miércoles, 28 de junio de 2017
Exámenes realizados resueltos y comentados
Podéis acceder a los exámenes realizados ( resueltos y comentados ) siguiendo [este enlace].
lunes, 26 de junio de 2017
Unidades. Múltipos y submúltiplos
ENUNCIADO. Convertir:
a) $12$ decímetros cuadrados a centímetros cuadrados
b) $2,3$ kilómetros a metros
SOLUCIÓN.
a) $12\,\text{dm}^2=12\,\text{dm}^2 \cdot \dfrac{100}{1}\,\dfrac{\text{cm}^2}{\text{dm}^2}=12 \cdot 100 \,\text{cm}^2 = 1\,200\,\text{cm}^2$
b) $2,3\,\text{km}=2,3\,\text{km} \cdot \dfrac{1000}{1}\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}}=2,3 \cdot 1000 \, \text{m}=2\,300\,\text{m}$
$\square$
a) $12$ decímetros cuadrados a centímetros cuadrados
b) $2,3$ kilómetros a metros
SOLUCIÓN.
a) $12\,\text{dm}^2=12\,\text{dm}^2 \cdot \dfrac{100}{1}\,\dfrac{\text{cm}^2}{\text{dm}^2}=12 \cdot 100 \,\text{cm}^2 = 1\,200\,\text{cm}^2$
b) $2,3\,\text{km}=2,3\,\text{km} \cdot \dfrac{1000}{1}\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}}=2,3 \cdot 1000 \, \text{m}=2\,300\,\text{m}$
$\square$
Aplicaciones de la proporcionalidad. Distancia recorrida en un tiempo dado ( a velocidad constante )
ENUNCIADO. Un ciclista recorre, en promedio, $4$ kilómetros en $35$ minutos. Estimar el tiempo que necesitará para recorrer $22$ kilómetros.
SOLUCIÓN. Estableciendo la proporción directa entre la longitud de camino recorrido y el tiempo empleado,
$\square$
SOLUCIÓN. Estableciendo la proporción directa entre la longitud de camino recorrido y el tiempo empleado,
----------------------------------------- | tiempo ( en minutos ) | 35 | t | |-------------------------------------- | longitud (en kilómetros ) | 4 | 22 | -----------------------------------------podemos escribir $$\dfrac{35}{4}=\dfrac{t}{22}$$ con lo cual $$t=\dfrac{22\cdot 35}{4}=192,5\,\text{min}=192\,\text{min}\,30\,\text{s}\overset{192=60\cdot 3+12}{=}3\,\text{h}\,12\,\text{min}\,30\,\text{s}$$
$\square$
Aplicaciones de la proporcionalidad directa. Descuentos.
ENUNCIADO. En una librería se hace el $6\,\%$ de descuento sobre el precio de venta de todos los productos. Se pide:
a) Si un cuaderno tiene un precio de $2$ euros, ¿ cuánto pagaremos si lo compramos ?
b) Si hemos pagado $12$ euros por un libro, ¿ cuánto habríamos pagado sin el descuento ?
SOLUCIÓN.
a)
Estableciendo la proporción directa entre el precio y la cantidad a pagar,
b)
En este caso,
$\square$
a) Si un cuaderno tiene un precio de $2$ euros, ¿ cuánto pagaremos si lo compramos ?
b) Si hemos pagado $12$ euros por un libro, ¿ cuánto habríamos pagado sin el descuento ?
SOLUCIÓN.
a)
Estableciendo la proporción directa entre el precio y la cantidad a pagar,
--------------------------------- | a pagar: | 100-6=94 | x | --------------------------------- | precio: | 100 | 2 | ---------------------------------$$\dfrac{94}{100}=\dfrac{x}{2}$$ luego $$x=\dfrac{94\cdot 2}{100}=1,88\,\text{euros}$$
b)
En este caso,
--------------------------------- | a pagar: | 100-6=94 | 12 | --------------------------------- | precio: | 100 | y | ---------------------------------$$\dfrac{94}{100}=\dfrac{12}{y}$$ luego $$\dfrac{100}{94}=\dfrac{y}{12}$$ y por tanto $$y=\dfrac{12\cdot 100}{94}\approx 12,77\,\text{euros}$$
$\square$
Cálculo con cantidades sexagesimales
ENUNCIADO. En una carrera deportiva, Pedro ha llegado a la meta a las $11:40:10$ y Marta a las $10:50:55$. ¿ Cuánto tiempo ha pasado desde la llegada de Pedro a la llegada de Marta ?.
