lunes, 8 de mayo de 2017
Proporciones y ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Resolver la siguiente proporción: $$\dfrac{2}{x}=\dfrac{16}{8}$$
SOLUCIÓN.
Observemos que $\dfrac{16}{8}=2$, luego la ecuación pedida equivale a
$$\dfrac{2}{x}=2$$ y por tanto se cumple que $2\,x=2$, luego $x=1$
$\square$
SOLUCIÓN.
Observemos que $\dfrac{16}{8}=2$, luego la ecuación pedida equivale a
$$\dfrac{2}{x}=2$$ y por tanto se cumple que $2\,x=2$, luego $x=1$
$\square$
Descuentos
ENUNCIADO. El precio de un cuaderno ( IVA incluido ) que queremos comprar es de $4,00$ euros. El vendedor nos hace un $5\,\%$ de descuento por la compra del mismo. ¿ Cuánto tendremos que pagar ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad a pagar. Para calcular su valor, debemos plantear una proporción directa: $$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{4,00} \quad \quad (1)$$ en la que igualamos las razones aritméticas ("tanto a pagar con respecto al coste"): $\dfrac{100-4}{100}$ y $\dfrac{x}{4,00}$. Así pues, despejando $x$ de (1) se obtiene $$x=4,00\cdot \dfrac{100-4}{100}$$ esto es $$x=4,00\cdot \dfrac{96}{100}$$ y por tanto $$x=\dfrac{4,00\cdot 96}{100}=\dfrac{380}{100}=3,80\;\text{euros}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ la cantidad a pagar. Para calcular su valor, debemos plantear una proporción directa: $$\dfrac{100-4}{100}=\dfrac{x}{4,00} \quad \quad (1)$$ en la que igualamos las razones aritméticas ("tanto a pagar con respecto al coste"): $\dfrac{100-4}{100}$ y $\dfrac{x}{4,00}$. Así pues, despejando $x$ de (1) se obtiene $$x=4,00\cdot \dfrac{100-4}{100}$$ esto es $$x=4,00\cdot \dfrac{96}{100}$$ y por tanto $$x=\dfrac{4,00\cdot 96}{100}=\dfrac{380}{100}=3,80\;\text{euros}$$
$\square$
Resolviendo ecuaciones
ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación: $$2\cdot(6-2x)=4\cdot(1+x)$$
SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ ambos miembros de la ecuación se llega a la ecuación equivalente $$6-2x=2\cdot(1+x)$$ Aplicando ahora la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma en el segundo miembro, podemos escribir $$6-2x=2+2\,x$$ Y agrupando en el mismo miembro los términos literales, y en el otro, los términos numéricos ( empleando las reglas de transposición de términos ) nos queda $$6-2=2\,x+2\,x$$ esto es $$4=4\,x$$ de lo cual deducimos que $x$ ha de ser igual a $1$. $\square$
SOLUCIÓN.
Dividiendo por $2$ ambos miembros de la ecuación se llega a la ecuación equivalente $$6-2x=2\cdot(1+x)$$ Aplicando ahora la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma en el segundo miembro, podemos escribir $$6-2x=2+2\,x$$ Y agrupando en el mismo miembro los términos literales, y en el otro, los términos numéricos ( empleando las reglas de transposición de términos ) nos queda $$6-2=2\,x+2\,x$$ esto es $$4=4\,x$$ de lo cual deducimos que $x$ ha de ser igual a $1$. $\square$
Ecuaciones de primer grado
ENUNCIADO. Determinar el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad: $$3-x=x-3$$
SOLUCIÓN.
Una forma de resolverla es la que sigue. La ecuación pedida equivale a $$-(x-3)=x-3$$ Entonces, agrupando en el segundo miembro, podemos escribir la ecuación anterior de la forma $$0=x-3+(x-3)$$ esto es $$2\,(x-3)=0$$ por tanto, como $2\neq 0$, deberá cumplirse que $$x-3=0$$ de lo cual deducimos que $x$ ha de ser igual a $3$. $\square$
SOLUCIÓN.
