ENUNCIADO. Los alumnos de una clase se colocan en filas. Si en cada fila hay 3 alumnos, quedan 2 sin colocar. En cambio, si en cada fila se colocan 4 alumnos, solamente queda 1 alumno sin colocar. Se pide:
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?
SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que 4. Probemos números mayores: veamos si 5 cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división 5\div 3 es 2, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división 5 \div 4 es 1, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es 5.
b) Como el resto de la división 5\div 3 es 2, entonces es evidente que el resto de la división (5-2) \div 3 es 0, y, como el resto de la división 5\div 4 es 1, entonces es evidente que el resto de la división (5-1) \div 4 es 0.
Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que 5 y menores que 30 ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por 3 y por 4 de los mismos sean respectivamente 2 y 1 -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de 3 y 4 ( que es 12 ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.
Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de 12 entre 3 es 0 y el resto de la división 12 entre 4 es 0, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser 2 y 1, y no 0; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente 12+5 y 12\cdot 2 +5, es decir, 17 y 29 ( los múltiplos de 12 más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de 30 alumnos, sería 12 \cdot 3 +5 = 41].
Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, 17 y 29 ( menores que 30 ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de 17 entre 3 es 2, y el resto de la división de 29 entre 4 es 1.
\square
