Ponemos separadores en una balda ...

En la balda de una estantería que tiene una longitud de $3\,\text{m}$ ponemos dos separadores, cada uno de los cuales dista la misma distancia de los extremos que la que dista entre los dos. ¿En cuántos tramos queda dividida la balda? ¿Cuál es la longitud de cada uno de los tramos en los que queda dividida?

Al haber $2$ separadores, la balda queda dividida en $2+1=3$ tramos, los cuales, según el enunciado, tienen la misma longitud, la cual es igual, por tanto, a la longitud de la balda, que es de $3\,\text{m}$ dividida entre $3$ trozos iguales, esto es, $$\dfrac{3\,\text{m}}{3\,\text{tramos}}=1\,\dfrac{\text{m}}{\text{tramo}}$$
$\diamond$

Razonando con números enteros y extrayendo conclusiones interesantes. Otro ejemplo: $0$ no es divisor de ningún número entero no nulo

¿Por qué $0$ no es divisor de ningún otro número entero distinto de cero?

Supongamos que sí lo sea e intentemos llegar a una contradicción. Si lo conseguimos, habremos demostrado la afirmación. Veamos: para cualquier número entero $m\neq 0$, si $0$ es divisor de $m$ (como hemos supuesto), entonces, por el teorema de la división de números enteros y por la definición de divisor, debería cumplirse que, existe un número entero $n$ tal que $m=0\cdot n+k$, con $k=0$ (por ser $0$, supuestamente, un divisor de $m$), esto es $m=0\cdot n$, pero el segundo miembro de la igualdad es $0$, pues $0\cdot n=0$, luego deducimos de ello que $m=0$, en contra de la suposición inicial, $m\neq 0$. En consecuencia, podemos afirmar que $0$ no es divisor de ningún número entero distinto de cero. $\diamond$

Conclusiones a partir de razonamientos con números enteros que, quizás, te sorprendan. Un ejemplo: 0 es múltiplo de cualquier número entero no nulo

¿Por qué la afirmación: cero es múltiplo de cualquier otro número entero distinto de cero es cierta?

Todo entero, $m$, distinto de cero, es divisor de $0$, ya que, de la división euclídea $0 \div m$, se tiene que $0=m\cdot 0+0$ (teorema de la división con números enteros), luego si $m\neq 0$ es divisor de $0$, entonces $0$ es múltiplo de $m$. $\diamond$

Teorema de la divisió euclídea (recordatorio para personas profesoras que trabajen en secundaria)

Recordemos el teorema de la división entera (euclídea): Para un número entero cualquiera $D$ (dividendo) y un número entero cualquiera $d$ (divisor) existen dos números enteros únicos, $c$ (cociente) y $r$ (resto) de manera que debe cumplirse las siguientes condiciones $D=d\cdot c+r$ y $0\le r \lt |d|$   $\diamond$

Ejemplo de división entera de un número entero positivo entre un número entero negativo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $5 \div (-3)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $-3$ da como resultado el número entero positivo que se acerca más a $5$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $5=-1\cdot (-3) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=5-(-1)\cdot (-3)=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2\lt |-3|=3$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre dos números enteros negativos

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-3 \div (-2)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor también, el cociente ha de ser positivo; el número entero positivo que multiplicado por $-2$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-3$ es $2$, luego el cociente es $2$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-3=2\cdot (-2) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-3-2\cdot (-2)=-3+4=1$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $1\lt |-2|=2$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre un entero negativo y un entero positivo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-2 \div 4$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $4$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-2$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-2=4\cdot (-1) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-2-4\cdot (-1)=-2+4=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2 \lt |4|=4$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Curiosidades con el resto de las divisiones enteras

Alguien afirma: El resto de la división entera de $2$ entre $4$ da resto igual a $2$. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿por qué?