Una forma de resolverla es la que sigue. La ecuación pedida equivale a $$-(x-3)=x-3$$ Entonces, agrupando en el segundo miembro, podemos escribir la ecuación anterior de la forma $$0=x-3+(x-3)$$ esto es $$2\,(x-3)=0$$ por tanto, como $2\neq 0$, deberá cumplirse que $$x-3=0$$ de lo cual deducimos que $x$ ha de ser igual a $3$. $\square$
Valor numérico de una expresión algebraica
ENUNCIADO. Calcular el valor numérico de la expresión algebraica $(1-2x)^2$ para $x=3$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable $x$ por el valor propuesto, que es $3$, la expresión algebraica $(1-2x)^2$ pasa a ser una expresión numérica $$(1-2\cdot 3)^2$$ cuyo resultado es $(1-6)^2=(-5)^2=-5\cdot (-5)=+25$
$\square$
SOLUCIÓN.
Sustituyendo la variable $x$ por el valor propuesto, que es $3$, la expresión algebraica $(1-2x)^2$ pasa a ser una expresión numérica $$(1-2\cdot 3)^2$$ cuyo resultado es $(1-6)^2=(-5)^2=-5\cdot (-5)=+25$
$\square$
Porcentajes
ENUNCIADO. Un trayecto a pie tiene una longitud de $1\,600$ metros. Hemos recorrido $200$ metros. ¿ Qué fracción del trayecto se ha recorrido ? ¿ Qué tanto por ciento representa ?.
SOLUCIÓN. Si la longitud del camino recorrido es de $200$ metros, puede decirse que se ha completado la siguiente fracción del camino total: $\dfrac{200}{1600}$ que equivale a $\dfrac{1}{8}$. Veamos ahora el tanto por ciento $t$ que ello representa. Para eso, planteamos la siguiente proporción directa $$\dfrac{1}{8}=\dfrac{t}{100}$$ Despejando $t$ se llega a $$t=100\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{100}{8}=\dfrac{25}{2}\,\%=12,5\,\%$$
$\square$
SOLUCIÓN. Si la longitud del camino recorrido es de $200$ metros, puede decirse que se ha completado la siguiente fracción del camino total: $\dfrac{200}{1600}$ que equivale a $\dfrac{1}{8}$. Veamos ahora el tanto por ciento $t$ que ello representa. Para eso, planteamos la siguiente proporción directa $$\dfrac{1}{8}=\dfrac{t}{100}$$ Despejando $t$ se llega a $$t=100\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{100}{8}=\dfrac{25}{2}\,\%=12,5\,\%$$
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Porcentajes
ENUNCIADO. Calcular la cantidad resultante de: el $30\,\%$ de $75$ litros
SOLUCIÓN. Igualando las razones "parte con respecto del total" $\dfrac{30}{100}$ y $\dfrac{x}{75}$ ( donde $x$ representa la cantidad parcial pedida ), se llega a la proporción $$\dfrac{30}{100}=\dfrac{x}{75}$$ que es una ecuación de primer grado con una incógnita. Despejándo $x$, obtenemos $$x=75\cdot \dfrac{30}{100}=\dfrac{75\cdot 30}{100}=\dfrac{2250}{100}=22,5\,\text{litros}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Igualando las razones "parte con respecto del total" $\dfrac{30}{100}$ y $\dfrac{x}{75}$ ( donde $x$ representa la cantidad parcial pedida ), se llega a la proporción $$\dfrac{30}{100}=\dfrac{x}{75}$$ que es una ecuación de primer grado con una incógnita. Despejándo $x$, obtenemos $$x=75\cdot \dfrac{30}{100}=\dfrac{75\cdot 30}{100}=\dfrac{2250}{100}=22,5\,\text{litros}$$
$\square$
Número racional que representa una parte del total
ENUNCIADO. Calcular la fracción resultante de: las dos quintas partes de tres medios
SOLUCIÓN. De manera similar al cálculo con porcentajes, podemos igualar las razones "parte con respecto del total": $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{f}{\frac{3}{2}}$ , donde $f$ representa la fracción pedida; por lo que procede plantear la siguiente proporción directa $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{f}{\frac{3}{2}}$$ Entonces, despejando $f$, llegamos a $$f=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$$
$\square$
SOLUCIÓN. De manera similar al cálculo con porcentajes, podemos igualar las razones "parte con respecto del total": $\dfrac{2}{5}$ y $\dfrac{f}{\frac{3}{2}}$ , donde $f$ representa la fracción pedida; por lo que procede plantear la siguiente proporción directa $$\dfrac{2}{5}=\dfrac{f}{\frac{3}{2}}$$ Entonces, despejando $f$, llegamos a $$f=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$$
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Reduciendo al mínimo común denominador un conjunto de fracciones, para compararlas y ordenarlas de menor a mayor
ENUNCIADO. Reducir al mínimo común denominador las siguientes fracciones y ordenarlas de menor a mayor ( empleando el símbolo $<$ ): $$ \dfrac{5}{3}\,,\,-\dfrac{11}{10}\,,\,\dfrac{6}{5}$$
SOLUCIÓN.