SOLUCIÓN.
El intervalo de tiempo pedido viene dado por la diferencia $$11:40:10-10:50:55$$ que es lo mismo que $$11:39:70-10:50:55$$ y que $$10:99:70-10:50:55$$ que es igual a $$00:49:15$$ es decir $$49\,\text{min}\;15\,\text{s}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El intervalo de tiempo pedido viene dado por la diferencia $$11:40:10-10:50:55$$ que es lo mismo que $$11:39:70-10:50:55$$ y que $$10:99:70-10:50:55$$ que es igual a $$00:49:15$$ es decir $$49\,\text{min}\;15\,\text{s}$$
$\square$
Un ejercicio sencillo sobre funciones
ENUNCIADO. Considerar la función $f(x)=5\,x+3$, que asocia un número cualquiera otro número. Se pide:
a) Calcular las imágenes de $-3$, $0$, $-1$ y $1$ por dicha función, obteniendo los puntos del plano $A(-3,?)$, $B(0,?)$, $C(-1,?)$ y $D(1,?)$.
b) Representar dichos puntos y la gráfica de la función en un diagrama cartesiano.
c) A la vista de la gráfica, ¿ se puede afirmar que la función dada es lineal afín ? Razónese la respuesta.
SOLUCIÓN.
a)
$f(-3)=5\cdot (-3)+3=-15+3=-12$, luego el punto $A$ tiene coordenadas $(-3,-12)$
$f(0)=5\cdot 0+3=0+3=3$, luego el punto $B$ tiene coordenadas $(0,3)$
$f(-1)=5\cdot (-1)+3=-5+3=-2$, luego el punto $C$ tiene coordenadas $(-1,-2)$
$f(1)=5\cdot 1+3=5+3=8$, luego el punto $D$ tiene coordenadas $(1,8)$
b)
c)
La gráfica de la función es una recta que no pasa por el origen de coordenadas $O(0,0$, luego se trata de una función lineal afín
$\square$
a) Calcular las imágenes de $-3$, $0$, $-1$ y $1$ por dicha función, obteniendo los puntos del plano $A(-3,?)$, $B(0,?)$, $C(-1,?)$ y $D(1,?)$.
b) Representar dichos puntos y la gráfica de la función en un diagrama cartesiano.
c) A la vista de la gráfica, ¿ se puede afirmar que la función dada es lineal afín ? Razónese la respuesta.
SOLUCIÓN.
a)
$f(-3)=5\cdot (-3)+3=-15+3=-12$, luego el punto $A$ tiene coordenadas $(-3,-12)$
$f(0)=5\cdot 0+3=0+3=3$, luego el punto $B$ tiene coordenadas $(0,3)$
$f(-1)=5\cdot (-1)+3=-5+3=-2$, luego el punto $C$ tiene coordenadas $(-1,-2)$
$f(1)=5\cdot 1+3=5+3=8$, luego el punto $D$ tiene coordenadas $(1,8)$
b)
c)
La gráfica de la función es una recta que no pasa por el origen de coordenadas $O(0,0$, luego se trata de una función lineal afín
$\square$
Triángulos en el plano cartesiano
ENUNCIADO. Represéntense en el plano cartesiano los puntos $A(-4,4)$, $B(4,4)$ y $C(0,-5)$. Se pide:
a) Unir los puntos con segmentos, ¿ qué tipo de triángulo se forma ?
b) Determínese el circuncentro de dicho triángulo y trácese la circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo ( circunferencia circunscrita ).
