Veamos la razón de ésto. Fijémonos en la figura 1. El lado del cuadrado mayor, tiene una longitud igual a $b+c$, luego su área es igual a $(b+c)^2$; ahora bien, como este cuadrado se descompone en un cuadrado cuyo lado tiene longitud $a$ y cuatro triángulos rectángulos iguales de catetos, de longitudes respectivas $b$ y $c$, podemos escribir que $$(b+c)^2=a^2+4\cdot \dfrac{b\,c}{2}$$
Fijémonos ahora en la figura 2. Se trata del mismo cuadrado cuyo lado tiene longitud $b+c$; sin embargo, vemos ahora otra descomposición del mismo en dos cuadrados y dos rectángulos iguales, así pues $$(b+c)^2=b^2+c^2+2\, b\,c$$ que es el primer miembro de (1), luego se desprende de ellos que $$b^2+c^2+2\, b\,c= a^2+4\cdot \dfrac{b\,c}{2}$$ esto es $$b^2+c^2+2\, b\,c= a^2+2\,b\,c$$ y simplificando, llegamos a $$b^2+c^2=a^2$$, como queríamos demostrar. Ésta es la relación que liga los dos catetos con la hipotenusa de la figura 3.
Ejemplo de aplicación del teorema de Pitágoras.
ENUNCIADO. Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6$ y $8$ decímetros, respectivamente. ¿ Calcúlese la longitud de la hipotenusa ?
SOLUCIÓN. Llamemos $x$ a la longitud de la hipotenusa, que queremos calcular. Según lo que acabamos de justificar, podemos escribir que $x^2=6^2+8^2$, esto es $x^2=36+64$, y por tanto $x^2=100$. Y como $100=10\cdot 10$, se desprende de ello que $x=10$ decímetros.
Observación 1. Toda terna de números enteros positivos no nulos $(a,b,c)$, con la que se cumpla el teorema de Pitágoras, se dice que es una terna pitagórica. Otra terna pitagóricas es $(3,4,5)$, ¿ te animas a buscar más ? ¿ cuántas habrá ?.
Observación 2. Los antiguos egipcios utilizaban cuerdas con nudos consecutivos equidistantes para escuadrar dos rectas en las parcelaciones y construcciones; para ello, les bastaba con seleccionar una terna pitagórica con los números de espacios entre nudos consecutivos de la cuerda, por ejemplo escogiendo un conjunto de $3$, $4$ y $5$ espacios entre nudos ( consecutivos y equidistantes ).
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