En efecto, es cierto, porque al ser el dividendo menor que el divisor, $2 \le 4$, el cociente de la división entera $2 \div 4$ es igual $0$, luego $2=0\cdot 4 +2$, por consiguiente el resto es $2$. $\diamond$

Acerca de cosas que cambian de manera periódica. Un ejemplo con los días de la semana. Una noción básica sobre aritmética modular

Hoy es miércoles. Es evidente que dentro de siete días volverá a ser miércoles, pues la semana consta de siete días. Hagámonos un pregunta interesante: ¿qué día de la semana será dentro de $80$ días?

Observemos que $80=11\cdot 7+3$, es decir, al hacer la división entera entre $80$ y $7$ resulta que el cociente es $11$ y el resto es $3$. Quiere decir ésto que, en $80$ días transcurren $11$ semanas y $3$ días más. Entonces, después de $11$ semanas volverá a ser miércoles (de la undécima semana), y, por tanto, el tercer día despues (de ese miércoles de la undécima semana), tendrá que ser el sábado (de esa misma undécima semana). Notemos que, para obtener la solución a este tipo de ejercicios (modulares) basta calcular el resto de la división.

Nota:
Notemos que en el caso que el resto que obtuviésemos fuese $0$ significaría que el último día del intervalo que transcurre volvería a coincidir con el mismo día de la semana del que partiésemos; por ejemplo, al cabo de $77$ días ($77$ es múltiplo de $7$, ques es la duración de una semana), volverá a ser miércoles, pues $77=11\cdot 7+0$. $\diamond$

¿Cuántos divisores positivos de $36$ hay?

¿Cuántos divisores tiene $36$? Vamos a responder a esta pregunta viendo primero cuáles son los divisores primos, para, después, calcular el número total de divisores, sin necesidad de decir quiénes son dichos divisores.

Observemos que los divisores primos de $36$ son $2$ y $3$; en efecto, al factorizar $36$, encontramos que $36=2^2\,\cdot 3^2$. Fijémonos ahora en los exponentes de las potencias de dichos números primos: $2$ para el exponente de la potencia de base $2$, y $2$ también para el exponente de base $3$; quiere decir ésto que hay tres divisores de $2^2$ (esto es, de $4$), que son $1$, $2$ y el propio $4$; y hay tres divisores de $3^2$ (esto es, de $49$), que son $1$, $3$ y el propio $9$. Si emparejamos los tres de un grupo de divisores con los tres del otro grupo de divisores —dibujar un sencillo diagrama de árbol puede ayudar en el caso de que no lo veamos claro— encontramos un total de $9$ divisores (y no hay ni más ni menos), ya que los tres de uno de los grupos de divisores por los otros tres del otro grupo ha de ser igual al número total de divisores de $36$.

-oOo-

Observación: Démonos también cuenta de que el número total de divisores podemos calcularlo de un modo más rápido multiplicando los exponentes que aparecen en cada potencia con base un número primo (que aparecen en la factorización del número pedido), habiéndoles sumado préviamente la unidad, habida cuenta de que el $1$ es divisor de cualquier número, de ahí que salga repetido en los dos grupos de divisores que primero hemos encontrado( tanto del de $4$ como del de $9$). Entonces, pues, en el caso de $36$, vemos que hay $(2+1)\cdot (2+1)=3\cdot 3=9$ divisores positivos, como ya hemos visto arriba. Así, por ejemplo, el número total de divisores de $180$, que factorizado es igual a $2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1$, tiene éste $(2+1)\cdot (2+1) \cdot (1+1)=18$ divisores positivos.

