¿ Qué es una expresión algebraica ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Una expressió algèbrica consta d'un conjunt de lletres que anomenem variables (representen quantitats indeterminades) i també inclou nombres i operacions aritmètiques. Per exemple, 4x2y4-3xy2+2x+y+5 és una expressió algèbrica on x i y són les variables. La resolució algèbrica d'un problema consisteix precisament a determinar els valors que prenen aquestes variables per poder satisfer les condicions de l'enunciat del problema. Una expressió algèbrica pot estar formada per la suma de diverses "parts sumands" que anomenem termes. L'exemple anterior consta de 5 termes. Cada terme consta d'una part numèrica (coeficient) i una part literal (on intervenen símbols no numèrics o lletres que anomenem variables algèbriques [tot i que, a vegades, també poden ser paràmetres]); aquesta part literal pot constar de diversos factors multiplicats entre sí (quan intervé més d'una variable). Observació: En algunes expressions apareixen també altres símbols que, malgrat no representar cap variable, fan el paper de coeficients o bé d'exponents; aquests símbols s'anomenen paràmetres. Per exemple, l'expressió kx+2 és una expressió amb una sola variable (en el primer terme), el coeficient de la qual és el paràmetre k. No apareixeran, però, expressions amb paràmetres durant aquest curs. A l'exemple en negreta (on intervenen dues variables), el coeficient del primer terme és 4 i la seva part litaral és x2y4 que consta de dos factors: x2 i y4; el coeficient del segon és -3 i la seva part literal és xy2 que té dos factors: x i y2; el coeficient del tercer terme és 2 (i té només un factor, x, la part literal del terme); el coeficient del quart és 1, i la seva part literal és y. L'últim terme, 5, no té part literal i, per això, s'anomena terme independent. Un terme és de tipus polinòmic si la base de la potència és una variable i l'exponent un nombre. Observació: Hi ha expressions que tenen termes que no són de tipus polinòmic; per exemple un factor com ara 4x (que no apareix a l'exemple) és de tipus exponencial, no pas polinòmic. Aquest tipus d'expressions apareixeran en cursos venidors, però no durant l'actual. Si els termes són de tipus polinòmic es caracteritzen pel seu grau. El grau d'un factor polinòmic és el valor de l'exponent. Com que un terme pot constar de diversos factors, cada un, amb una variable diferent com a base de la potència, distingirem entre: a) grau absolut d'un terme: és igual a la suma dels exponents de les potències que, com a factors, constitueixen el terme b) grau relatiu (a una determinada variable) d'un terme: és igual al valor de l'exponent del factor que tingui com a base la variable seleccionada. Si, a més a més del coeficient, un terme consta d'un factor amb una sola variable (un sol factor literal), no cal parlar de grau relatiu del terme o grau absolut: el grau del terme és igual al valor de l'exponent de la potència del factor. Direm que dos termes són semblants si tenen la mateixa part literal. Per exemple, els termes 6x2 i 3x2 són semblant perquè tenen la mateixa part literal x2 . Naturalment, si dos termes són semblants es poden sumar; els termes als quals ens acabem de referir 6x2 i 3x2 es poden representar per un sol terme 9x2 que és igual a la suma de tots dos 6x2 + 3x2 .

[nota del autor]

¿ Qué es una igualdad algebraica ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Una igualtat algèbrica és una igualtat entre dues expressions algèbriques. Exemples d'igualtats algèbriques (equacions): a) 4x=3 b) x2=25 c) x+1=8 d) 5x-4=2x+3 e) x2 + 2x +1 = 0 L'expressió situada a l'esquerra de l'igual s'anomena primer membre; i la del costat dret, segon membre. En casos senzills com els dels tres exemples anteriors és fàcil deduir quin valor ha de prendre la variable perquè es compleixi la igualtat: a) si quatre vegades una quantitat (x) és igual a 3, aquesta quantitat ha de ser igual a la quarta part de 3, és a dir, x= 3/4 b) si el quadrat d'una indeterminada és igual a 25, només hi ha dos nombres que elevats al quadrat donen 25: 5 i -5, és a dir, x=5 o bé x=-5 c) si una quantitat indeterminada més una unitat és igual a 8, aquesta quantitat és igual, lògicament, a 8 menys una unitat: 7, és a dir, x=7 En altres casos, com ara els dos darrers exemples (d i e), ja no és immediat esbrinar el valor de la indeterminada: cal efectuar una sèries de passos per determinar-la. Un conjunt d'igualtats algèbriques amb vàries variables constitueixen un sistema d'equacions. Aprendrem a resoldre equacions polinòmiques de 1r i 2n grau i sistemes d'equacions polinòmiques senzills quan treballem els continguts dels temes 5 i 6. Per anar fent boca, però, avancem que la igualtat algèbrica donada es pot anar reduint a igualtats equivalents fins, per exemple, arribar a deduir quin és el valor que ha de prendre la variable (o indeterminada) [quan a l'equació només n'apareix només una]. A tall d'exemple descriurem a continuació els passos de resolució d'una equació molt sezilla. Exemple de resolució d'una equació senzilla: Donada l'equació 2x+1 = x +1, quan ha de valer x per tal que es complexi la igualtat ? Resolució: Tinguem en compte que, en bona lògica, si efectuem la mateixa operació a cada membre, s'obtindrà una igualtat equivalent. Comencem restant x a cada membre 2x-x+1=x-x+1 amb la qual cosa arribem a x+1=1 restant, ara, una unitat a cada membre x+1-1=1-1 ens quedarà la igualtat donada reduïda a l'expressió més simple x=0 la qual ens diu que la variable x ha de prendre el valor 0 per tal de satisfer la igualtat donada

