ENUNCIADO. Los alumnos de una clase se colocan en filas. Si en cada fila hay 3 alumnos, quedan 2 sin colocar. En cambio, si en cada fila se colocan 4 alumnos, solamente queda 1 alumno sin colocar. Se pide:
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?
SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que $4$. Probemos números mayores: veamos si $5$ cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división $5\div 3$ es $2$, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división $5 \div 4$ es $1$, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es $5$.
b) Como el resto de la división $5\div 3$ es $2$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-2) \div 3$ es $0$, y, como el resto de la división $5\div 4$ es $1$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-1) \div 4$ es $0$.
Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que $5$ y menores que $30$ ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por $3$ y por $4$ de los mismos sean respectivamente $2$ y $1$ -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de $3$ y $4$ ( que es $12$ ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.
Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de $12$ entre $3$ es $0$ y el resto de la división $12$ entre $4$ es $0$, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser $2$ y $1$, y no $0$; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente $12+5$ y $12\cdot 2 +5$, es decir, $17$ y $29$ ( los múltiplos de $12$ más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de $30$ alumnos, sería $12 \cdot 3 +5 = 41$].
Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, $17$ y $29$ ( menores que $30$ ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de $17$ entre $3$ es $2$, y el resto de la división de $29$ entre $4$ es $1$.
$\square$
