Un breve tutorial sobre cómo subir archivos de GeoGebra con vuestras sesiones de trabajo al Aula Virtual

Un problema con fracciones

ENUNCIADO. Pilar está leyendo un libro. El primer día leyó 2/7 del libro; el segundo, la mitad de lo que le quedaba, y el tercero 3/5 del resto. Le faltan aún 70 páginas. ¿ Cuántas páginas tiene el libro ?.

SOLUCIÓN.
Fracción del libro que ha leído el primer día: $\dfrac{2}{7}$
Fracción del libro que ha leído el segundo día: $\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{7}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{14}$
Fracción del libro que ha leído durante los dos primeros días: $\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{9}{14}$
-oOo-Fracción del libro que ha leído el tercer día: $\dfrac{3}{5}\cdot \left( 1- \dfrac{9}{14}\right)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{14}=\dfrac{3}{14}$
Fracción del libro que ha leído durante los tres primeros días: $\dfrac{9}{14}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}$
-oOo-Fracción del libro que aún no ha leído después del tercer día: $1-\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{7}$-oOo-Entonces, si $70$ páginas es una séptima parte del libro, el libro entero tendrá siete veces ese número de páginas, esto es, $7\cdot 70=490$ páginas.
$\square$

Divisibilidad

ENUNCIADO.
Guillermo tiene un cierto número de bolas: entre $140$ i $150$ bolas. Cuando las coloca en grupos de ocho, le queda una sin agrupar, y lo mismo sucede si las coloca en grupos de 9 y de 12. ¿ Cuál es el número exacto de bolas que tiene ?.
SOLUCIÓN.
El número de bolas tiene que ser igual a un múltiplo común de $8$, $9$ y $12$ más una unidad, para que se cumpla que el resto de las divisiones de dicho número entre los respectivos divisores sea igual a $1$. El múltiplo común más pequeño de $8$, $9$ y $12$ es $\text{m.c.m}(8,9,2)=2^3 \cdot 3^2=72$, que es menor que $140$; si lo multiplicamos por $2$ obtendremos el múltiplo común consecutivo a $72$, que es $144$, que sí esta comprendido entre $140$ i $150$. Por tanto, el número exacto de bolas que tiene Guillermo es igual a $144+1=145$.
$\square$

Otro ejercicio de divisibilidad

ENUNCIADO. En una biblioteca hay un número de libros comprendido entre $240$ y $250$. Si los apilamos de cinco en cinco, quedan $3$ por apilar; y, si los apilamos de cuatro en cuatro, quedan $2$ por apilar. ¿ Cuál es el número de libros que hay en esa biblioteca ?

SOLUCIÓN. El número más entero positivo más pequeño que cumple las condiciones de los restos es $18$ ( el resto de la división de $18$ entre $5$ es $3$, y el de la división de $18$ entre $4$ es $2$ ); en efecto, probando números consecutivos y organizando los resultados en una tabla:

   n     | resto de (n div 5) | resto de ( n div 4 )
----------------------------------------------------------
   5     |         0          |          1
----------------------------------------------------------
   6     |         1          |          2
----------------------------------------------------------
   7     |         2          |          3
----------------------------------------------------------
   8     |         3          |          0
----------------------------------------------------------
   9     |         4          |          1
----------------------------------------------------------
  10     |         0          |          2
----------------------------------------------------------
  11     |         1          |          3
----------------------------------------------------------
  12     |         2          |          0
----------------------------------------------------------
  13     |         3          |          1
----------------------------------------------------------
  14     |         4          |          2
----------------------------------------------------------
  15     |         0          |          3
----------------------------------------------------------
  16     |         1          |          0
----------------------------------------------------------
  17     |         2          |          1
----------------------------------------------------------
  18     |         3          |          2
----------------------------------------------------------
...

Como $18$ es menor que $240$ ( y por supuesto menor que $250$ ) es claro que no es esa la solución al problema, pero sí está relacionada con ese número. Debemos encontrar otro número que sea mayor que $240$ y menor que $250$ que al ser dividido por $5$ y por $4$ también tenga restos $3$ y $2$, respectivamente. El mínimo común múltiplo de $18-3$ y de $18-2$ es $240$, esto es, el resto de las divisiones $240 \div 5$ y $240 \div 4$ es $0$, luego el resto de la división de $240+18$ entre $5$ es $3$, y el resto de la división de $240+18$ entre $4$ es $2$, lo que cumple las condiciones del enunciado. En consecuencia podemos afirmar que en la biblioteca hay exactamente $258$ libros.
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Un problema de divisibilidad

ENUNCIADO. Los alumnos de una clase se colocan en filas. Si en cada fila hay 3 alumnos, quedan 2 sin colocar. En cambio, si en cada fila se colocan 4 alumnos, solamente queda 1 alumno sin colocar. Se pide:
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?

SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que $4$. Probemos números mayores: veamos si $5$ cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división $5\div 3$ es $2$, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división $5 \div 4$ es $1$, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es $5$.

b) Como el resto de la división $5\div 3$ es $2$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-2) \div 3$ es $0$, y, como el resto de la división $5\div 4$ es $1$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-1) \div 4$ es $0$.

Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que $5$ y menores que $30$ ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por $3$ y por $4$ de los mismos sean respectivamente $2$ y $1$ -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de $3$ y $4$ ( que es $12$ ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.

Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de $12$ entre $3$ es $0$ y el resto de la división $12$ entre $4$ es $0$, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser $2$ y $1$, y no $0$; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente $12+5$ y $12\cdot 2 +5$, es decir, $17$ y $29$ ( los múltiplos de $12$ más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de $30$ alumnos, sería $12 \cdot 3 +5 = 41$].

Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, $17$ y $29$ ( menores que $30$ ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de $17$ entre $3$ es $2$, y el resto de la división de $29$ entre $4$ es $1$.

$\square$

Reglas de los signos para la multiplicación de números enteros

Consideremos $m$ y $n$ dos números enteros positivos cualesquiera.

Entonces, por la definición del opuesto de un número entero, se tiene que $-m\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(m)\prec 0$ y $-n\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(n)\prec 0$. Entonces, podemos decir que:

P1.
  $m \cdot n \succ 0$

P2.
  $(-m) \cdot n = (-1 \cdot m)\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot n) = - (m\cdot n) = \text{opuesto}(m \cdot n) \prec 0$
y, por lo mismo, $m \cdot (-n) \prec 0$

Nota: otra forma de demostrar que $(-m) \cdot n \succ 0$ es la siguiente, como $(-m) \cdot n=(-m)+(-m)+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(-m)\prec 0$ y, de la misma manera, $m \cdot (-n) \succ 0$ puesto que $m \cdot (-n)=(-n)+(-n)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-n)\prec 0$

P3.
  $(-m) \cdot (-n) = (-1 \cdot m)\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot (-n)) =$
      $= - (m\cdot (-n) \overset{\text{P2}}{=} \text{opuesto}(m \cdot (-n)) \succ 0$
$\square$

Observación 1: Se ha omitido el que $m$ o $n$ sean $0$, pues en tal caso, $m\cdot n = (-m)\cdot n = (-m)\cdot (-n)=0$

Observación 2: Es fácil ver que estas reglas de los signos para la multiplicación son también válidas para la división
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A propósito de relojes: una frase alegórica en la que aparece un reloj

Consideremos la siguiente afirmación: Dado un reloj analógico (de los de agujas) cuyo mecanismo esté parado, con las agujas en cualquier posición, éstas señalan la hora correcta dos veces al día. ¿Es eso cierto eso? Desde luego que sí, pues la hora señalada por la posición de las agujas del reloj coincidirá, en un período de 24 horas, con la hora correcta dos veces al día: una primera vez entre el mediodía y las doce de la noche, y, una segunda vez entre las doce de la noche y el mediodía del día siguiente; y, así, eternamente. Desde luego, es una trivialidad. Y, por supuesto, sobra decir que el reloj parado ya no sirve para medir el paso del tiempo; es decir, ya no es tal "reloj", lo cual ha dado pie a fraguar esta frase, utilizada como alegoría para hacer hincapié en la falsedad de supuestos logros que inadvertidamente pudieran pasar por novedosos, careciendo éstos sin embargo del menor interés y no aportando nada en realidad.
$\square$

Un problema con dos relojes

ENUNCIADO. Un reloj de péndulo A está mal calibrado (la longitud de su péndulo no es la adecuada), de tal manera que en el transcurso de un día, su aguja ha señalado $26$ marcas horarias exactamente. En un cierto instante, por la mañana, cuando dicho reloj A marca las 11:00 horas, otro reloj de péndulo B, que sí está bien calibrado ( su aguja horaria recorre $24$ marcas horarias en un día ) también señala la misma hora: las 11:00 horas (de la mañana). ¿Cuánto tiempo ha de pasar -- medido por el reloj B -- para que la hora que da el reloj A vuelva a coincidir por primera vez con la que da el reloj B?

