martes, 28 de marzo de 2017
lunes, 27 de marzo de 2017
jueves, 23 de marzo de 2017
miércoles, 22 de marzo de 2017
Valor numérico de una expresión algebraica fijado el valor de la variable de la que depende
ENUNCIADO. Calcular el valor numérico de la expresión algebraica $(1-3x)^2$ para $x=4$
SOLUCIÓN. Sustituyendo $x$ por el valor que toma, $4$, en la expresión dada, obtenemos la expresión numérica $(1-3\cdot 4)^2$ cuyo valor es el de la expresión algebraica para dicho valor concreto de la variable $x$. Veamos cuál es:
$(1-3\cdot 4)^2$
$=(1-12)^2$
$=(-11)^2$
$=-11\cdot (-11)$
$=11\cdot 11$
$=121$
$\square$
SOLUCIÓN. Sustituyendo $x$ por el valor que toma, $4$, en la expresión dada, obtenemos la expresión numérica $(1-3\cdot 4)^2$ cuyo valor es el de la expresión algebraica para dicho valor concreto de la variable $x$. Veamos cuál es:
$(1-3\cdot 4)^2$
$=(1-12)^2$
$=(-11)^2$
$=-11\cdot (-11)$
$=11\cdot 11$
$=121$
$\square$
Otro ejemplo de proporción directa
ENUNCIADO. Un ciclista recorre $5$ kilómetros en $10$ minutos (sin acelerar ni frenar). ¿Cuánto tiempo le llevará recorrer $34$ kilómetros?.
SOLUCIÓN.
Dada relación de proporcionalidad directa entre la longitud del camino recorrido y el tiempo empleado, y denotando por $t$ el tiempo pedido, podemos escribir:
$\dfrac{10}{5}=\dfrac{t}{34}$
despejando la incógnita $t$, llegamos a
$34\cdot \dfrac{10}{5}=t$
esto es
$t=\dfrac{34\cdot 10}{5}$
$t=\dfrac{340}{5}=68\;\text{minutos}$
$\square$
SOLUCIÓN.
Dada relación de proporcionalidad directa entre la longitud del camino recorrido y el tiempo empleado, y denotando por $t$ el tiempo pedido, podemos escribir:
$\dfrac{10}{5}=\dfrac{t}{34}$
despejando la incógnita $t$, llegamos a
$34\cdot \dfrac{10}{5}=t$
esto es
$t=\dfrac{34\cdot 10}{5}$
$t=\dfrac{340}{5}=68\;\text{minutos}$
$\square$
Resolviendo ecuaciones en forma de proporción
ENUNCIADO. Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$$
SOLUCIÓN. Procedemos al despeje de la incógnita $x$:
$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$
Dada la proporción, y como el producto de medios es igual al producto de extremos, podemos escribir
$3\cdot 8 = 12\,x$
$24 = 12\,x$
$12\,x=24$
$\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 24$
$\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{24}{12}$
$1\,x=2$
$x=2$
$\square$
SOLUCIÓN. Procedemos al despeje de la incógnita $x$:
$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$
Dada la proporción, y como el producto de medios es igual al producto de extremos, podemos escribir
$3\cdot 8 = 12\,x$
$24 = 12\,x$
$12\,x=24$
$\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 24$
$\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{24}{12}$
$1\,x=2$
$x=2$
$\square$
Calculando el precio de un artículo a partir de la cantidad que pagamos y del descuento que nos hacen
ENUNCIADO. El día del libro tenemos intención de comprar una novela de aventuras que sabemos que nos costará $11,00$ euros, con el descuento del $12\,\%$ que nos van a hacer. ¿ Cuál es el precio de dicho libro ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al precio del libro. Entonces, entre la cantidad que pagamos y el precio, podemos plantear la siguiente proporción:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{11,00}{x}$
con lo cual, también se cumple la igualdad entre las razones inversas
$\dfrac{100}{100-12}=\dfrac{x}{11,00}$
y por tanto ( despejando $x$ ),
$x=\dfrac{11\cdot 100}{100-12}$
esto es
$x=\dfrac{1100}{88}$
$x=\dfrac{25}{2} = 12,5 \; \text{euros}$ (esto es, $12$ euros y $50$ céntimos de euro )
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al precio del libro. Entonces, entre la cantidad que pagamos y el precio, podemos plantear la siguiente proporción:
$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{11,00}{x}$
con lo cual, también se cumple la igualdad entre las razones inversas
$\dfrac{100}{100-12}=\dfrac{x}{11,00}$
y por tanto ( despejando $x$ ),
$x=\dfrac{11\cdot 100}{100-12}$
esto es
$x=\dfrac{1100}{88}$
$x=\dfrac{25}{2} = 12,5 \; \text{euros}$ (esto es, $12$ euros y $50$ céntimos de euro )
$\square$
Descuentos
ENUNCIADO. El precio de un cuaderno que queremos comprar es de $2,00$ euros. El vendedor nos hace un $10\,\%$ de descuento por la compra del mismo. ¿ Cuánto tendremos que pagar ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cantidad que deberemos pagar por la compra del cuaderno. Entonces, podemos establecer la siguiente proporción:
$\dfrac{100-10}{100}=\dfrac{x}{2,00}$
Y resolviendo la ecuación,
$\dfrac{90}{100}=\dfrac{x}{2,00}$
$\dfrac{9}{10}=\dfrac{x}{2,00}$
$2,00\cdot \dfrac{9}{10}=x$
$x=\dfrac{2,00\cdot 9}{10}$
$x=\dfrac{18,00}{10}=1,80\;\text{euros}$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cantidad que deberemos pagar por la compra del cuaderno. Entonces, podemos establecer la siguiente proporción:
$\dfrac{100-10}{100}=\dfrac{x}{2,00}$
Y resolviendo la ecuación,
$\dfrac{90}{100}=\dfrac{x}{2,00}$
$\dfrac{9}{10}=\dfrac{x}{2,00}$
$2,00\cdot \dfrac{9}{10}=x$
$x=\dfrac{2,00\cdot 9}{10}$
$x=\dfrac{18,00}{10}=1,80\;\text{euros}$
$\square$
Ejemplo de ecuación incompatible
ENUNCIADO. Justificar la siguiente afirmación: La ecuación $2+x=3+x$ no tiene solución
SOLUCIÓN.
