La resta de dos números enteros cualesquiera, $m-n$ ( $m$ se llama minuendo y $n$ sustraendo ) se puede expresar de la siguiente manera:
$m-n=m+\text{opuesto}(n)$
$=m+(-1 \cdot n)$
$=m+(-n)$
Ejemplos:
a) Sea $m:=4$ y $n:=2$, entonces $4-2=2$ ( es muy evidente ), si bien podemos escribir también $4-2=4+\text{opuesto}(2)=4+(-2)=2$
b) Sea $m:=2$ y $n:=4$. Lo que da ahora $m-n$ ya no es tan evidente ( en el primer trimestre de primero de ESO ) como en el ejemplo anterior. Facilitamos la realización correcta de esta resta escribiéndola así: $$2-4=2+\text{opuesto}(4)=2+(-4)=-2$$
$\square$
viernes, 28 de octubre de 2016
jueves, 27 de octubre de 2016
Regla de los signos en la multiplicación de números enteros
Definición ( opuesto de un número entero)
Si $\ell$ es un número entero, entonces $\text{opuesto}(\ell)\overset{\text{def}}{=}-\ell$
Ejemplo: $\text{opuesto}(4)=-4$
Sean $m$ y $n$ dos números enteros positivos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
P1. $\text{opuesto}(m)\equiv -m=(-1)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-1)=-1\cdot m \prec 0$
Reglas "de los signos":
P2. $m\cdot n=m\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+1 \right)=n\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+1 \right) \overset{\text{P1}}{\succ} 0$
Ejemplo: $2\cdot 3=3+3=2+2+2=6 \succ 0$
P3. $(-m)\cdot n \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( m \cdot n) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot n) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
Ejemplo: $(-2)\cdot 3=(-1\cdot 2) \cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$
P4. $m \cdot (-n) \overset{\text{conmutativa}}{=} (-n)\cdot m = (-1\cdot n )\cdot m \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( n \cdot m) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(n\cdot m) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
Ejemplo: $3\cdot (-2)=(-2)\cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$
P5. $(-m)\cdot (-n) \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1)\cdot ( m \cdot (-n)) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot (-n)) \overset{\text{P4}}{\succ} 0$
Ejemplo: $(-4)\cdot (-5)=(-1 \cdot 4) \cdot (-5)=(-1)(4\cdot (-5))$
$=\text{opuesto}(4 \cdot (-5))=\text{opuesto}(-20)=20 \succ 0$
$\square$
Si $\ell$ es un número entero, entonces $\text{opuesto}(\ell)\overset{\text{def}}{=}-\ell$
Ejemplo: $\text{opuesto}(4)=-4$
Sean $m$ y $n$ dos números enteros positivos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
P1. $\text{opuesto}(m)\equiv -m=(-1)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-1)=-1\cdot m \prec 0$
Reglas "de los signos":
P2. $m\cdot n=m\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+1 \right)=n\cdot \left( 1+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+1 \right) \overset{\text{P1}}{\succ} 0$
Ejemplo: $2\cdot 3=3+3=2+2+2=6 \succ 0$
P3. $(-m)\cdot n \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( m \cdot n) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot n) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
Ejemplo: $(-2)\cdot 3=(-1\cdot 2) \cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$
P4. $m \cdot (-n) \overset{\text{conmutativa}}{=} (-n)\cdot m = (-1\cdot n )\cdot m \overset{\text{asociativa}}{=} -1\cdot ( n \cdot m) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(n\cdot m) \overset{\text{P1}}{\prec} 0$
Ejemplo: $3\cdot (-2)=(-2)\cdot 3 = -1\cdot (2\cdot 3)=\text{opuesto}(2\cdot 3)=\text{opuesto}(6)=-6 \prec 0$
P5. $(-m)\cdot (-n) \overset{\text{P1}}{=} (-1\cdot m )\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1)\cdot ( m \cdot (-n)) \overset{\text{P1}}{=} \text{opuesto}(m\cdot (-n)) \overset{\text{P4}}{\succ} 0$
Ejemplo: $(-4)\cdot (-5)=(-1 \cdot 4) \cdot (-5)=(-1)(4\cdot (-5))$
$=\text{opuesto}(4 \cdot (-5))=\text{opuesto}(-20)=20 \succ 0$
$\square$
miércoles, 26 de octubre de 2016
Sobre el opuesto de un número entero
ENUNCIADO. Si bien es cierto que $\text{opuesto}(m+n)=\text{opuesto}(m)+\text{opuesto}(n)$, siendo $m$ y $n$ números enteros, ocurre que $\text{opuesto}(m\cdot n) \neq \text{opuesto}(m)\cdot \text{opuesto}(n)$, siendo $m$ y $n$ enteros distintos de cero. Justifíquese esta afirmación.
SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Así, $\text{opuesto}(-2\cdot 3)=\text{opuesto}(-6)=6$; por el contrario, $\text{opuesto}(-2\cdot 3)=\text{opuesto}(-2)\cdot \text{opuesto}(3)=2\cdot (-3)=-6$, y hemos terminado.
$\square$
SOLUCIÓN. Basta encontrar un contraejemplo. Así, $\text{opuesto}(-2\cdot 3)=\text{opuesto}(-6)=6$; por el contrario, $\text{opuesto}(-2\cdot 3)=\text{opuesto}(-2)\cdot \text{opuesto}(3)=2\cdot (-3)=-6$, y hemos terminado.
$\square$
jueves, 20 de octubre de 2016
Cero es múltiplo de cualquier número entero
ENUNCIADO. Justifíquese la siguiente afirmación: El cero es múltiplo de cualquier número entero.
SOLUCIÓN. Basta multiplicar por $0$ cualquier número entero $n$ para obtener el número entero $0$, luego podemos afirmar que $0$ es múltiplo de cualquier número entero $n$. $\square$
SOLUCIÓN. Basta multiplicar por $0$ cualquier número entero $n$ para obtener el número entero $0$, luego podemos afirmar que $0$ es múltiplo de cualquier número entero $n$. $\square$
Reflexionando sobre el número entero cero
ENUNCIADO. ¿ Puede ser $0$ un divisor de un número entero $n$ distinto de cero ?
SOLUCIÓN. Vamos a ver que la respuesta es no. Supongamos que $n$ sí sea divisible por $0$, entonces $n$ es múltiplo $0$, lo cual nos lleva a concluir que $n=0$, pero eso contradice el que $n$ sea distinto de cero ( enunciado ), luego debemos negar lo que hemos supuesto al principio, luego $0$ no es divisor de ningún número entero distinto de cero.
$\square$
SOLUCIÓN. Vamos a ver que la respuesta es no. Supongamos que $n$ sí sea divisible por $0$, entonces $n$ es múltiplo $0$, lo cual nos lleva a concluir que $n=0$, pero eso contradice el que $n$ sea distinto de cero ( enunciado ), luego debemos negar lo que hemos supuesto al principio, luego $0$ no es divisor de ningún número entero distinto de cero.
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Un problema sobre engranajes
ENUNCIADO. Sean dos ruedas dentadas que están engrandas: $A$, de $60$ dientes; y, $B$, de $40$. Estando parado el mecanismo, se hace una marca en la parte lateral de cada rueda, de modo que dichas marcas coincidan. ¿ Cuántas vueltas debe dar la rueda dentada $B$ para que dichas marcas vuelvan a coincidir ? ¿ Cuántas vueltas tendrá que dar la rueda $A$ ?.
SOLUCIÓN. Para que las dos marcas vuelvan a coincidir, al observar el paso de los dientes ( con respecto a un punto fijado como referencia ) el recuento de dientes en una y otra rueda ha de ser el mismo, y, por supuesto, un múltiplo común del número de dientes de las dos ruedas; si nos interesamos por la primera vez que coinciden las marcas que hemos hecho en una y otra rueda, lógicamente nos quedaremos con el menor múltiplo común, esto es, con $\text{m.c.m.}(40,60)=\text{m.c.m.}(2^3\cdot 5,2^2\cdot 3 \cdot 5)=120$ dientes.
