D=d\cdot q+r $

      Observació: és evident que no tindria sentit trencar els cromos que resten (residu) en un nombre de trossos iguals, múltiple de tretze, i repartir-los, car aquests trossos no tindrien cap utilitat.

Per tant, si $D=213$, $d=13$, i $q=16$, s'ha de complir
          $213=13 \cdot 16+r$
és a dir
          $213=208+r$
per tant
          $r=213-208$
              $=5$
Queden, per tant, $5$ cromos per repartir

$\square$

Determinar la mediana del siguiente conjunto de valores de una variable estadística

Enunciado:
Calcular la mediana del siguiente conjunto de valores de una cierta variable estadística $X$:
    $\{2,4,1,3,1,3,3,4,2,3,4,5,3,2,4,1,3,1,3,3,4,2,3,4,5,3,2,4,1,3\}$

Solución:
La mediana, $M$, es uno de los parámetros estadísticos de posición, que indica el valor representativo que corresponden al centre de la lista ordenada:
    $\{1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5\}$
y, es evidente que, en este caso, en el centro de la lista figura un tres, luego la mediana es $3$. $\square$

Proporciones. Equivalencia entre dos razones aritméticas

Enunciat:
Demostreu la següent propietat,

  Donades les raons aritmètiques
    $\dfrac{a}{b}$
i
    $\dfrac{c}{d}$
on
      $a,b,c,d \in \mathbb{R}$

llavors,

la proporció (equivalència de les dues raons)

    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$

es compleix si i només si

    $a\cdot d = b\cdot c$

Solució:

a) Demostrem que
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Rightarrow a\cdot d = b\cdot c$
Partim, doncs, de
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
Mulitplicant ambdós membres de la igualtat per $d\cdot b$, obtenim
    $d\cdot b \cdot \dfrac{a}{b}=d\cdot b \cdot \dfrac{c}{d}$
ens queda
    $\dfrac{d\cdot b \cdot a}{b}=\dfrac{d\cdot b \cdot c}{d}$
és a dir
    $a \cdot d \cdot \dfrac{b}{b}=b \cdot c \cdot \dfrac{d}{d}$
i simplificant
    $a \cdot d = b \cdot c$

b) A continuació farem la demostració del recíproc:
    $a\cdot d = b\cdot c \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} $
Multiplicant ambdós membres de la igualtat per
    $\dfrac{1}{b \cdot d}$
ens queda
    $a\cdot d \cdot \dfrac{1}{b \cdot d} = b\cdot c \cdot \dfrac{1}{b \cdot d}$
que és igual a
    $\dfrac{a\cdot d }{b \cdot d} =\dfrac{b\cdot c}{b \cdot d}$
i, simplificant,
    $\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d}$

$\blacksquare$

Aplicació:   Comprovació d'una proporció

Les raons arimètiques
$\dfrac{1,5}{0,3}$
i
$\dfrac{10,5}{2,1}$
guarden proporció
    $\dfrac{1,5}{0,3} =\dfrac{10,5}{2,1}$

perquè
    $1,5 \cdot 2,1$
        $=3,15$
té el mateix valor que
    $0,3 \cdot 10,5$
        $=3,15$

Justificar la siguiente propiedad ...

Enunciado:

Justificar que $a^0=1$ ( $a \ne 0$ ), utilizando las propiedades básicas de las potencias de exponente natural.

Solución:

Es evidente que
$1=a^{m} \div a^{m} $ ( on $m \in \mathbb{N}$ )
y, por la propiedad del cociente de potencias de la misma base,
$a^{n} \div a^{p} = a^{n-p}$ ( $ n \ge p$ )
podemos escribir,
$1=a^{m} \div a^{m} = a^{m-m}=a^0$
$\square$

Diseñar una estrategia de cálculo mental ...

Enunciado:
Diseñar una estrategia de cálculo mental para efectuar la siguiente división:
                                                $29 / 5$

Solución:
Nos proponemos no forzar nuestra "memoria temporal" de cálculo ( poco persistente, entre operación y operación ); por ello, una estrategia muy válida es, por ejemplo, la siguiente:

          $29 / 5 = \ldots $
              $=29 \cdot \dfrac{1}{5}$
              $=\big(25 + 4\big)\cdot \dfrac{1}{5}$
              $=\dfrac{25}{5}+\dfrac{4}{5}$
              $=5+0,8$
              $=4,8$

$\square$

Expresar el número 346,027 en formal literal y como suma de términos potenciales

Enunciat:
Donat el nombre $346,027$, expresseu-lo en formal literal, donant a entendre el valor posicional de les xifres. Finalment, descomponeu-lo com una suma de termes, d'acord amb el valor posicional de cada xifra.