Si iniciamos el proceso de resolución -- con el propósito de obtener una ecuación equivalente en la que la incógnita $x$ aparezca aislada en un miembro de la igualdad ( esto es, $x=\square$ ) --, llegaremos a una contradicción, de lo cual se desprende el que no tenga solución, al no existir ningún valor para $x$ que verifique la igualdad de los valores numéricos de las expresiones algebraicas de ambos miembros. En efecto,
$2+x=3+x$
$-2+2+x=-2+3+x$
$0+x=1+x$
$x=1+x$
$-1+x=-1+1+x$
$-1+x=0+x$
$-1+x=x$
$-1+x-x=x-x$
$-1+0=0$
$-1=0$ (contradicción)
$\square$
SOLUCIÓN.
Si iniciamos el proceso de resolución -- con el propósito de obtener una ecuación equivalente en la que la incógnita $x$ aparezca aislada en un miembro de la igualdad ( esto es, $x=\square$ ) --, llegaremos a una contradicción, de lo cual se desprende el que no tenga solución, al no existir ningún valor para $x$ que verifique la igualdad de los valores numéricos de las expresiones algebraicas de ambos miembros. En efecto,
$2+x=3+x$
$-2+2+x=-2+3+x$
$0+x=1+x$
$x=1+x$
$-1+x=-1+1+x$
$-1+x=0+x$
$-1+x=x$
$-1+x-x=x-x$
$-1+0=0$
$-1=0$ (contradicción)
$\square$
martes, 21 de marzo de 2017
Resolviendo ecuaciones, paso a paso
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$$
SOLUCIÓN.
$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$
$(x+2x-3x)+(-1+5)=(8-7)+(-x+6x)$
$0\,x+4=1+5\,x$
$0+4=1+5\,x$
$4=1+5\,x$
$-1+4=-1+1+5\,x$
$3=0+5\,x$
$3=5\,x$
$5\,x=3$
$\dfrac{1}{5}\cdot 5\,x=\dfrac{1}{5}\cdot 3$
$\dfrac{5}{5}\,x=\dfrac{3}{5}$
$1\,x=\dfrac{3}{5}$
$x=\dfrac{3}{5}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$
$(x+2x-3x)+(-1+5)=(8-7)+(-x+6x)$
$0\,x+4=1+5\,x$
$0+4=1+5\,x$
$4=1+5\,x$
$-1+4=-1+1+5\,x$
$3=0+5\,x$
$3=5\,x$
$5\,x=3$
$\dfrac{1}{5}\cdot 5\,x=\dfrac{1}{5}\cdot 3$
$\dfrac{5}{5}\,x=\dfrac{3}{5}$
$1\,x=\dfrac{3}{5}$
$x=\dfrac{3}{5}$
$\square$
Aplicando las reglas de transposición de términos en la resolución de ecuaciones
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$$
SOLUCIÓN.