Nota: Si en lugar de interasarnos sólo por los divisores positivos, quisieramos saber el número total de divisores de dicho número (incluyendo los divisores negativos), bastaría multiplicar por $2$ el resultado obtenido, pues por cada divisor positivo, su opuesto también es divisor del número pedido; así, el número total de divisores de $32$ (teniendo en cuenta los positivos y, también, los negativos) es $9\cdot 2=18$. $\diamond$

Una cuestión sencilla sobre divisibilidad

¿Es $102$ divisible por $6$? Tratemos de responder a esta pregunta sin hacer explícitamente la división entre $6$ (para ver si el resto de la división es o no es igual a cero)

Es claro que $102$ es divisible por $2$, pues su última cifra, que es $2$, es par. Por otro lado, si sumamos todas las cifras de $102$, obtenemos $1+0+2=3$, que, desde luego, es múltiplo de sí mismo, es decir, de $3$, luego $102$ es también múltiplo de $3$. Y como $102$ es múltiplo de $2$ y de $3$, también lo es de $2\cdot 3$, esto es, es múltiplo de $6$.

-oOo-

Observación: De lo dicho anteriormente podemos extraer una conclusión importante sobre la divisibilidad de un número y sus divisores. Si un cierto número es divisible por $m$ y también por $n$ (no importa si $m$ y $n$ son o no números primos), entonces también es divisible por $m\cdot n$. Por ejemplo, sabemos que $9$ y $4$ son divisores de $180$, luego dicho número también es divisible por $4\cdot 9=36$, lo cual podemos comprobar fácilmente. $\diamond$

Los divisores de $60$ y las fracciones de tiempo

Al medir el tiempo y expresar sus cantidades en el sistema sexagesimal los divisores de $60$ cobran importancia. Los temporizadores de arena con ampolletas (o relojes de arena) permiten fraccionar una cierta cantidad de tiempo entre dos sucesos, como hacemos con un cronómetro, pero con instrumentos de arenas de distintos colores (como los de la figura). Antes de la aparición de los relojes de péndulo, ésta era la manera más común de medir el tiempo, ya fuese a bordo de un velero, surcando el océano, entre turnos de guardia, o en un obrador de artesano, controlando la cocción de los alimentos, por poner sólo un par de ejemplos. Ni que decir tiene que, hoy en día, acostumbrados a manejar relojes modernos, los viejos relojes de arena parecen un anacronismo inútil, pero lo cierto es que los podemos utilizar para aprender el funcionamiento de la medida del tiempo al fraccionarlo en horas, minutos y segundos, operando con los divisores de $60$, añadiendo (sumando), restando, multiplicando y dividiendo.

El utilizar los relojes de arena es un bonito juego para niños que permite practicar el cálculo con los divisores de $60$. En la imagen vemos seis ampolletas, de valores respectivos: $1$, $3$, $5$, $10$, $15$ y $30$ minutos, que son divisores de $60$. No son, no obstante, todos los divisores de $60$, pues en total hay $12$; en efecto, como $60=2^\mathbf{2} \cdot 3^{1} \cdot 5^{1}$, el número total de divisores (positivos) es igual a $(\mathbf{2}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)=3\cdot 2 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$. Podemos encontrarlos con la ayuda de un diagrama de árbol, como ya hemos hecho muchas veces con otros números, y podéis comprobar que son los siguientes: $$\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60 \}$$ Los divisores que faltan podemos obtenerlos combinando estos seis; así, por ejemplo, para medir un intervalo de $60$ minutos, bastará con darle la vuelta al reloj de $30$ minutos inmediatamente después de que toda la arena pase al recipiente inferior, y esperar a que se vuelva a vaciar. Otro ejemplo: para medir un intervalo de $2$ minutos, bastará hacer lo mismo que antes con el relojde $1$ minuto, o, también (y de manera más interesante), podemos poner en vaciado a la vez el de $5$ minutos y el de $3$ minutos, haciendo una operación de resta: inmediatamente después de haberse vaciado el de $3$ minutos, lo que queda por vaciar del de $5$ minutos corresponderá precisamente a esos $2$ minutos en cuanto acabe éste de vaciarse. Y así, podemos practicar y jugar, con muchas otras operaciones aritméticas.