Así, pues, habremos tenido que contabilizar el paso de $120$ dientes, en cada una de las dos ruedas, a fin de que coincidan otra vez las marcas. Ahora bien, como la rueda $A$ tiene $60$ dientes, ésta da $1$ vuelta al paso de esos $60$ dientes, por lo que al paso de $120$ dientes habrá dado $120/60=2$ vueltas; mientras que, como la rueda $B$ tiene $40$ dientes, esta otra habrá tenido que dar $120/40=3$ vueltas.
$\square$
SOLUCIÓN. Para que las dos marcas vuelvan a coincidir, al observar el paso de los dientes ( con respecto a un punto fijado como referencia ) el recuento de dientes en una y otra rueda ha de ser el mismo, y, por supuesto, un múltiplo común del número de dientes de las dos ruedas; si nos interesamos por la primera vez que coinciden las marcas que hemos hecho en una y otra rueda, lógicamente nos quedaremos con el menor múltiplo común, esto es, con $\text{m.c.m.}(40,60)=\text{m.c.m.}(2^3\cdot 5,2^2\cdot 3 \cdot 5)=120$ dientes.
Así, pues, habremos tenido que contabilizar el paso de $120$ dientes, en cada una de las dos ruedas, a fin de que coincidan otra vez las marcas. Ahora bien, como la rueda $A$ tiene $60$ dientes, ésta da $1$ vuelta al paso de esos $60$ dientes, por lo que al paso de $120$ dientes habrá dado $120/60=2$ vueltas; mientras que, como la rueda $B$ tiene $40$ dientes, esta otra habrá tenido que dar $120/40=3$ vueltas.
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martes, 18 de octubre de 2016
Cálculo del mínimo común múltiplo por el método de los factores
ENUNCIADO. Calcúlese el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$
SOLUCIÓN. Sabemos ya cómo encontrar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de múltiplos de los números de dicho conjunto, cada una de las cuales consta de un número infinito de números. Si bien no podemos escribir los infinitos múltiplos en cada uno de los números, basta con escribir los necesarios para, a partir de éstas, obtener la lista de los múltiples comunes; y, finalmente, seleccionar el menor número de dicha lista de múltiples comunes. Éste es un método muy sencillo, pero poco eficaz, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo, aburrido y penoso, pues podría ser que en alguna de las listas de múltiplos tuviésemos que calcular muchos de ellos para dar con el común a los de las otras listas. Veremos ahora otro método más eficaz para encontrar el mínimo común múltiplo, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Es evidente que el número formado por el producto de todas las potencias ( de una y otra factorización ), esto es $(2\cdot 3^2)\cdot (3\cdot 5)=270$, es un múltiplo común de los dos números dados. Ahora bien, no es éste el menor posible, ya que de entre '$3^2$' y '$3$' basta con que tomemos el mayor de los dos, es decir '$3^2$'; así, $2\cdot 3^2\cdot 5=90$ es también un múltiplo común de $18$ y $15$, pero menor que $270$. No hay otro múltiplo común que sea menor que $90$, pues necesariamente debemos incorporar en el producto de potencias '$3^2$', '$2$' y '$5$', luego decimos que
$$\text{m.c.m.}(18,15)=90$$
Intentemos extraer ahora alguna regularidad o regla de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) ya sean comunes o no a cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el mayor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el mínimo común múltiplo.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son o no comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$, $3$ y $5$
Paso 2. Ahora debemos tomar los exponentes de $2^{\square}$, de $3^{\square}$ y de $5^{\square}$, que sean los mayores que encontremos en las factorizaciones, esto es, $2^3$, $3^3$ y $5$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.m.}(72,540,120)=2^3\cdot 3^3 \cdot 5=1080$
$\square$
SOLUCIÓN. Sabemos ya cómo encontrar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de múltiplos de los números de dicho conjunto, cada una de las cuales consta de un número infinito de números. Si bien no podemos escribir los infinitos múltiplos en cada uno de los números, basta con escribir los necesarios para, a partir de éstas, obtener la lista de los múltiples comunes; y, finalmente, seleccionar el menor número de dicha lista de múltiples comunes. Éste es un método muy sencillo, pero poco eficaz, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo, aburrido y penoso, pues podría ser que en alguna de las listas de múltiplos tuviésemos que calcular muchos de ellos para dar con el común a los de las otras listas. Veremos ahora otro método más eficaz para encontrar el mínimo común múltiplo, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Es evidente que el número formado por el producto de todas las potencias ( de una y otra factorización ), esto es $(2\cdot 3^2)\cdot (3\cdot 5)=270$, es un múltiplo común de los dos números dados. Ahora bien, no es éste el menor posible, ya que de entre '$3^2$' y '$3$' basta con que tomemos el mayor de los dos, es decir '$3^2$'; así, $2\cdot 3^2\cdot 5=90$ es también un múltiplo común de $18$ y $15$, pero menor que $270$. No hay otro múltiplo común que sea menor que $90$, pues necesariamente debemos incorporar en el producto de potencias '$3^2$', '$2$' y '$5$', luego decimos que