$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$
$2\cdot4-2\cdot 3\,x=3\cdot 1+3 \cdot 2\,x$
$8-6\,x=3+6\,x$
$8-6\,x+6\,x=3+6\,x+6\,x$
$8-0=3+12\,x$
$8=3+12\,x$
$8-3=3+12\,x-3$
$5=3+12\,x-3$
$5=12\,x+3-3$
$5=12\,x+0$
$5=12\,x$
$12\,x=5$
$\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 5$
$\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{5}{12}$
$1\,x=\dfrac{5}{12}$
$x=\dfrac{5}{12}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$
$2\cdot4-2\cdot 3\,x=3\cdot 1+3 \cdot 2\,x$
$8-6\,x=3+6\,x$
$8-6\,x+6\,x=3+6\,x+6\,x$
$8-0=3+12\,x$
$8=3+12\,x$
$8-3=3+12\,x-3$
$5=3+12\,x-3$
$5=12\,x+3-3$
$5=12\,x+0$
$5=12\,x$
$12\,x=5$
$\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 5$
$\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{5}{12}$
$1\,x=\dfrac{5}{12}$
$x=\dfrac{5}{12}$
$\square$
Resolviendo ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Resolver la ecuación $1-x=x-1$; esto es, determinar el valor de $x$ que cumple dicha igualdad.
SOLUCIÓN.
Empleando las reglas de transposición de términos y las propiedades con respecto a la suma y la multiplicación, debemos llegar a una ecuación equivalente a la original del tipo $x=\square$; el número del segundo miembro será la solución de la ecuación pedida.
$1-x=x-1$
$1-x+x=x-1+x$
$1+0=x+x-1$
$1+0=2\,x-1$
$1=2\,x-1$
$1-1=2\,x-1-1$
$0=2\,x-2$
$0+2=2\,x-2+2$
$2=2\,x+0$
$2=2\,x$
$2\,x=2$
$\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 2$
$\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{2}{2}$
$1\,x=1$
$x=1$
$\square$
SOLUCIÓN.
Empleando las reglas de transposición de términos y las propiedades con respecto a la suma y la multiplicación, debemos llegar a una ecuación equivalente a la original del tipo $x=\square$; el número del segundo miembro será la solución de la ecuación pedida.
$1-x=x-1$
$1-x+x=x-1+x$
$1+0=x+x-1$
$1+0=2\,x-1$
$1=2\,x-1$
$1-1=2\,x-1-1$
$0=2\,x-2$
$0+2=2\,x-2+2$
$2=2\,x+0$
$2=2\,x$
$2\,x=2$
$\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 2$
$\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{2}{2}$
$1\,x=1$
$x=1$
$\square$
Acerca de círculos y circunferencias. Expresiones algebraicas del área del círculo y del perímetro de una circunferencia
ENUNCIADO. Hablando de un círculo de radio $r$, ¿ qué representan las siguientes expresiones algebraicas ?
a) $\pi \cdot (2\,r)$, o lo que es lo mismo $2\,\pi\,r$
b) $\pi\,r^2$
SOLUCIÓN.
a) El perímetro de la circunferencia ( que es el contorno del círculo ), pues el número $\pi$ se puede definir como la razón aritmética entre el perímetro de la circunferencia y su diamétro ( que es lo mismo que $2\,r$ )
b) El área del círculo
$\square$
a) $\pi \cdot (2\,r)$, o lo que es lo mismo $2\,\pi\,r$
b) $\pi\,r^2$
SOLUCIÓN.
a) El perímetro de la circunferencia ( que es el contorno del círculo ), pues el número $\pi$ se puede definir como la razón aritmética entre el perímetro de la circunferencia y su diamétro ( que es lo mismo que $2\,r$ )
b) El área del círculo
$\square$
Algunas expresiones algebraicas referidas a un rectángulo
ENUNCIADO. Hablando de un rectángulo cuyas lados desiguales se denotan por $a$ y $b$, ¿qué representan las siguientes expresiones algebraicas?
a) $a\cdot b$
b) $2\cdot (a+b)$
SOLUCIÓN.
a) El área del rectángulo
b) El perímetro del rectángulo
$\square$
a) $a\cdot b$
b) $2\cdot (a+b)$
SOLUCIÓN.
a) El área del rectángulo
b) El perímetro del rectángulo
$\square$
domingo, 12 de marzo de 2017
Expresándonos en el lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Expresar en el lenguaje del álgebra:
a) El triple del cuadrado de la diferencia entre dos números
b) La suma de dos números pares consecutivos
SOLUCIÓN.
a) Sean $x$ e $y$ dichos números, entonces según la afirmación podemos escribir $3\cdot (x-y)^2$, que es lo mismo que $3\cdot (y-x)^2$
b) Sea $n$ un número natural cualquiera, entonces la cantidad pedida es $2n + (2n+2)$, que es lo mismo que $4n+2$, y que también podemos expresar como $2\cdot (2n+1)$
$\square$
a) El triple del cuadrado de la diferencia entre dos números
b) La suma de dos números pares consecutivos
SOLUCIÓN.
a) Sean $x$ e $y$ dichos números, entonces según la afirmación podemos escribir $3\cdot (x-y)^2$, que es lo mismo que $3\cdot (y-x)^2$
b) Sea $n$ un número natural cualquiera, entonces la cantidad pedida es $2n + (2n+2)$, que es lo mismo que $4n+2$, y que también podemos expresar como $2\cdot (2n+1)$
$\square$
Suscribirse a:
Entradas
(
Atom
)