Créditos de la imagen: The Twiddlers, un juego de relojes de arena

Todos los relojes de arena, al igual que cualquier otro instrumento de medida, tienen por supuesto un error que hay que considerar al realizar las medidas. Esa es otra parte del juego que lleva a un aprendizaje de gran riqueza experimental y de rigor, el del control del error de medida, que invito a que se practique en casa o en la escuela. $\diamond$

Los divisores de $10$ en las monedas y los billetes

Si vaciáis un monedero repleto de las monedas que se guardan de las vueltas en las compras, comprobaréis que, si el monedero contiene piezas de todo tipo, entre las que tienen un valor inferior o bien igual a $10$ céntimos de euro solamente las encontraréis de cuatro tipos, y algo parecido ocurre con la cuantía de los billetes (de valor igual o superior a $10$ euros)

Veréis que hay monedas de $1$ céntimo de euro, de $2$ céntimos, de $5$ céntimos, y las de $10$ euros. Reparemos en el hecho de que estos valores són precisamente los divisores de $10$ (de diez céntimos de euro); en efecto, como $10=2^\mathbf{1}\,5^\mathbf{1}$, sabemos que hay exactamente $(\mathbf{1}+1)\cdot (\mathbf{1}+1)=2\cdot 2= 4$ divisores, que no son otros que $\{1,2,5,10\}$ (céntimos de euro). Así, diez piezas de $10$ céntimos, hacen un total de $10\cdot 10=100$ céntimos, esto es, $1$ euro; veinte piezas de $5$ céntimos, hacen un total de $20\cdot 5=100$ céntimos, esto es, un euro; cincuenta piezas de $2$ céntimos, hacen un total de $50\cdot 2=100$ céntimos, esto es, $1$ euro, y cien piezas de $1$ céntimo, hacen un total de $100\cdot 1=100$ céntimos (un euro).

Algo parecido ocurre con las piezas cuyos valores son del orden de las decenas de euros. Comprobaréis que solamente las hay de cuatro tipos: monedas de $10$, $20$, $50$ y de un euro (esto es de $100$ céntimos). También sucede algo parecido con el valor de los billetes (que tienen valores iguales superiores a diez euros): los hay de $10$, $20$, $50$ y $100$ euros. Y, entre cien y mil, hay billetes de $200$ euros, y, aunque ya se ven menos en circulación, también hay billetes $500$, y, hasta hace poco, los había de $1000$ euros.

En definitiva, como véis, la cuantía de las monedas/billetes es la de múltiplos de diez. Y esto es así, porque de este modo se optimiza la capacidad de combinar monedas y billetes para sumar cualquier cantidad con una precisión de una centésima de euro. $\diamond$

Recuento de monedas de diversos valores. Agrupación/clasificación, multiplicación y suma

Imaginemos un monedero olvidado en un cajón, lleno de monedas de diverso valor; la hay de $1$, de $2$, de $5$ y de $10$ céntimos de euro, y también hay algunas de $1$ euros y de $2$ euros. Vaciamos el monedero sobre la mesa y contemplamos el montón de esas diversas piezas. Enseguida nos planteamos una pregunta, ¿cuál es el valor (en euros) de nuestro tesoro? ¿cuál es la mejor estrategia para contarlo?

La manera eficiente de contar la cantidad total de dinero consiste en agrupar las monedas por valor (en grupos homogéneos), poniendo pues todas la monedas de $1$ céntimo de euro juntas, las de $2$ céntimos de euro en otro montoncito, las de $5$ céntimos en otro grupo, las de $1$ euro en otro, y las de $2$ euros en otro montón. A continuación, contaremos el número de monedas que tienen el mismo valor, grupo por grupo; luego multiplicaremos el número de monedas de cada montón el valor por el valor de las monedas del mismo. Y, finalmente, sumaremos esas cantidades. Veámoslo con un ejemplo:

Supongamos que, al clasificar las monedas, haciendo los cinco montones, nos hemos encontrado con: $32$ monedas de un $1$ céntimo de euro; $78$ monedas de $2$ céntimos de euro; $24$ monedas de $5$ céntimos de euro; $4$ monedas de $1$ euro, y$3$ monedas de $2$ euros. Bien, recordando que $1$ céntimo de euro se puede escribir como $0,01$ euros, la cantidad de dinero (medido en euros) que contenía el monedero es: $(32\cdot 1 +78\cdot 2 + 24\cdot 5)\cdot 0,01 + 4\cdot 1 + 3\cdot 2=3,08+4+6=13,08\,\text{euros}$; es decir, $3$ euros y $8$ céntimos de euro.