[nota del autor]

¿ Qué es un sistema de ecuaciones ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Quan traduïm les frases de l'enunciat (literal) d'un problema, és possible que apareguin, de forma natural (quan fem la traducció de cada frase), vàries equacions, cada una amb vàries incògnites. El resultat de la traducció al llenguatge de l'àlgebra és, en aquest cas, un SISTEMA D'EQUACIONS. Exemple: Trobeu dos nombres naturals sabent que la seva suma és igual a 8, i el seu producte és igual a 12. Resolució: Podem escriure dos equacions de forma ben natural:               a+b=8               a·b = 12 Havent plantejat el sistema, a continuació, el resoldríem, però d'això ja ens en ocuparem al llarg del proper tema.

[nota del autor]

Otras forma de multiplicar números enteros. Método japonés de multiplicación por líneas.

Podemos multiplicar dos números enteros desarrollando cada factor en términos de potencias de diez, y así, hasta llegar al resultado final, tal como se muestra en el siguiente ejemplo
$14 \cdot 23 =$
  $= (1\cdot 10 +4 ) \cdot ( 2\cdot 10 +3 )$
    $= 2 \cdot 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 2 \cdot 10 + 3\cdot 1 \cdot 10 + 3 \cdot 4 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 12 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 3 \cdot 10 + 1 \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + ( 8 + 3 +1 ) \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 12 \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + ( 10+2 ) \cdot 10 +2 $
    $= 2 \cdot 10^2 + 1\cdot 10^2+ 2 \cdot 10 +2 $
    $= (2 + 1) \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 +2 $
    $= 3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 +2 $
    $= 322$
Esto da lugar al llamado método japonés de multiplicación de números enteros o método de multiplicación por líneas, que puede verse en [ este vídeo ]
$\square$

Operaciones con años ... ( Artículo escrito en catalán )

Uns quants problemes senzills de manipulació de dates: Cas 1. Suposem que, a partir d'un cert any anterior a la nostra era transcorren una certa quantitat d'anys que fan que ens situem a un any de la nostra era. Per exemple "Des de l'any 1 aC, al cap de 2 anys, quin any serà ?" Es donen molts tipus d'errors quan els alumnes intenten resoldre un senzill problema com aquest; entre els menys greus cal remarcar que es limiten a fer la resta 2-1=1 i acaben contestant “ens trobarem a l'any 1 dC”, mentre que la resposta correcta correspon a l'any 2 dC; per comprovar-ho (o comptar-ho de forma segura), només cal pensar que en transcorre el primer any passem de l'any 1 aC a l'any 1 dC – l'any 0 no figura al nostre calendari – i, doncs, el segon transcorregut ens situa a l'any 2 dC. Dit això, podem fer una generalització de la resolució d'aquest cas concret; és a dir, en un cas semblant a l'exposat faríem el següent: any final dC = (nombre d'anys transcorreguts – any inicial aC )+1 Cas 2. És evident que si l'any d'inici és de la nostra era tan sols cal sumar el nombre d'anys transcorreguts per trobar l'any final; per exemple: si l'any d'inici és el 20 dC, al cap de 30 anys ens situem a l'any 20 dC +30 anys = any 50 dC. En un cas semblant a aquest, l'operació que cal fer és: any final dC = nombre d'anys transcorreguts + any inicial dC Cas 3. Si l'any d'inici és anterior a la nostra era i el nombre anys transcorreguts encara no ens situa a l'era present només cal fer la diferència entre l'any d'inici i el nombre d'anys transcorreguts; per exemple: si l'any d'inici és l'any 10 aC, al cap de 4 anys, ens situarem en l'any 6 aC, és a dir, només cal fer la resta (any 10 aC – 4 anys = any 6 aC). En un cas semblant: any final aC = any inicial aC - nombre d'anys transcorreguts