SOLUCIÓN.
a) Se forma el siguiente triángulo isósceles
b)
El circuncentro se obtiene intersecando las rectas mediatrices, y es el centro de la circunferencia circunscrita
$\square$
a) Unir los puntos con segmentos, ¿ qué tipo de triángulo se forma ?
b) Determínese el circuncentro de dicho triángulo y trácese la circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo ( circunferencia circunscrita ).
SOLUCIÓN.
a) Se forma el siguiente triángulo isósceles
b)
El circuncentro se obtiene intersecando las rectas mediatrices, y es el centro de la circunferencia circunscrita
$\square$
Área y perímetro de figuras planas
ENUNCIADO. Dibújese ( con regla y compás ) un trapecio isósceles cuyos lados paralelos midan $4$ y $8$ centímetros, siendo la distancia perpendicular entre éstos de $3$ centímetros. A continuación, calcúlese el área y el perímetro de dicho trapecio.
SOLUCIÓN.
Construcción del trapecio isósceles:
Cálculo del área:
$$\text{Área}=(4+(8-4)/2)\cdot 3=5\cdot 3=18\,\text{cm}^2$$
Cálculo del perímetro:
$$P=4+8+2\,\ell \quad \quad (1)$$
Como podemos ver, debemos calcular la longitud de $\ell$, lo cual haremos utilizando el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ( coloreado de verde en la siguiente figura ):
Así, pues, sustituyendo el valor de $\ell$ en (1) obtenemos
$$P=4+8+2\,\left|\sqrt{12}\right|$$ esto es $$P=12+2\,\left|\sqrt{12}\right|\,\text{cm}^2 \approx 15\,\text{cm}^2$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Construcción del trapecio isósceles:
Cálculo del perímetro:
$$P=4+8+2\,\ell \quad \quad (1)$$
Como podemos ver, debemos calcular la longitud de $\ell$, lo cual haremos utilizando el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo ( coloreado de verde en la siguiente figura ):
$$P=4+8+2\,\left|\sqrt{12}\right|$$ esto es $$P=12+2\,\left|\sqrt{12}\right|\,\text{cm}^2 \approx 15\,\text{cm}^2$$
$\square$
Resolviendo ecuaciones
ENUNCIADO. Determinar el valor de $x$ que satisface la siguiente igualdad: $$1-x+4+3\,x-5=2\,x+3-8+x$$
SOLUCIÓN.
$1-x+4+3\,x-5=2\,x+3-8+x$
$-x+3x-2x-x=3-8-1-4+5$
$2x-2x-x=-5-1-4+5$
$-x=-6-4+5$
$-x=-10+5$
$-x=-5$
$x=5$
$\square$
SOLUCIÓN.
$1-x+4+3\,x-5=2\,x+3-8+x$
$-x+3x-2x-x=3-8-1-4+5$
$2x-2x-x=-5-1-4+5$
$-x=-6-4+5$
$-x=-10+5$
$-x=-5$
$x=5$
$\square$
Un ejercicio de operaciones combinadas con fracciones
ENUNCIADO. Calcular el número fraccionario resultante: $$\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{20}{15}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{10}{12}$$
SOLUCIÓN. Antes de empezar el cálculo, notemos que $\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}$ y que $\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$, así pues el cálculo pedido es equivalente a
$\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{6}$
$=1-1$
$=0$
$\square$
SOLUCIÓN. Antes de empezar el cálculo, notemos que $\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}$ y que $\dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}$, así pues el cálculo pedido es equivalente a
$\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{6}$
$=1-1$
$=0$
$\square$
Estadística básica
ENUNCIADO. En una clase se ha realizado un examen. Las puntuaciones obtenidas son $${1,2,1,3,1,2,2,3,2,2,3,4,4,3,3,5,4,5,3,4,3}$$ Se pide:
a) Ordenando los datos y los cálculos necesarios en una tabla, determinar la moda, la mediana y la media