-oOo-

Comentario:

Salvando las monedas de $1$ euros y de $2$ euros, que son fáciles de contar, muchas personas se lían al contar las monedas pequeñas, agrupándolas de manera heterogénea, por ejemplo, hasta formar un cierto número de grupitos, pongamos que cada uno con un valor de $1$ euro. Si en el monedero hay muchas monedas pequeñas, será muy probable que se equivoquen si utilizan esta estrategia, incluso que se hagan un lío tal (es fácil confundir una moneda de un céntimo de euro con una de dos céntimos) que se queden bloqueadas, y tengan que volver a empezar. La estrategia, y el método que he expuesto, me parece el más rápido, cómodo y seguro. Probad a ponerlo en práctica en una situación real, y probad a hacerlo también de otras maneras/estrategias. $\diamond$

Acerca de la noción de densidad de masa

Considera una determinada sustancia, la que quieras, ya sea ésta simple o compuesta, por ejemplo: hierro, agua, aire; lo que sea. La masa de dicha sustancia dividida por el volumen que ocupa es lo que denominamos densidad de dicha sustancia. Lógicamente, cualquier muestra de una misma sustancia tendrá la misma densidad.

Así, por ejemplo, si consideramos un bloque de hierro compacto de $7870$ kilogramos, veremos que, al medir el volumen que ocupa, éste es de 1 metro cúbico, por lo que podemos decir que la densidad del hierro es de $7870\,\dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$.

Este concepto, el de densidad, es muy útil, pues si de una determinada sustancia conocemos dicho dato, podemos saber cuál es la masa de una cierta cantidad de la misma si conecemos el volumen que ocupa, sin necesidad de medirla directamente; por ejemplo, sabemos que la densidad del corcho es de $257\, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, luego $3$ metros cúbicos de corcho tienen una masa de $3\,\text{m}^3 \cdot 257\, \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 771\, \text{kg}$. $\diamond$

Otra actividad de estudio del despliegue y plegado de un embalaje en forma de prisma recto de base cuadrada

Ideas para diversos usos didácticos de los embalajes de cartón

$\diamond$

Despliegue (desarrollo plano) de un caja de embalaje que tiene forma de prisma recto de base rectangular

Una bonita actividad de medida y cálculo consiste en pedir a los alumnos que midan las magnitudes necesarias para, a continuación, realizar un dibujo en perspectiva del embalaje (montado) y calcular la capacidad, el área de la superficie exterior del mismo, y, también, estimar la masa del conjunto, consultando previamente cuál es la densidad del cartón.

$\diamond$

Número de múltiplos enteros positivos de un cierto número $k$ que son menores o iguales que un número $m$ mayor o igual que $k$

Existe un caso que no merece mucho interés: si $k=m$, el número pedido de múltiplos es sólo uno, que es el propio $k$ (que a su vez es igual a $m$). Ocupémonos a continuación del resto de casos, que son los interesantes.

Trabajaremos con los números enteros positivos. Empecemos experimentando un poco. Para ello, hablemos de números que sean múltiplos, pongamos que de $3$ (sin pérdida de generalidad, como veremos, si considerásemos múltiplos de otro número distinto) y menores que un cierto número (mayor o igual que $3$, claro). Empecemos con un caso muy sencillito, para el que podamos hacer un recuento del número de múltiplos que encontremos (primero los encontraremos y después contaremos cuántos hay): pongamos que queremos determinar el número de divisores enteros positivos múltiplos de $3$, menores o iguales que $7$. No hace falta esforzarnos mucho: son los siguientes $3$ y $6$ (no hay más); en efecto, los dos números son múltiplos de $3$, pues la división entera (euclídea) de cada uno de ellos entre $3$ da resto igual a $0$, y ambos son menores que $7$, por tanto el número pedido de múltiplos de $3$ menores que $7$ es dos.