[nota del autor]

Calcular el área de la región coloreada ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu l'àrea acolorida de la figura

Resolució.
És força clar què cal fer: restar l'àrea del semicercle de radi igual a $10 \; \text{cm}$ de l'àrea del semicercle (buit), que té radi igual a la meitat de l'altre ( $5 \; \text{cm}$ )
$A=\dfrac{1}{2}\,\pi\,10^2-\dfrac{1}{2}\,\pi\,5^2$
que és igual a
$\dfrac{75}{2}\,\pi \; \text{cm}^2$
i, aproximant a les unitats
$A \approx 118 \; \text{cm}^2$
$\square$

[nota del autor]

Cómo evitar errores al realizar operaciones combinadas

Un problema de múltiplos con engranajes ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT
La Figura 1 mostra dues rodes dentades acoblades. A les 16:30:50, les dues marques grogues estan enfrontades. La roda petita gira a raó de 3 voltes per minut. A quina hora tornen a coincidir les marques grogues ?

SOLUCIÓ
Si comptem el nombre de dents de cada roda trobem que la petita en té 10 i la gran 28. El mínim comú múltiple d'aquests nombres de dents és 140. Vol dir això que per tornar a trobar-se les dues marques grogues caldrà que la roda petita faci 140:10 = 14 voltes, a la vegada qeu la gran en fa cinc (140:28= 5 voltes). Tenint en compte que la roda petita triga 1 minut a fer tres voltes, passaran 4 minuts i 19 segons (± 1s) (dividint 14:3 i aproximant a la primera xifra decimal). Les marques grogues tornaran a estar enfrontades a les 16:30:50+00:04:19 = 16:35:09 (± 1s)



font de la imatge (Wikipedia): http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Gears_animation.gif

Quina caixa es quina?

Enunciat Tres capses contenen boles de colors. En una de les capses hi han boles vermelles; en una altra hi han boles blaves; i en la tercera, boles blaves i boles vermelles, barrejades. Cada capsa té un embolcall que n'informa del contingut sense necessitat d'obrir la capsa: vermell per la capsa que conté boles vermelles; blau per la capsa que conté boles blaves; i verd per la capsa que conté boles blaves i vermelles. Un follet entremaliat ha canviat els embolcalls, de tal manera que cap capsa té el contingut que indica el color de l'embolcall. Per tant, no podem saber el contingut de les capses sense destapar-les per saber-ne el contingut real. Quin és el nombre mínim de capses que cal destapar per saber quin és el vertader contingut de cada una extraient únicament una bola de la capsa que destapem (sense mirar l'interior) ?     Resolució Com que sabem que cap dels embolcalls correspon al contingut de la capsa corresponent, destapant únicament la capsa que té l'etiqueta “mescla” i esbrinant el seu contingut real deduirem quin és el contingut de les altres dues, complint així el requeriment de l'enunciat. Vegem per què. Primer de tot, val a dir que a la capsa que té l'embolcall “mescla” no hi pot haver realment la mescla de boles vermelles i blaves, ja que així ho indica l'enunciat (l'embolcall de cada capsa és fals): necessàriament haurà de contenir només boles blaves o bé, únicament, boles vermelles. Extraiem, doncs, una sola bola i mirem el seu color (l'única observació que se'ns permet fer). Llavors, Si el color de la bola que traiem de la capsa amb l'embolcall “mescla” és blava, deduïm que la capsa amb l'embolcall “blaves” conté boles únicament boles “vermelles” i que la capsa amb l'embolcall “vermelles” contindrà boles blaves i vermelles, barrejades. Si el color de la bola que traiem de la capsa amb l'embolcall “mescla” és de color vermell , deduïm que la capsa amb l'embolcall “vermelles” conté únicament boles “blaves” i que la capsa amb l'embolcall “blaves” contindrà una barreja de boles blaves i de boles vermelles.

El problema de los calcetines ...

ENUNCIAT
En un calaix hi ha un gran nombre de mitjons tots iguals de tamany i textura, però la meitat són de color negre i l'altra meitat són de color vermell. A ulls clucs, agafem un grapat de mitjons. Quin és el nombre mínim de mitjons que cal agafar per estar segurs que ens podrem posar un mitjó del mateix color a cada peu ?