Solució:
    $346$ representa la següent quantitat: [tres centenes, quatre desenes, sis unitats, dues centèsimes, i set mil·lèsimes]

I, donat que
  una centena s'expressa de la forma
        $100=10^2$
  una desena $=10$
  una unitat $= 1$
  una dècima s'expressa de la forma
      $\dfrac{1}{10^3}=10^{-1}$
  una centèsima es pot posar de la forma
      $\dfrac{1}{10^2}=10^{-2}$
  i una mil·lèsima és igual a
      $\dfrac{1}{10^3}=10^{-3}$

podrem escriure la quantitat donada
    $346,027$
de la forma
    $3\cdot 10^2+4\cdot 10^1+6\cdot 10^2+0\cdot 10^{-1}+2\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}$
és a dir
    $346,027=3\cdot 10^2+4\cdot 10^1+6\cdot 10^2+2\cdot 10^{-2}+7\cdot 10^{-3}$

$\square$

Expresar los siguientes números de forma literal

Enunciat:
Expresseu les següents quantitats en forma literal (feu-ho de vàries maneres equivalents):
  a) $45,698$
  b) $12\,845,201$
  c) $1\,901\,872,1945$
  d) $0\,,021$

Resolució:

  a) $45,698$
      . quaranta-cinc unitats i sis-centes noranta-vuit mil·lèsimes
      . quatre desenes, cinc unitats, sis dècimes, i noranta-vuit centèsimes
     . quatre desenes, cinc unitats, sis dècimes, nou centèsimes, i vuit mil·lèsimes
...

  b) $12\,845,201$
      . dotze mil vuit-centes quaranta-cinc unitats i dues-centes una mil·lèsimes
      . dotze milers vuit-centes quaranta-cinc unitats dues dècimes i una mil·lèsima
      . cent vint-i-vuit mil quatre-centres cinquanta-dues dècimes i una mil·lèsima
...

  c) $1\,901\,872$
      . un milió nou-cents un mil vuit-cents setanta-dos
      . una unitat de milió, nou centenes de miler, una unitat de miler, vuit centenes, set desenes, i dues unitats
...

  d) $0\,,021$
      . vint-i-una mil·lèsimes
      . dues centèsimes i una mil·lèsima
...
$\square$

Considerar una cierta división euclídea

Enunciat:
Considereu una determinada divisió euclidiana (divisió amb nombres enters), els valors dels elements coneguts de la qual són: el dividend és $31$, el divisor és $-5$, i el residu és $1$. Quant val el quocient?

Solució:
Pel teorema de la divisió euclidiana (divisió entera),
    $D=d\cdot q +r$
i, d'aquí, es desprén que $D-r$ ha de ser múltiple de $d$. Llavors,
    $q=(31-1)\div (-5)$
        $=30\div (-5)$
        $=-6$
$\square$

Raíces cuadradas

Enunciat:
Trobeu tots els nombres enters positius més grans que $100$ i més petits que $200$, l'arrel quadrada dels quals sigui igual a un nombre enter positiu de dues xifres amb residu igual a $5$.

Solució:
Recordem que un nombre enter positiu $m$ és solució de l'arrel quadrada d'un nombre enter positiu $n$ ( $n \succ m$ ), amb residu $r$, si es compleix la següent condició
    $m^2+r=n$

Comencem la cerca dels nombres quadrats més grans que $100$ i més petits que $200$; per això, tan sols cal que provem les potències al quadrat dels nombres naturals de dues xifres:
            $11^2=121$
            $12^2=144$
            $13^2=169$
            $14^2=196$
            $15^2=225 \succ 200$
i, per tant, tenim que l'arrel quadrada d'aquests nombres quadrats és un nombre enter positiu amb reste igual a $0$; aquests nombres són els següents:
            $\left|\sqrt{121}\right|=11$
            $\left|\sqrt{144}\right|=12$
            $\left|\sqrt{169}\right|=13$
            $\left|\sqrt{196}\right|=14$

No obstant això, se'ns demana que el reste sigui igual a $5$ ( no pas igual a $0$ ); trobarem, per tant, aquests nombres sumant $5$ a cada un dels nombres quadrats:
            $121+5=126$
            $144+5=149$
            $169+5=174$
            $196+5=201 \succ 200$

Però, a més, se'ns demana que siguin més petits que $200$, amb la qual cosa el conjunt de nombres que compleixen les condicions de l'enunciat és:
    $\left\{126\;,\;149\;,\;174 \right\}$

$\square$

Encontrar los divisores del siguiente número entero

Enunciat:
Determineu tots els nombres enters que són divisors de $120$.

Solució:
    En un article anterior, es parlava de trobar el conjunt de divisors de $120$, entenent aquest com un nombre natural. Ara, però, considerarem el fet que és un nombre natural i ( el que és important quant a la pregunta que se'ns fa ) també un nombre enter (tot nombre natural és un nombre enter).