Parece que no vaya a haber ninguna dificultad si lo queremos hacer con otros valores; sin embargo, veamos que esto no es así. Responder a una pregunta de este estilo, y hacerlo de esta manera (encontrando todos los múltiplos y haciendo, después, un recuento de los mismos), es trabajoso si el número dado (del que no podemos pasar) es relativamente grande (no como el el tope igual a $7$, que es pequeño). Pogamos, por ejemplo, que dicho número sea $1036$. ¿A que ya no resulta tan fácil, ahora? Encontrar los múltiplos (para contarlos después uno a uno) es posible, pero es costoso. Es pues bien claro que tendremos que encontrar un procedimiento más corto, más elegante, y por tanto, un procedimiento eficiente. Veamos cuál puede ser.

En el primer caso expuesto (para contar el número de múltiples de $3$ menores que $7$), démonos cuenta, desde otro punto de vista, de que son dos (los que hemos encontrado) porque, al hacer la división entera (euclídea) entre la diferencia de $7$ (el mayor) y $3$ (el de partida) —que es igual a $4$— entre $3$, obtenemos el número de saltos de longitud $3$ que tenemos que dar partiendo del más pequeño, $3$, para acercarnos lo más posible al número tope, $7$. En este caso tan sencillo, es claro que hay un sólo salto (el cociente de la división euclídea entre $4$ y $3$ es $1$), con lo que habrá dos números múltiplos de $3$, el del principio (del salto) y el del final del mismo (que es $6$); esto es, una unidad más que el número de saltos que hemos tenido que dar.

Por tanto, en un caso general, debermos sumar una unidad al número de saltos para obtener el número de múltiplos pedido que sea menor (o igual) que el número dado.

Este número de saltos podemos obtenerlos de manera directa sirviéndonos de nuestra vieja amiga la división euclídea (división con números enteros), pues, como hemos visto, es igual al cociente de dicha división. Así pues, en general, el número de múltiplos de $\ell$ menores o iguales que $m$ (siendo $\ell \le m$) es igual al cociente de la división euclídea, esto es $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}\left((m-k) \div k\right)+1$$

Podemos pues responder ya a la segunda pregunta: hay $346$ múltiplos de $3$ menores que $1036$. En efecto, al ser el cociente de la división $(1\,036-3) \div 3$ (número de saltos de longitud $3$ que hay que dar partiendo del $3$ hasta acercarnos tanto como podamos a $1036$) igual a $344$, luego el número de múltiplos de $3$ menores o iguales que $1036$ (en este caso, serán menores, por no ser el propio $1036$ un múltiplo de $3$) es $344+1=345$.

Otro ejemplo: ¿cuántos múltiplos de $11$ menores que $2\,129$ hay? Ahora ya es muy fácil responder a prenguntas de este estilo: como el número de saltos de longitud $11$ entre el propio $11$ (que es el múltiplo de $11$ más pequeño) y $2\,129$ es igual al cociente de la división euclídea $(2\,129-11) \div 11$, que es $192$, entonces el número pedido de múltiplos (de $11$) menores que $2\,129$ es $192+1=193$.

