Consideremos $m$ y $n$ dos números enteros positivos cualesquiera.
Entonces, por la definición del opuesto de un número entero, se tiene que $-m\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(m)\prec 0$ y $-n\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(n)\prec 0$. Entonces, podemos decir que:
P1.
$m \cdot n \succ 0$
P2.
$(-m) \cdot n = (-1 \cdot m)\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot n) = - (m\cdot n) = \text{opuesto}(m \cdot n) \prec 0 $
y, por lo mismo, $m \cdot (-n) \prec 0$
Nota: otra forma de demostrar que $(-m) \cdot n \succ 0$ es la siguiente, como $(-m) \cdot n=(-m)+(-m)+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(-m)\prec 0$ y, de la misma manera, $m \cdot (-n) \succ 0$ puesto que $m \cdot (-n)=(-n)+(-n)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-n)\prec 0$
P3.
$(-m) \cdot (-n) = (-1 \cdot m)\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot (-n)) =$
$= - (m\cdot (-n) \overset{\text{P2}}{=} \text{opuesto}(m \cdot (-n)) \succ 0 $
$\square$
Observación 1: Se ha omitido el que $m$ o $n$ sean $0$, pues en tal caso, $m\cdot n = (-m)\cdot n = (-m)\cdot (-n)=0$
Observación 2: Es fácil ver que estas reglas de los signos para la multiplicación son también válidas para la división
$\square$
