Midiendo ángulos con el transportador de ángulos

Ejercicios resueltos del examen de los temas 6 y 7 de la asignatura "Recuperación de Matemáticas", realizado el lunes 13/03/2017

Resolviendo ecuaciones con WIRIS

Ejercicios resueltos y comentados del examen de los temas 6 y 7, realizado el viernes 13/03/2017

[1|2|3|4|5|6|7|8|9|10]

Valor numérico de una expresión algebraica fijado el valor de la variable de la que depende

ENUNCIADO. Calcular el valor numérico de la expresión algebraica $(1-3x)^2$ para $x=4$

SOLUCIÓN. Sustituyendo $x$ por el valor que toma, $4$, en la expresión dada, obtenemos la expresión numérica $(1-3\cdot 4)^2$ cuyo valor es el de la expresión algebraica para dicho valor concreto de la variable $x$. Veamos cuál es:
$(1-3\cdot 4)^2$
  $=(1-12)^2$
    $=(-11)^2$
      $=-11\cdot (-11)$
        $=11\cdot 11$
          $=121$
$\square$

Otro ejemplo de proporción directa

ENUNCIADO. Un ciclista recorre $5$ kilómetros en $10$ minutos (sin acelerar ni frenar). ¿Cuánto tiempo le llevará recorrer $34$ kilómetros?.

SOLUCIÓN.
Dada relación de proporcionalidad directa entre la longitud del camino recorrido y el tiempo empleado, y denotando por $t$ el tiempo pedido, podemos escribir:

$\dfrac{10}{5}=\dfrac{t}{34}$

despejando la incógnita $t$, llegamos a

$34\cdot \dfrac{10}{5}=t$

esto es

$t=\dfrac{34\cdot 10}{5}$

  $t=\dfrac{340}{5}=68\;\text{minutos}$

$\square$

Resolviendo ecuaciones en forma de proporción

ENUNCIADO. Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$$

SOLUCIÓN. Procedemos al despeje de la incógnita $x$:

$\dfrac{3}{x}=\dfrac{12}{8}$

Dada la proporción, y como el producto de medios es igual al producto de extremos, podemos escribir

$3\cdot 8 = 12\,x$

  $24 = 12\,x$

    $12\,x=24$

      $\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 24$

        $\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{24}{12}$

          $1\,x=2$

            $x=2$

$\square$

Calculando el precio de un artículo a partir de la cantidad que pagamos y del descuento que nos hacen

ENUNCIADO. El día del libro tenemos intención de comprar una novela de aventuras que sabemos que nos costará $11,00$ euros, con el descuento del $12\,\%$ que nos van a hacer. ¿ Cuál es el precio de dicho libro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al precio del libro. Entonces, entre la cantidad que pagamos y el precio, podemos plantear la siguiente proporción:

$\dfrac{100-12}{100}=\dfrac{11,00}{x}$

con lo cual, también se cumple la igualdad entre las razones inversas

$\dfrac{100}{100-12}=\dfrac{x}{11,00}$

y por tanto ( despejando $x$ ),

$x=\dfrac{11\cdot 100}{100-12}$

esto es

$x=\dfrac{1100}{88}$

  $x=\dfrac{25}{2} = 12,5 \; \text{euros}$ (esto es, $12$ euros y $50$ céntimos de euro )

$\square$

Descuentos

ENUNCIADO. El precio de un cuaderno que queremos comprar es de $2,00$ euros. El vendedor nos hace un $10\,\%$ de descuento por la compra del mismo. ¿ Cuánto tendremos que pagar ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ la cantidad que deberemos pagar por la compra del cuaderno. Entonces, podemos establecer la siguiente proporción:
$\dfrac{100-10}{100}=\dfrac{x}{2,00}$

Y resolviendo la ecuación,

  $\dfrac{90}{100}=\dfrac{x}{2,00}$

    $\dfrac{9}{10}=\dfrac{x}{2,00}$

      $2,00\cdot \dfrac{9}{10}=x$

        $x=\dfrac{2,00\cdot 9}{10}$

          $x=\dfrac{18,00}{10}=1,80\;\text{euros}$

$\square$

Ejemplo de ecuación incompatible

ENUNCIADO. Justificar la siguiente afirmación: La ecuación $2+x=3+x$ no tiene solución

SOLUCIÓN.
Si iniciamos el proceso de resolución -- con el propósito de obtener una ecuación equivalente en la que la incógnita $x$ aparezca aislada en un miembro de la igualdad ( esto es, $x=\square$ ) --, llegaremos a una contradicción, de lo cual se desprende el que no tenga solución, al no existir ningún valor para $x$ que verifique la igualdad de los valores numéricos de las expresiones algebraicas de ambos miembros. En efecto,
$2+x=3+x$
  $-2+2+x=-2+3+x$
    $0+x=1+x$
      $x=1+x$
        $-1+x=-1+1+x$
          $-1+x=0+x$
            $-1+x=x$
              $-1+x-x=x-x$
                $-1+0=0$
                  $-1=0$     (contradicción)