Si nos fijamos bien en lo que hemos hecho, vemos que existe una variante aún más directa: al dividir (división euclídea) el número tope entre el número de multiplicidad, el cociente nos da, sin más, el número de múltiplos pedido, esto es: $$\text{número de múltiplos de}\,\,k\,\,\text{menores o iguales que}\,\,m\,\,=\text{cociente}(m\div k)$$

*** Comentario: Otra manera de expresar esto es mediante lo que llamamos parte entera de un número decimal, esto es, el caso que nos ocupa: el número entero menor más y más próximo al resultado (en principio, decimal) de la división decimal $m/k$, y lo denotamos de la forma $\text{Ent}(m/k)$ o, también, así: $\left[m/k\right]$.
*** Así, por ejemplo, para los tres casos expuestos:

• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $7$ es $\text{cociente}(7\div 3)=2$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(7/3)=\text{Ent}(2.5)=2$.
• El número de múltiplos de $3$ menores (o iguales) que $1\,036$ es $\text{cociente}(1\,036 \div 3)=345$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(1036/3)=\text{Ent}(345.3333\ldots)=345$
• El número de múltiplos de $11$ menores (o iguales) que $2\,129$ es $\text{cociente}(2\,129 \div 11)=193$; o lo que es lo mismo: $\text{Ent}(2129/11)=\text{Ent}(193.545454\ldots)=193$
• ...

$\diamond$

De lluvias y aljibes

Estaba el otro día pensando en aljibes —un aljibe es un depósito de agua tradicionalmente destinado a recoger el agua de la lluvia—, y me preguntaba por la cantidad de agua que se podría recoger de la lluvia torrencial que cayó hace pocos días (con intensidad constante) durante $90\,\text{min}$, y que según los datos registrados tuvo una intensidad de $70$ milímetros por metro cuadrado. Pensaba en concreto en un aljibe que tenía forma de prisma recto de base rectangular de $20\,\text{m}^2$ y $1\,\text{m}$ de profundidad.

Recordemos que la precipitación se mide en milímetros de agua, o litros caídos por unidad de superficie (metro cuadrado) durante $1$ hora; es decir, se expresa de esta manera la altura de la lámina de agua recogida en una superficie plana en milímetros (por metro cuadrado) en una hora. Obsérvese por tanto que $1$ milímetro de agua de lluvia precipitada por metro cuadrado equivale a $1$ litro de agua (por metro cuadrado). En efecto, basta considerar un cuadrado de $1$ metro cuadrado de área, como base de un cubo de $1$ metro de arista, teniendo por tanto dicho cubo imaginario un volumen de $1\,\text{m}^3=1\,000\,\text{dm}^3$; así, si el agua de la lluvia lo llenase por completo, recogeríamos $1\,000\,\text{L}$, de agua, ya que $1\,\text{L}$ (capacidad) equivale a $1\,\text{dm}^3$ de volumen continente. Por consiguiente, al decir que ha caído $1\,\text{mm}$ de precipitación, nos referimos a una cantidad de lluvia de una milésima parte de $1\,000\,\text{L}$, esto es, por cada milímetro de grosor de la lámina de agua de lluvia se puede almacenar $1\,\text{L}$ de agua.

Así pues, según los datos de la precipación en cuestión, y teniendo en cuenta que $90\,\text{min}=1,5\,\text{h}$, y que por tanto cayeron $1,5\cdot 70\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}=105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}$ en ese tiempo, al tener el aljibe un área rectangular abierta $20\,\text{m}^2$, se pudieron almacenar $105\,\dfrac{\text{L}}{\text{m}^2}\cdot 20\,\text{m}^2=2\,100\,\text{L}$. $\diamond$

-oOo- Para saber más acerca de las lluvias:
  [1] AEMET, Resumen del registro de precipitaciones en España (6/10/2022)
      [https://www.aemet.es/es/serviciosclimaticos/vigilancia_clima/resumen_precipitaciones].

Un sencillo programa con Scratch sobre la divisibilidad de números enteros

Te sugiero que crees una cuenta de usuario en Scratch [https://scratch.mit.edu/] (es gratuita). Practica y disfruta escribiendo programas; para empezar, que sean sencillos. Es una herramienta más para aprender matemáticas.

Aquí tienes un sencillo ejemplo sobre divisibilidad (números enteros). Anímate a reproducirlo y a escribir tus propios programas.

$\diamond$