SOLUCIÓN. La cantidad de tiempo que transcurrirá (según el reloj bien calibrado, B) ha de ser un múltiplo común de $24$ y $26$, y como nos interesamos por la primera vez que vuelve a coincidir la posición de las agujas de sendos relojes, dicha cantidad de tiempo deberá ser el múltiplo común más pequeño de dichos números, es decir, el mínimo común múltiplo de $24$ y $26$. Como $26=2\cdot 13$ y $24=2^3\cdot 3$, vemos que $\text{m.c.m}(26,24)=2^3 \cdot 3 \cdot 13 = 312$ horas; es decir, al cabo de $13$ días los dos relojes apuntaran por igual, otra vez, a las once horas (de la mañana).
$\square$

Ejemplo de aplicación del algoritmo de multiplicación egipcio

A modo de ejemplo, vamos a calcular el producto $45\cdot 98$, para ello confeccionaremos una tabla con dos columnas; en la primera escribiremos las sucesivas potencias de $2$ ( empezando por $2^0=1$) y en la segunda la sucesión geométrica de razón $2$ cuyo primer término sea el segundo factor:

1  |   98
 2  |  196
 4  |  392
 8  |  784
16  | 1568
32  | 3136
.   |   .
.   |   .
.   |   .

A continuación, expresaremos el primer factor como suma de potencias de base $2$ ( los números de la primera columna ) y seleccionaremos las filas en las que se encuentran. Sumando, finalmente, los números de la segunda columna que estén en esas mismas filas, llegando así al resultado de la multiplicación pedida.

Para saber qué números de la primera columna intervienen como sumandos del número $45$ ( siendo éstos potencias de base $2$ ) escribiremos $45$ en la base de numeración $2$ ( binaria ), dividiendo sucesivamente por $2$ el número y los cocientes que se van obteniendo hasta llegar a una división con resto $0$; los números así obtenidos, incluyendo el cociente de la última división, y dispuestos en orden, comenzando con el cociente de la última división y acabando con el resto de la primera, son los coeficientes del desarrollo en serie de $45$ en suma de términos de potencias de base $2$, esto es,
$45_{(10)}=101101_{(2)}$, luego
$45=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+0\cdot 2^4+1\cdot 2^5$
            $=1+4+8+32$

Así pues, seleccionando los números de la segunda columna con los que se emparejan:

 1  |   98 | x
 2  |  196 |
 4  |  392 | x
 8  |  784 | x
16  | 1568 |
32  | 3136 | x

obtenemos, como resultado de la multiplicación pedida el siguiente resultado: $$98+392+784+3136 = 4410$$
$\square$

Expresando un número entero no negativo como suma de potencias de base 2

ENUNCIADO. Expresar el número $493$ como una suma de potencias de base $2$

SOLUCIÓN. $496_{(10)}=11101101_{(2)}$, luego
$493=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2+1\cdot 2^3+0\cdot 2^4+1\cdot 2^5+1\cdot 2^6+1\cdot 2^7+1\cdot 2^8$
            $=1+0+4+8+0+32+64+128+256$

$\square$

Algoritmo de la multiplicación rusa. Un ejemplo

Realícese la multiplicación $45\cdot 98$ empleando el algoritmo 'ruso'

procedimiento multiplicación_rusa(a,b)
inicio
{
 i:=1;
 a_i:=a;
 b_i:=b;
 p:=0;
 mientras a_i!=1 hacer
  {
   i:=i+1;
   a_i:=entero_por_defecto(a_i/2);
   b_i:=2·b_i
   si resto(a_i div 2 ) != 0, p:=p+b_i
  }
 escribir('a·b=',p);
}
fin

Ejemplo de implementación:

% multiplicación_rusa(45,98)
salida:
->  45·98=4410

Proceso paso a paso:

------------------------------------------------------------------
  i  |  a_i    | ¿ a_i es impar ?   |   b_i   |  si a_i es impar
     |         |                    |         |   acumula suma de
     |         |                    |         |   b_i  
------------------------------------------------------------------
  1  |  45     |      sí            |    98   |       98
------------------------------------------------------------------
  2  |  22     |      no            |   196   |       98
------------------------------------------------------------------
  3  |  11     |      sí            |   392   |   98+392=490
------------------------------------------------------------------
  4  |   5     |      sí            |   784   |  490+784=1274
------------------------------------------------------------------
  5  |   2     |      no            |  1568   |      1274
------------------------------------------------------------------
  6  |   1     |      sí            |  3136   | 1274+3136=4410
------------------------------------------------------------------