Recordem que varem trobar que els setze nombres naturals que són divisors de $120$ són
        $\text{div}(120)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$

Doncs, bé, ara tan sols cal afegir-hi els setze nombres negatius (que tenen el mateix valor absolut que els setze nombres naturals que ja havíem trobat ) per completar el conjunt de divisors enters del nombre enter $120$, que, en total, per tant, té $2 \cdot 16 = 32 \; \text{divisors}$ (entre els positius i els negatius ).

$\text{div}(120)=$
$\{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 5,\pm 6,\pm 8,\pm 10,\pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 40, \pm 60, \pm 120\}$
$\square$

Divisores de un número natural

Enunciat:
Considereu el nombre natural $120$. Determineu tots els seus divisors.

Solució:
Primer de tot, expressem el nombre donat com a producte de factors de base un nombre primer:
    $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$
A continuació, escriurem les llistes de divisors de $2^3$, de $3$, i de $5$:
    $\text{div}(2^3)=\{1,2,4,8\}$
    $\text{div}(3)=\{1,3\}$
    $\text{div}(5)=\{1,5\}$
Aquests mateixos divisors de cadascun dels factors són tambe divisors de $120$. N'hi ha més, però; en efecte, els nombres resultants de multiplicar cada element d'una de les tres llistes pels elements de les altres dues són també divisors de $120$. Vegem, tot seguit, quins nombres són aquests a partir de les taules de doble entrada que en faciliten la recerca sistemàtica:

Els setze nommbres resultants de la segona taula corresponen a tots els divisors de $120$:
        $\text{div}(120)=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$
$\square$

Observació 1.1.:     Fem remarca que, en total, hi ha $16$ divisors del nombre natural $120$; això és així perquè ( recordem que $120=2^3 \cdot 3 \cdot 5$ ) si $2^3=8$ té quatre divisors ( $1$, $2$, $3$ i $4$ ), el factor $3$ en té dos ( $1$ i $3$ ), i el factor $5$ en té dos més ( $1$ i $5$ ), en multiplicar els divisors de cada factor pels divisors dels altres dos apareixen $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ divisors en total.

Observació 1.2.:     Es continua insistint, aquí, amb la manera de comptabilitzar el nombre de divisors amb què ens hem de trobar al final del procés. Concretament, ara, farem esment de com fer ús de les taules per deduir quants divisors haurem de trobar a partir dels exponents de de la factorització: com que l'exponent del factor de base $2$, és a dir, $2^3$, és $3$, ens hem d'adonar que d'aquest (factor) surten els quatre ( $3+1$ )divisors de $120$; l'exponent del factor $3=3^1$ és $1$ i, doncs, d'aquest en surten $1+1=2$ més; i, com que l'exponent del factor $5=5^1$ és també $1$, en té també dos més de divisors ( $1+1=2$ ). De la primera taula surten $(1+1)\cdot (1+1)=4$ ( que són tots els divisors de $3 \cdot 5$, és a dir, de $15$, que també són divisors de $120$ ). I, finalment, ja podem comptar el nombres de cel·les de la segona taula ( de la qual surten tots els divisors, ja que aquesta segona taula recull de manera natural els quatre divisors de $15$, a més a més dels de $15 \cdot 8$; en total són, per tant, $(3+1)(1+1)(1+1)=16$ divisors.

Observació 2:     El mateix que s'ha fet amb les taules es pot fer també fent ús d'un diagrama d'arbre.

Determinar el máximo común divisor de ...

Enunciat:
Determineu el màxim comú divisor de $12$ i $-14$

Solució:
A partir de la factorització de $12$, que és igual a $2^2\cdot 3$, trobem els divisors de $12$ són els següents nombres enters:
    $\{\pm 1,\pm 2,\pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\}$
conjunt de nombres que podem posar ordenats en la següent llista
    $\text{div}(12)=\{ -1,-2,-3,-4,-6,-12,1,2,3,4,6,12\}$

A partir de la factorització de $-14$, que és igual a $(-2)\cdot 7=2\cdot (-7)$, trobem els divisors de $-14$ són els següents nombres enters:
    $\{\pm 1,\pm 2, \pm 7,\pm 14\}$
conjunt de nombres que podem posar ordenats en la següent llista
    $\text{div}(-14)=\{ -1,-2,-7,1,2,7,14\}$

Els divisors comuns de $12$ i $-14$ són
    $\{ -2,-1,1,2\}$
i el màxim d'aquest conjunt és
    $\text{m.c.d}(12,-14)=\text{màxim}\big(\{ -2,-1,1,2\}\big)=\pm 2$

$\square$