b) Dibujar ( empleando la regla ) el diagrama de barras
c) Elaborar ( con regla, compás y transportador de ángulos ) el diagrama de sectores. Nota: Es necesario calcular el ángulo central de cada sector circular
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Moléstese el lector en hacer lo mismo. $\square$
a) Ordenando los datos y los cálculos necesarios en una tabla, determinar la moda, la mediana y la media
b) Dibujar ( empleando la regla ) el diagrama de barras
c) Elaborar ( con regla, compás y transportador de ángulos ) el diagrama de sectores. Nota: Es necesario calcular el ángulo central de cada sector circular
SOLUCIÓN. Este ejercicio es análogo a [este otro]. Moléstese el lector en hacer lo mismo. $\square$
Una división decimal exacta
ENUNCIADO. Efectuar la siguiente división decimal exacta: $$456,58 \div 3,2$$
SOLUCIÓN. Multiplicando por $100$ el dividendo y el divisor, la división pedida es equivalente a $$45\,658 \div 320$$ que es más sencilla a la hora de aplicar el llamado algoritmo largo de la división:
$\square$
SOLUCIÓN. Multiplicando por $100$ el dividendo y el divisor, la división pedida es equivalente a $$45\,658 \div 320$$ que es más sencilla a la hora de aplicar el llamado algoritmo largo de la división:
$\square$
Un ejercicio de operaciones combinadas con números enteros
ENUNCIADO. Calcular el número entero resultante: $$5-4\div2\cdot 8-1+6\cdot(1-4)\div 3$$
SOLUCIÓN.
$5-4\div2\cdot 8-1+6\cdot(1-4)\div 3=$
$=5-2\cdot 8-1+6\cdot (-3)\div 3$
$=5-16-1+(-18)\div 3$
$=5-16-1+(-6)$
$=5-16-1-6$
$=-11-1-6$
$=-12-6$
$=-18$
$\square$
SOLUCIÓN.
$5-4\div2\cdot 8-1+6\cdot(1-4)\div 3=$
$=5-2\cdot 8-1+6\cdot (-3)\div 3$
$=5-16-1+(-18)\div 3$
$=5-16-1+(-6)$
$=5-16-1-6$
$=-11-1-6$
$=-12-6$
$=-18$
$\square$
Un ejercicio sobre la división entera
ENUNCIADO. Calcular el resto y el cociente de la siguiente división con los números enteros enteros no negativos (números naturales) que se indican: $$79829 \div 534 $$
SOLUCIÓN.
$\square$
SOLUCIÓN.
lunes, 12 de junio de 2017
Construcción de un triángulo de lados conocidos y cálculo ( aproximado ) de su área
ENUNCIADO. Empleando la regla y el compás, dibujar un triángulo cuyos lados midan $4$, $7$ y $10$ centímetros, respectivamente. Una vez hecho esto, determinar el área de dicho triángulo; para ello, debéis elegir uno de los lados como base y medir la altura correspondiente, aplicando a continuación la fórmula del área.
SOLUCIÓN.
Observación: Como las medidas de los lados puede entenderse que vienen aproximadas a las unidades, el área obtenida deberíamos aproximarla también a las unidades y por tanto podemos de decir que es igual a $11$ centímetros cuadrados ( aproximadamente ).
$\square$
SOLUCIÓN.
Observación: Como las medidas de los lados puede entenderse que vienen aproximadas a las unidades, el área obtenida deberíamos aproximarla también a las unidades y por tanto podemos de decir que es igual a $11$ centímetros cuadrados ( aproximadamente ).
$\square$
domingo, 11 de junio de 2017
Función lineal afín ( gráfica: una recta que no pasa por el origen de coordenadas )
ENUNCIADO. La gráfica de una cierta función ha resultado ser una recta que no pasa por el origen de coordenadas. Decir el nombre de dicha función.
SOLUCIÓN. Función lineal afín
$\square$
SOLUCIÓN. Función lineal afín
$\square$
Introducción a las funciones. Imagen de un número dada por una función.
