jueves, 18 de octubre de 2018

Otro ejercicio de divisibilidad

ENUNCIADO. En una biblioteca hay un número de libros comprendido entre $240$ y $250$. Si los apilamos de cinco en cinco, quedan $3$ por apilar; y, si los apilamos de cuatro en cuatro, quedan $2$ por apilar. ¿ Cuál es el número de libros que hay en esa biblioteca ?

SOLUCIÓN. El número más entero positivo más pequeño que cumple las condiciones de los restos es $18$ ( el resto de la división de $18$ entre $5$ es $3$, y el de la división de $18$ entre $4$ es $2$ ); en efecto, probando números consecutivos y organizando los resultados en una tabla:
   n     | resto de (n div 5) | resto de ( n div 4 )
----------------------------------------------------------
   5     |         0          |          1
----------------------------------------------------------
   6     |         1          |          2
----------------------------------------------------------
   7     |         2          |          3
----------------------------------------------------------
   8     |         3          |          0
----------------------------------------------------------
   9     |         4          |          1
----------------------------------------------------------
  10     |         0          |          2
----------------------------------------------------------
  11     |         1          |          3
----------------------------------------------------------
  12     |         2          |          0
----------------------------------------------------------
  13     |         3          |          1
----------------------------------------------------------
  14     |         4          |          2
----------------------------------------------------------
  15     |         0          |          3
----------------------------------------------------------
  16     |         1          |          0
----------------------------------------------------------
  17     |         2          |          1
----------------------------------------------------------
  18     |         3          |          2
----------------------------------------------------------
...
Como $18$ es menor que $240$ ( y por supuesto menor que $250$ ) es claro que no es esa la solución al problema, pero sí está relacionada con ese número. Debemos encontrar otro número que sea mayor que $240$ y menor que $250$ que al ser dividido por $5$ y por $4$ también tenga restos $3$ y $2$, respectivamente. El mínimo común múltiplo de $18-3$ y de $18-2$ es $240$, esto es, el resto de las divisiones $240 \div 5$ y $240 \div 4$ es $0$, luego el resto de la división de $240+18$ entre $5$ es $3$, y el resto de la división de $240+18$ entre $4$ es $2$, lo que cumple las condiciones del enunciado. En consecuencia podemos afirmar que en la biblioteca hay exactamente $258$ libros.
$\square$