$$\text{m.c.m.}(18,15)=90$$
Intentemos extraer ahora alguna regularidad o regla de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) ya sean comunes o no a cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el mayor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el mínimo común múltiplo.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el mínimo común múltiplo del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son o no comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$, $3$ y $5$
Paso 2. Ahora debemos tomar los exponentes de $2^{\square}$, de $3^{\square}$ y de $5^{\square}$, que sean los mayores que encontremos en las factorizaciones, esto es, $2^3$, $3^3$ y $5$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.m.}(72,540,120)=2^3\cdot 3^3 \cdot 5=1080$
$\square$
Cálculo del máximo común divisor por el método de los factores
ENUNCIADO. Calcúlese el máximo común divisor del conjunto de números naturales formado por $18$ y $15$
SOLUCIÓN. Hemos aprendido a encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de divisores de los números de dicho conjunto; para, a partir de éstas, escribir la lista de los divisores comunes; y, finalmente, seleccionar el mayor número de dicha lista de divisores comunes. Éste es un método sencillo, pero poco práctico, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo y tedioso. Veremos enseguida otro método más eficaz, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Como buscamos divisores comunes, podemos pensar en multiplicar todos los factores de la descomposición de sendos números siempre que dichos factores estén presentes en una y otra factorización; así, sólo podemos contar con '$3^2$ y '$3$', pues tanto el factor '$5$' como el factor '$2$' no son comunes a la expresión en factores de $18$ y de $15$. ¿ Con cuál nos quedamos ? ¿ Con '$3^2$' o bien con '$3$' ?. Como estamos buscando divisores comunes, no podemos seleccionar '$3^2$' como respuesta sino '$3$', así concluimos que $$\text{m.c.d}(18,15)=3$$
Intentemos extraer ahora algún patrón de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) que sean comunes a todas y cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el menor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el máximo común divisor.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el máximo común divisor del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$ y $3$
Paso 2. Ahora, de las factorizaciones, debemos tomar los menores exponentes de $2^{\square}$ y $3^{\square}$, esto es, $2^2$ y $3^2$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.d.}(72,540,120)=2^2\cdot 3^2=36$
$\square$
SOLUCIÓN. Hemos aprendido a encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números: escribiendo las respectivas listas de divisores de los números de dicho conjunto; para, a partir de éstas, escribir la lista de los divisores comunes; y, finalmente, seleccionar el mayor número de dicha lista de divisores comunes. Éste es un método sencillo, pero poco práctico, pues si los números del conjunto dado no son pequeños, hacer todo eso es algo largo y tedioso. Veremos enseguida otro método más eficaz, al que llamamos método de los factores.
Empezaremos razonando a partir de la descomposición en factores primos de los números del conjunto dado. Observemos que $18=2\cdot 3^2$ y $15=3\cdot 5$. Como buscamos divisores comunes, podemos pensar en multiplicar todos los factores de la descomposición de sendos números siempre que dichos factores estén presentes en una y otra factorización; así, sólo podemos contar con '$3^2$ y '$3$', pues tanto el factor '$5$' como el factor '$2$' no son comunes a la expresión en factores de $18$ y de $15$. ¿ Con cuál nos quedamos ? ¿ Con '$3^2$' o bien con '$3$' ?. Como estamos buscando divisores comunes, no podemos seleccionar '$3^2$' como respuesta sino '$3$', así concluimos que $$\text{m.c.d}(18,15)=3$$
Intentemos extraer ahora algún patrón de lo que acabamos de hacer, que sea válido para los casos en que haya un número cualesquiera de números naturales en el conjunto dado, sea cual sea la descomposición en factores de todos los números de dicho conjunto.