$\square$

Resolviendo ecuaciones, paso a paso

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$$

SOLUCIÓN.
$x-1+2x+5-3x=8-x+6x-7$
  $(x+2x-3x)+(-1+5)=(8-7)+(-x+6x)$
    $0\,x+4=1+5\,x$
      $0+4=1+5\,x$
        $4=1+5\,x$
          $-1+4=-1+1+5\,x$
            $3=0+5\,x$
              $3=5\,x$
                $5\,x=3$
                  $\dfrac{1}{5}\cdot 5\,x=\dfrac{1}{5}\cdot 3$
                    $\dfrac{5}{5}\,x=\dfrac{3}{5}$
                      $1\,x=\dfrac{3}{5}$
                        $x=\dfrac{3}{5}$
$\square$

Aplicando las reglas de transposición de términos en la resolución de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$$

SOLUCIÓN.
$2\cdot(4-3x)=3\cdot(1+2x)$
  $2\cdot4-2\cdot 3\,x=3\cdot 1+3 \cdot 2\,x$
    $8-6\,x=3+6\,x$
      $8-6\,x+6\,x=3+6\,x+6\,x$
        $8-0=3+12\,x$
          $8=3+12\,x$
            $8-3=3+12\,x-3$
              $5=3+12\,x-3$
               $5=12\,x+3-3$
                 $5=12\,x+0$
                   $5=12\,x$
                     $12\,x=5$
                       $\dfrac{1}{12}\cdot 12\,x=\dfrac{1}{12}\cdot 5$
                         $\dfrac{12}{12}\,x=\dfrac{5}{12}$
                           $1\,x=\dfrac{5}{12}$
                             $x=\dfrac{5}{12}$
$\square$

Resolviendo ecuaciones de primer grado

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $1-x=x-1$; esto es, determinar el valor de $x$ que cumple dicha igualdad.

SOLUCIÓN.
Empleando las reglas de transposición de términos y las propiedades con respecto a la suma y la multiplicación, debemos llegar a una ecuación equivalente a la original del tipo $x=\square$; el número del segundo miembro será la solución de la ecuación pedida.
$1-x=x-1$
  $1-x+x=x-1+x$
    $1+0=x+x-1$
      $1+0=2\,x-1$
        $1=2\,x-1$
          $1-1=2\,x-1-1$
            $0=2\,x-2$
              $0+2=2\,x-2+2$
                $2=2\,x+0$
                  $2=2\,x$
                    $2\,x=2$
                      $\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 2$
                        $\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{2}{2}$
                          $1\,x=1$
                            $x=1$
$\square$

Acerca de círculos y circunferencias. Expresiones algebraicas del área del círculo y del perímetro de una circunferencia

ENUNCIADO. Hablando de un círculo de radio $r$, ¿ qué representan las siguientes expresiones algebraicas ?
a) $\pi \cdot (2\,r)$, o lo que es lo mismo $2\,\pi\,r$
b) $\pi\,r^2$

SOLUCIÓN.
a) El perímetro de la circunferencia ( que es el contorno del círculo ), pues el número $\pi$ se puede definir como la razón aritmética entre el perímetro de la circunferencia y su diamétro ( que es lo mismo que $2\,r$ )
b) El área del círculo
$\square$

Algunas expresiones algebraicas referidas a un rectángulo

ENUNCIADO. Hablando de un rectángulo cuyas lados desiguales se denotan por $a$ y $b$, ¿qué representan las siguientes expresiones algebraicas?
a) $a\cdot b$
b) $2\cdot (a+b)$

SOLUCIÓN.
a) El área del rectángulo
b) El perímetro del rectángulo
$\square$

Expresándonos en el lenguaje del álgebra

ENUNCIADO. Expresar en el lenguaje del álgebra:
a) El triple del cuadrado de la diferencia entre dos números
b) La suma de dos números pares consecutivos

SOLUCIÓN.
a) Sean $x$ e $y$ dichos números, entonces según la afirmación podemos escribir $3\cdot (x-y)^2$, que es lo mismo que $3\cdot (y-x)^2$

b) Sea $n$ un número natural cualquiera, entonces la cantidad pedida es $2n + (2n+2)$, que es lo mismo que $4n+2$, y que también podemos expresar como $2\cdot (2n+1)$

$\square$