ENUNCIADO. Considérese una función dada por $f(x)=(x-1)^2$. Calcular las imágenes de $-3$, $2$ y $5$ por dicha función.
SOLUCIÓN.
$f(-3)=(-3-1)^2=(-4)^2=-4 \cdot (-4)=16$
$f(2)=(2-1)^2=(1)^2=1\cdot 1=1$
$f(5)=(5-1)^2=(4)^2=4 \cdot 4=16$
$\square$
SOLUCIÓN.
$f(-3)=(-3-1)^2=(-4)^2=-4 \cdot (-4)=16$
$f(2)=(2-1)^2=(1)^2=1\cdot 1=1$
$f(5)=(5-1)^2=(4)^2=4 \cdot 4=16$
$\square$
Representación de puntos en el plano cartesiano
ENUNCIADO. Representar en el plano cartesiano los puntos $A(1,0)$, $B(1,4)$ y $C(3,0)$. ¿ Qué tipo de triángulo forman ?. Calcular el área y el perímetro del mismo, expresando cada una de dichas magnitudes en las unidades del gráfico ( de longitud y área, respectivamente ).
SOLUCIÓN.
El triángulo del que se habla es un triángulo rectángulo puesto que $\angle CAB$ es un ángulo recto. Entonces el área del mismo es la mitad del área del rectángulo del cual $\overline{BC}$ es una de sus diagonales. Por tanto $$\text{Área}=\dfrac{4\cdot 2}{2}=2\;\text{unidades de área del gráfico}$$ Por otra parte el perímetro es igual a $$4+2+\overline{BC} \quad \quad (1)$$ Así que para poder calcularlo deberemos saber la medida de la hipotenusa. Al tratarse de un triángulo rectángulo, deberá cumplirse el teorema de Pitágoras $$\overline{BC}^2=4^2+2^2=16+4=20$$ luego $$\overline{BC}=\left|\sqrt{20}\right| \approx 4,4 \; \text{unidades de longitud del gráfico}$$ ya que $4,4^2=19,36 \prec 20 \prec 4,5^2=20,25$. Sustituyendo esta aproximación de $\left|\sqrt{20}\right|$ en (1) obtenemos $$\text{Perímetro} \approx 10,4 \; \text{unidades de longitud del gráfico}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El triángulo del que se habla es un triángulo rectángulo puesto que $\angle CAB$ es un ángulo recto. Entonces el área del mismo es la mitad del área del rectángulo del cual $\overline{BC}$ es una de sus diagonales. Por tanto $$\text{Área}=\dfrac{4\cdot 2}{2}=2\;\text{unidades de área del gráfico}$$ Por otra parte el perímetro es igual a $$4+2+\overline{BC} \quad \quad (1)$$ Así que para poder calcularlo deberemos saber la medida de la hipotenusa. Al tratarse de un triángulo rectángulo, deberá cumplirse el teorema de Pitágoras $$\overline{BC}^2=4^2+2^2=16+4=20$$ luego $$\overline{BC}=\left|\sqrt{20}\right| \approx 4,4 \; \text{unidades de longitud del gráfico}$$ ya que $4,4^2=19,36 \prec 20 \prec 4,5^2=20,25$. Sustituyendo esta aproximación de $\left|\sqrt{20}\right|$ en (1) obtenemos $$\text{Perímetro} \approx 10,4 \; \text{unidades de longitud del gráfico}$$
$\square$
Construcción de un rombo, conocidas sus diagonales. Cálculo de su área.
ENUNCIADO. Dibujar ( con los instrumentos de dibujo ) un rombo cuyas diagonales midan $3$ y $5$ centímetros, respectivamente. A continuación, calcular el área y el perímetro de dicho rombo.
SOLUCIÓN.
Construcción del rombo y cálculo de su perímetro:
A continuación, calculamos su área:
SOLUCIÓN.