A partir de la descomposición en factores de cada uno de los números haremos lo siguiente:
1. Seleccionaremos las bases [números primos] ( de la factorización de todos y cada uno de los números ) que sean comunes a todas y cada una de las factorizaciones
2. El exponente de esas potencias que deberemos seleccionar ( de acuerdo a lo que hemos razonado en este problema ) será el menor de ellos
3. Multiplicando las potencias así obtenidas, obtendremos el máximo común divisor.
Veamos un ejemplo: ¿ Cuál es el máximo común divisor del conjunto de números naturales $\{72,540,120\}$ ?
Paso 1. $72=2^3\cdot 3^2$, $540=2^2\cdot 3^3 \cdot 5 $ y $120=2^3\cdot 3 \cdot 5$. Como bases ( números primos ) de las potencias que son comunes a las tres factorizaciones, encontramos las bases $2$ y $3$
Paso 2. Ahora, de las factorizaciones, debemos tomar los menores exponentes de $2^{\square}$ y $3^{\square}$, esto es, $2^2$ y $3^2$
Paso 3. Finalmente, concluimos que $\text{m.c.d.}(72,540,120)=2^2\cdot 3^2=36$
$\square$
lunes, 17 de octubre de 2016
Hallando el mínimo común múltiplo, y otros múltiplos comunes
ENUNCIADO. ¿ Cuál es el número natural más pequeño que es divisible simultáneamente por $2$, $9$ y $5$ ? Escríbanse tres números mayores que el pedido que sean también divisibles por $2$, $9$ y $5$.
SOLUCIÓN. El número pedido ha de ser el menor múltiplo común de $2$, $9$ y $5$, y por ello lo llamamos mínimo común múltiplo ( de los tres números dados ), que denotamos por $$\text{m.c.m.}(2,9,5)$$ Vamos ahora a determinarlo. Como éstos tres números no tienen divisores comunes ( salvo el $1$ ) [y por ello decimos que son primos entre sí ( o coprimos )], el menor múltiplo común es el producto de los tres. Por tanto el número que buscamos es $$\text{m.c.m.}(2,9,5)=2\cdot 9 \cdot 5 = 90$$
Ahora podemos escribir una lista de infinitos múltiplos de $90$; todos los números que la forman son solución a la segunda parte del ejercicio: $$\dot{90}=\{90,180,270,\,\ldots\}$$
$\square$
SOLUCIÓN. El número pedido ha de ser el menor múltiplo común de $2$, $9$ y $5$, y por ello lo llamamos mínimo común múltiplo ( de los tres números dados ), que denotamos por $$\text{m.c.m.}(2,9,5)$$ Vamos ahora a determinarlo. Como éstos tres números no tienen divisores comunes ( salvo el $1$ ) [y por ello decimos que son primos entre sí ( o coprimos )], el menor múltiplo común es el producto de los tres. Por tanto el número que buscamos es $$\text{m.c.m.}(2,9,5)=2\cdot 9 \cdot 5 = 90$$
Ahora podemos escribir una lista de infinitos múltiplos de $90$; todos los números que la forman son solución a la segunda parte del ejercicio: $$\dot{90}=\{90,180,270,\,\ldots\}$$
$\square$
miércoles, 12 de octubre de 2016
Divisores comunes de dos números naturales. Máximo común divisor.