$\square$

Ejemplo de aplicación del algoritmo japonés de multiplicación en una imagen

El algoritmo de la multiplicación hindú en una image

Un ejemplo de código de detección de error: la letra del NIF

Habréis reparado en el último símbolo del NIF, que, a excepción de los ocho números a su izquierda, es una letra. Ésta responde a una asociación del resto de dividir el número de ocho cifras entre $23$ y sirve para comprobar que no se ha producido ningún error al facilitar el documento en una operación administrativa; si la letra facilitada junto con las ocho cifras no coincidiese con la que debe ser según la que le corresponde de acuerdo al resto ( por haber dado mal una de las cifras), sin duda se pondria de manifiesto el error, al obtener una letra distinta a la consignada. Las letras asociadas a los distintos restos son las siguientes:

-----------
Resto|Letra
-----------
  0  |  T 
  1  |  R
  2  |  W
  3  |  A 
  4  |  G 
  5  |  M 
  6  |  Y
  7  |  F 
  8  |  P 
  9  |  D 
 10  |  X 
 11  |  B 
 12  |  N
 13  |  J 
 14  |  Z
 15  |  S
 16  |  Q
 17  |  V
 18  |  H
 19  |  L
 20  |  C
 21  |  K
 22  |  E 

Así por ejemplo el NIF 789 260 31 J es correcto, pues el resto de la división $789 260 31 \div 23$ es $13$ y, según la tabla, la letra asociada es, efectivamente, la J; sin embargo, el 671 943 11 Q sería incorrecto ya que $671 943 11 \div 23$ es $18$, luego, de acuerdo con la tabla, no le corresponde la letra Q sino la H.
$\square$

Demostración china del teorema de Pitágoras

La demostración que vamos a ver parece ser que proviene de China, y es anterior a la demostración que aparece en los Elementos de Euclides. En su versión original se trataria de recomponer en cuadrado en cuatro triángulos rectángulos iguales y un cuadrado más pequeño, a la usanza del clásico juego del Tangram. Sea un triángulo rectángulo, como el de la figura 3. Vamos a justificar que la longitud de la hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, esto es, y tal como se han designado los lados del triángulo rectángulo, se tiene que $$a^2=b^2+c^2 \quad \quad (1)$$

Veamos la razón de ésto. Fijémonos en la figura 1. El lado del cuadrado mayor, tiene una longitud igual a $b+c$, luego su área es igual a $(b+c)^2$; ahora bien, como este cuadrado se descompone en un cuadrado cuyo lado tiene longitud $a$ y cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos, de longitudes respectivas $b$ y $c$, podemos escribir que $$(b+c)^2=a^2+4\cdot \dfrac{b\,c}{2}$$

Fijémonos ahora en la figura 2. Se trata del mismo cuadrado cuyo lado tiene longitud $b+c$; sin embargo, vemos ahora otra descomposición del mismo en dos cuadrados y dos rectángulos iguales, así pues $$(b+c)^2=b^2+c^2+2\, b\,c$$ que es el primer miembro de (1), luego se desprende de ellos que $$b^2+c^2+2\, b\,c= a^2+4\cdot \dfrac{b\,c}{2}$$ esto es $$b^2+c^2+2\, b\,c= a^2+2\,b\,c$$ y simplificando, llegamos a $$b^2+c^2=a^2$$ , como queríamos demostrar. Ésta es la relación que liga los dos catetos con la hipotenusa de la figura 3.

Ejemplo de aplicación del teorema de Pitágoras.
ENUNCIADO. Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $8$ decímetros, respectivamente. ¿ Calcúlese la longitud de la hipotenusa ?
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la longitud de la hipotenusa, que queremos calcular. Según lo que acabamos de justificar, podemos escribir que $x^2=6^2+8^2$, esto es $x^2=36+64$, y por tanto $x^2=100$. Y como $100=10\cdot 10$, se desprende de ello que $x=10$ decímetros.

Observación 1. Toda terna de números enteros positivos no nulos $(a,b,c)$, con la que se cumpla el teorema de Pitágoras, se dice que es una terna pitagórica. Otra terna pitagóricas es $(3,4,5)$, ¿ te animas a buscar más ? ¿ cuántas habrá ?.

Observación 2. Los antiguos egipcios utilizaban cuerdas con nudos consecutivos equidistantes para escuadrar dos rectas en las parcelaciones y construcciones; para ello, les bastaba con seleccionar una terna pitagórica con los números de espacios entre nudos consecutivos de la cuerda, por ejemplo escogiendo un conjunto de $3$, $4$ y $5$ espacios entre nudos ( consecutivos y equidistantes ).

$\square$

Cálculo del tanto por ciento de descuento a partir de la cantidad a pagar y del precio original del artículo ( rebajado )

Cálculo de la tasa de variación