Construcción del rombo y cálculo de su perímetro:
A continuación, calculamos su área:
Estadística descriptiva
ENUNCIADO. En una clase se ha realizado un examen. Las puntuaciones obtenidas son ${1,2,2,3,1,2,2,3,3,5,4,4,4}$. Ordenar los datos en una tabla y determinar la moda, la mediana y la media. Dibujar el diagrama de barras y el diagrama de sectores.
SOLUCIÓN.
Organicemos los valores en una tabla de frecuencias ( $f$ es la frecuencia absoluta del recuento y $F$ la frecuencia absoluta acumulada ):
Observemos que el valor que aparece un mayor número de veces es $2$, así que decimos que la moda es $2$. Por otra parte, la tabla nos permite visualizar los los valores ordenados de menor a mayor, basta con observar la frecuencia acumulada $F$; como hay $13$ valores en total, el valor que está en el centro ( esto es la mediana ) es $$\text{mediana}=x_{\text{cociente}(13\div 2)+1}=x_7=3$$
Finalmente, sólo nos queda calcular la media ( dividiendo la suma de todos los valores entre el número de estos ); para ello, es muy recomendable organizar el cálculo de la siguiente manera:
y por tanto, la media pedida es igual a $\dfrac{36}{13} \approx 2,8$
Dibujemos el diagrama de barras:
Para elaborar el diagrama de sectores debemos calcular los ángulos de cada sector, que obtendremos planteando la proporción directa entre la frecuencia y el ángulo respectivo:
Y empleando las herramientas de dibujo obtenemos el siguiente diagrama de sectores
$\square$
SOLUCIÓN.
Organicemos los valores en una tabla de frecuencias ( $f$ es la frecuencia absoluta del recuento y $F$ la frecuencia absoluta acumulada ):
x f F
-------------
1 2 2
2 4 6
3 3 9
4 3 12
5 1 13
----
N=13
Observemos que el valor que aparece un mayor número de veces es $2$, así que decimos que la moda es $2$. Por otra parte, la tabla nos permite visualizar los los valores ordenados de menor a mayor, basta con observar la frecuencia acumulada $F$; como hay $13$ valores en total, el valor que está en el centro ( esto es la mediana ) es $$\text{mediana}=x_{\text{cociente}(13\div 2)+1}=x_7=3$$
Finalmente, sólo nos queda calcular la media ( dividiendo la suma de todos los valores entre el número de estos ); para ello, es muy recomendable organizar el cálculo de la siguiente manera:
x f x·f
----------------
1 2 2·1=2
2 4 2·4=8
3 3 3·3=9
4 3 4·3=12
5 1 5·1=5
-------
suma=36
y por tanto, la media pedida es igual a $\dfrac{36}{13} \approx 2,8$
Dibujemos el diagrama de barras:
Para elaborar el diagrama de sectores debemos calcular los ángulos de cada sector, que obtendremos planteando la proporción directa entre la frecuencia y el ángulo respectivo:
x f ángulo
----------------------
1 2 2·360/13= 55
2 4 4·360/13=111
3 3 3·360/13= 83
4 3 3·360/13= 83
5 1 1·360/13= 28
------------
suma = 360
Y empleando las herramientas de dibujo obtenemos el siguiente diagrama de sectores
$\square$
Sector circular. Área. Longitud de arco.
ENUNCIADO. Dibujar ( con regla y compás ) un sector circular de $5$ centímetros de radio y cuyo ángulo central mide $60^{\circ}$. A continuación, calcular el área de dicho sector y, también, longitud de su arco.
SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es $\pi \cdot 5^2\,\text{cm}^2$, esto es $25\,\pi\,\text{cm}^2$. Entonces, el área de una parte del mismo ( la del sector circular de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre área y ángulo: $$\dfrac{\text{Área}_{\text{sector}}}{60}=\dfrac{25\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Área}_{\text{sector}}=60\cdot \dfrac{25\,\pi}{360}=\dfrac{25\,\pi}{6}\,\text{cm}^2 \approx 13 \,\text{cm}^2$$
La longitud de la circunferencia es $2\cdot \pi \cdot 5\,\text{cm}$, esto es, $10\,\pi\,\text{cm}$. Entonces, la longitud de una parte de la misma ( la del arco de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre longitud de arco y ángulo: $$\dfrac{\text{Longitud}_{\text{arco}}}{60}=\dfrac{10\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Longitud}_{\text{arco}}=60\cdot \dfrac{10\,\pi}{360}=\dfrac{5\,\pi}{3}\,\text{cm} \approx 5 \,\text{cm}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El área del círculo completo es $\pi \cdot 5^2\,\text{cm}^2$, esto es $25\,\pi\,\text{cm}^2$. Entonces, el área de una parte del mismo ( la del sector circular de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre área y ángulo: $$\dfrac{\text{Área}_{\text{sector}}}{60}=\dfrac{25\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Área}_{\text{sector}}=60\cdot \dfrac{25\,\pi}{360}=\dfrac{25\,\pi}{6}\,\text{cm}^2 \approx 13 \,\text{cm}^2$$
La longitud de la circunferencia es $2\cdot \pi \cdot 5\,\text{cm}$, esto es, $10\,\pi\,\text{cm}$. Entonces, la longitud de una parte de la misma ( la del arco de $60^\circ$ de ángulo central ) ha de calcularse estableciendo la proporción entre longitud de arco y ángulo: $$\dfrac{\text{Longitud}_{\text{arco}}}{60}=\dfrac{10\,\pi}{360}$$ y despejando se obtiene $$\text{Longitud}_{\text{arco}}=60\cdot \dfrac{10\,\pi}{360}=\dfrac{5\,\pi}{3}\,\text{cm} \approx 5 \,\text{cm}$$
$\square$
Área de una corona circular
ENUNCIADO. Empleando el compás, dibujar una corona circular cuyos radios menor y mayor midan $4$ y $5$ centímetros, respectivamente. Calcular su área.
SOLUCIÓN.
El área de la corona circular es igual a la diferencia de las áreas de los dos círculos $$\pi\cdot 5^2 - \pi\cdot 4^2=25\,\pi -16\,\pi=9\,\pi \; \text{cm}^2$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El área de la corona circular es igual a la diferencia de las áreas de los dos círculos $$\pi\cdot 5^2 - \pi\cdot 4^2=25\,\pi -16\,\pi=9\,\pi \; \text{cm}^2$$
$\square$
Apliaciones del teorema de Tales
ENUNCIADO. Un bastón de $2$ metros de longitud que está plantado perpendicularmente al suelo ( siendo el suelo horizontal ) da una sombra ( a la luz del Sol ) de $3$ metros de longitud. En el mismo instante un árbol, que está al lado del bastón, da una sombra de $15$ metros de longitud. Calcúlese la altura del árbol.
SOLUCIÓN.
En clase, hemos planteado y resuelto muchas veces ejercicios parecidos a este. Recordemos que se resuelve aplicando el teorema de Tales, pues los rayos del Sol ( casi paralelos ), las sombras y los bastones configuran dos triángulos semejantes. Denominando $x$ a la altura del árbol pedida, deberá cumplirse que
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{15}{3}$$ luego $x=2\cdot \dfrac{15}{3}$ y haciendo el cálculo del segundo miembros obtenemos $$x=10\,\text{metros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
En clase, hemos planteado y resuelto muchas veces ejercicios parecidos a este. Recordemos que se resuelve aplicando el teorema de Tales, pues los rayos del Sol ( casi paralelos ), las sombras y los bastones configuran dos triángulos semejantes. Denominando $x$ a la altura del árbol pedida, deberá cumplirse que
$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{15}{3}$$ luego $x=2\cdot \dfrac{15}{3}$ y haciendo el cálculo del segundo miembros obtenemos $$x=10\,\text{metros}$$
$\square$
Centros notables de un triángulo
ENUNCIADO. Citar los cuatro centros notables de un triángulo ( explicados en clase ). Y, a continuación, sin hacer dibujo alguno, explicar cómo se obtiene cada uno de ellos.