lunes, 10 de octubre de 2016
Encontrar los divisores naturales de $900$
ENUNCIADO. Encontrar todos los divisores naturales de $900$
SOLUCIÓN. Descomponiendo $900$ en factores primos, $900=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^2$. Entonces:
. Los divisores de $2^2$ ( es decir, de $4$ ), que son $1$, $2$ y el propio $4$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $3^2$ ( es decir, de $9$ ), que son $1$, $3$ y el propio $9$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $5^2$ ( es decir, de $25$ ), que son $1$, $5$ y el propio $25$, han de ser a su vez divisores de $900$
Con ésto, ya podemos escribir unos cuantos divisores de $900$: $$1,2,3,4,5,9, 25,...$$ Pero no son todos los que podemos encontrar. En efecto, hay bastantes más:
. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^2=4$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$
. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $3^2=9$ por todos los divisores de $2^2=4$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$
. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $5^2=25$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $2^2=4$ también han de ser divisores de $900$
Estas combinaciones de números las podemos organizar en un diagrama de árbol. Así encontraremos de manera metódica todos los divisores de $900$
Recorriendo todos los caminos del árbol, y multiplicando los tres números que vamos encontrando en cada uno de los $3\cdot 3 \cdot =27$ caminos, encontramos los $27$ divisores de $900$:
$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$
$1 \cdot 1 \cdot 25 = 25$
$1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$
$1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$
$1 \cdot 3 \cdot 25 = 75$
$1 \cdot 9 \cdot 1 = 9$
$1 \cdot 9 \cdot 5 = 45$
$1 \cdot 9 \cdot 25 = 225$
$2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 1 \cdot 5 = 10$
$2 \cdot 1 \cdot 25 = 50$
$2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$
$2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$
$2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$
$2 \cdot 9 \cdot 25 = 450$
$4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$
$4 \cdot 1 \cdot 5 = 20$
$4 \cdot 1 \cdot 25 = 100$
$4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
$4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
$4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$
$4 \cdot 9 \cdot 1 = 36$
$4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$
$4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$
Esto es
$\text{div}(900)=\{1,2,3,4,5,9,25,6,10,12,15,18,20,25,30,36,45,50,60,75,90, $
$,100,150,180,300,450,900\}$
$\square$
SOLUCIÓN. Descomponiendo $900$ en factores primos, $900=2^2\cdot 3^2 \cdot 5^2$. Entonces:
. Los divisores de $2^2$ ( es decir, de $4$ ), que son $1$, $2$ y el propio $4$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $3^2$ ( es decir, de $9$ ), que son $1$, $3$ y el propio $9$, han de ser también divisores de $900$
. Los divisores de $5^2$ ( es decir, de $25$ ), que son $1$, $5$ y el propio $25$, han de ser a su vez divisores de $900$
Con ésto, ya podemos escribir unos cuantos divisores de $900$: $$1,2,3,4,5,9, 25,...$$ Pero no son todos los que podemos encontrar. En efecto, hay bastantes más:
. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $2^2=4$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$
. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $3^2=9$ por todos los divisores de $2^2=4$, y por todos los divisores de $5^2=25$ también han de ser divisores de $900$
. Los números que resultan de multiplicar cada uno de los divisores de $5^2=25$ por todos los divisores de $3^2=9$, y por todos los divisores de $2^2=4$ también han de ser divisores de $900$
Estas combinaciones de números las podemos organizar en un diagrama de árbol. Así encontraremos de manera metódica todos los divisores de $900$
Recorriendo todos los caminos del árbol, y multiplicando los tres números que vamos encontrando en cada uno de los $3\cdot 3 \cdot =27$ caminos, encontramos los $27$ divisores de $900$:
$1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$
$1 \cdot 1 \cdot 5 = 5$
$1 \cdot 1 \cdot 25 = 25$
$1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$
$1 \cdot 3 \cdot 5 = 15$
$1 \cdot 3 \cdot 25 = 75$
$1 \cdot 9 \cdot 1 = 9$
$1 \cdot 9 \cdot 5 = 45$
$1 \cdot 9 \cdot 25 = 225$
$2 \cdot 1 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 1 \cdot 5 = 10$
$2 \cdot 1 \cdot 25 = 50$
$2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$
$2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$
$2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$
$2 \cdot 9 \cdot 25 = 450$
$4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$
$4 \cdot 1 \cdot 5 = 20$
$4 \cdot 1 \cdot 25 = 100$
$4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
$4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$
$4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$
$4 \cdot 9 \cdot 1 = 36$
$4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$
$4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$
Esto es
$\text{div}(900)=\{1,2,3,4,5,9,25,6,10,12,15,18,20,25,30,36,45,50,60,75,90, $
$,100,150,180,300,450,900\}$
$\square$
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