SOLUCIÓ
Ens adonem de seguida que treure dos mitjons és insuficient, perquè podem tenir la mala sort de treure'n un de cada color. Si n'agafem un més (és a dir, en total, tres) segur que almenys en tindrem dos del mateix color.

Suma de los ángulos de un triángulo

Per què la suma dels angles d'un triangle qualsevol és igual a 180º ?. Observeu la figura. Si tracem una recta paral·lela al costat $a$ que passi pel vèrtex $A$ trobem que els angles pintats de color rosa són iguals ja que el costat $c$ talla les dues rectes paral·leles amb el mateix angle; el mateix podem dir pel que fa als angles pintats de color blau. Per tant, al voltant del punt $A$, els tres angles del triangle (pintats amb els colors: verd, blau, i rosa) conformen un angle pla, és a dir, la suma de tots tres és igual a $180$º $\square$

Regla de los signos ( multiplicación y división )

El que als grans ens sembla tan evident no els ho sembla pas al menuts; el maneig de les quantitas negatives en operacions combinades i problemes els costa força. He preparat uns quants comentaris que poden ser d'interès a l'hora d'explicar coses referents al càlcul dels signes en la multiplicació de nombres enters.

En una caja hay caramelos

Enunciat
En una capsa hi ha entre 450 i 500 caramels. Si els posem en bosses de dos en sobra un; si les bosses són de tres, també en sobra un. I succeeix el mateix si fem bosses de quatre, de cinc i de sis. En qualsevol cas, el caramel que sobra, ens els cruspim. Quants caramels hi hauria a la capsa ?

Resolució
Si anomenem m al nombre de caramel de la capsa i n = m-1 al nombre de caramels que posem a les bosses (descomptem el que sobra) veiem que el nombre de caramels que van a les bosses, n, ha de ser múltiple comú de 2, de 3, de 4, i de 5. El múltiple comú més petit d'aquests (el mínim comú múltiple) és 60. Altres múltiples comuns més grans són 120, 180, ...,480, 540, etcètera, que obtenim multiplicant 60 per nombres naturals consecutius. De tots aquests (no acabaríem mai de comptar-los !) ens interessa el que és més gran que 450 i més petit que 400, és a dir 480. A les bosses hi aniran a parar, per tant, 480 caramels. Si afegim el que ha quedat – que m'acabo de menjar – són 481. Vet aquí el nombre de caramels que hi hauria a la capsa.

La comida del loro

En alguns problemes de repartiment de dues quantitats entre un cert nombre de parts on aquestes quantitats no s'acaben de repartir del tot (residus diferents de zero) es plantegen situacions interessants. Si ens donen com a dades els residus, les quantitats a repartir, i el nombre de parts amb què cal intentar fer el repartiment, resoldre'ls passa també per cercar divisors comuns en un primer pas i, tot seguit, acabar de gestionar el residu. Aquest n'és un exemple que hem comentat a classe. Enunciat Si dividim 4373 i 880 pipes entre un mateix nombre de lloros, els restes (residus) respectius dels repartiments són 8 i 7. Quants lloros hi ha sabent que són més d'una desena i menys d'una centena ? Resolució Anomem x al nombre de lloros, i q al nombre de pipes que queden per repartir (me les menjaré jo !). Pel teorema fonamental de la divisió tenim que 4373 = q.x + 8, la qual cosa vol dir que 4373-8, que és igual a 4365, és múltiple de x Semblantment, 880 = q.x + 7, la qual cosa vol dir que 800-7, que és igual a 873, també és múltiple de x Per tant, com que x ha de ser múltiple comú de 873 i de 4365. Cerquem doncs divisors comuns. Si descoposem els nombres en factors trobem que 4365 = 32.5.97, i 873 = 32.97. Els divisors de 873 són {1,3,9,97,291,873} Els divisors de 4365 són {1,3,5,9,15,45,97,291,485,873,1455,4365} Els divisor comuns de 873 i 4365 són {1,3,9,97,291,873} I, d'aquests, l'únic que és més gran que 10 i més petit que 100 és 97 Observació: No cal, de fet, trobar exhaustivament tots els divisors. A partir de la factorització de tots dos nombres (873=32.97; 4365=32.5.97) , i tenint en compte que el divisor comú que cerquem ha de tenir dues xifres, de seguida trobem que només es pot tractar del nombre 97 Per tant, vet aquí la solució, el nombre de lloros x és 97. Cada lloro es menjarà, doncs, (4365+873)/97 = 54 pipes. I jo em mejaré les 15 pipes (la suma dels dos restes) que han quedat sense repartir entre els lloros, el premi per resoldre el problema !.