SOLUCIÓN.
Los centros del triángulo explicados en clase son los siguientes:
SOLUCIÓN.
Los centros del triángulo explicados en clase son los siguientes:
- Circuncentro ( punto de intersección de las tres rectas mediatrices de los respectivos lados del triángulo )
- Incentro ( punto de intersección de las tres rectas bisectrices de los respectivos ángulos interiores del triángulo )
- Baricentro ( punto de intersección de las tres rectas medianas del triángulo )
- Ortocentro ( punto de intersección de las tres rectas altura del triángulo )
Construcción de un triángulo escaleno, dados sus lados. Circuncentro.
ENUNCIADO. Construir ( con regla y compás ) un triángulo escaleno cuyos lados midan $3$, $4$ y $5$ centímetros. Y, a continuación, se pide:
Denominar los vértices y los lados del triángulo siguiendo el convenio establecido
b) Medir cada uno de los tres ángulos ( empleando el transportador de ángulos )
c) Determinar ( con regla y compás ) el circuncentro y trazar la circunferencia circunscrita.
SOLUCIÓN.
Denominar los vértices y los lados del triángulo siguiendo el convenio establecido
b) Medir cada uno de los tres ángulos ( empleando el transportador de ángulos )
c) Determinar ( con regla y compás ) el circuncentro y trazar la circunferencia circunscrita.
SOLUCIÓN.
Triángulos equiláteros
ENUNCIADO. Construir (con regla y compás) un triángulo equilátero de $5$ centímetros de lado. Y, a continuación, calcular el perímetro y el área del mismo.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es un caso particular (los tres lados del triángulo son iguales) de lo que se explica en esta otra entrada del blog.
SOLUCIÓN. Este ejercicio es un caso particular (los tres lados del triángulo son iguales) de lo que se explica en esta otra entrada del blog.
Operaciones aritméticas con unidades sexagesimales
ENUNCIADO. Dadas las medidas de los siguientes ángulos: $\hat{A} = 63^{\circ}\,40^{'}\,30^{''}$ y $\hat{B} = 22^{\circ}\,55^{'}\,58^{''}$, se pide el valor de estos otros ángulos:
a) $\hat{A}+\hat{B}$
b) $\hat{A}-\hat{B}$
b) $\dfrac{1}{3}\,\hat{A}$
c) $6\,\hat{B}$
SOLUCIÓN. He comentado muchos ejercicios como éste, por ejemplo en [goo.gl/F34onW]
. Para no aburrir al lector, me limito a dar las soluciones, pidiéndole - eso sí - que reproduzca los cálculos:
a) $\hat{A} + \hat{B}= 86^{\circ}\,36^{'}\,28^{''}$
b) $\hat{A}-\hat{B} = 40^{\circ}\,44^{'}\,32^{''}$
c) $\dfrac{1}{3}\,\hat{A}=21^{\circ}\,13^{'}\,30^{''}$
d) $6\,\hat{B}=137^{\circ}\,35^{'}\,48^{''}$
$\square$
a) $\hat{A}+\hat{B}$
b) $\hat{A}-\hat{B}$
b) $\dfrac{1}{3}\,\hat{A}$
c) $6\,\hat{B}$
SOLUCIÓN. He comentado muchos ejercicios como éste, por ejemplo en [goo.gl/F34onW]
. Para no aburrir al lector, me limito a dar las soluciones, pidiéndole - eso sí - que reproduzca los cálculos:
a) $\hat{A} + \hat{B}= 86^{\circ}\,36^{'}\,28^{''}$
b) $\hat{A}-\hat{B} = 40^{\circ}\,44^{'}\,32^{''}$
c) $\dfrac{1}{3}\,\hat{A}=21^{\circ}\,13^{'}\,30^{''}$
d) $6\,\hat{B}=137^{\circ}\,35^{'}\,48^{''}$
$\square$
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