Para comparar las fracciones y, así, ordenarlas de menor a mayor ( ese es el objetivo del ejercicio ), podemos encontrar fracciones equivalentes a cada una de las fracciones dadas que tengan el mismo denominador; hecho ésto, la ordenación de los numeradores dicta la ordenación de las fracciones. Procedemos pues a encontrar esas fracciones equivalentes. Para evitar los números 'grandes', reduciremos al mínimo común denominador ( de los denominadores de las fracciones dadas ), calculando por tanto el mínimo común múltiplo.
Así, $\text{m.c.m.}(3,10,5)=30$. Luego encontramos: $$\dfrac{5}{3}=\dfrac{5\cdot 30\div 3}{30}=\dfrac{5 \cdot 10}{30}=\dfrac{50}{30}$$
$$-\dfrac{11}{10}=\dfrac{(-11)}{10}=\dfrac{(-11)\cdot 30\div 10}{30}=\dfrac{(-11) \cdot 3}{30}=\dfrac{(-33)}{30}$$
$$\dfrac{6}{5}=\dfrac{6\cdot 30\div 5}{30}=\dfrac{6 \cdot 6}{30}=\dfrac{36}{30}$$ Entonces, como $-33 \prec 36 \prec 50$, y tratándose del mismo denominador, $$\dfrac{(-33)}{30} \prec \dfrac{36}{30} \prec \dfrac{50}{30}$$ luego $$\dfrac{(-11)}{10} \prec \dfrac{6}{5} \prec \dfrac{5}{3}$$ esto es $$-\dfrac{11}{10} \prec \dfrac{6}{5} \prec \dfrac{5}{3}$$
$\square$
SOLUCIÓN.
Para comparar las fracciones y, así, ordenarlas de menor a mayor ( ese es el objetivo del ejercicio ), podemos encontrar fracciones equivalentes a cada una de las fracciones dadas que tengan el mismo denominador; hecho ésto, la ordenación de los numeradores dicta la ordenación de las fracciones. Procedemos pues a encontrar esas fracciones equivalentes. Para evitar los números 'grandes', reduciremos al mínimo común denominador ( de los denominadores de las fracciones dadas ), calculando por tanto el mínimo común múltiplo.
Así, $\text{m.c.m.}(3,10,5)=30$. Luego encontramos: $$\dfrac{5}{3}=\dfrac{5\cdot 30\div 3}{30}=\dfrac{5 \cdot 10}{30}=\dfrac{50}{30}$$
$$-\dfrac{11}{10}=\dfrac{(-11)}{10}=\dfrac{(-11)\cdot 30\div 10}{30}=\dfrac{(-11) \cdot 3}{30}=\dfrac{(-33)}{30}$$
$$\dfrac{6}{5}=\dfrac{6\cdot 30\div 5}{30}=\dfrac{6 \cdot 6}{30}=\dfrac{36}{30}$$ Entonces, como $-33 \prec 36 \prec 50$, y tratándose del mismo denominador, $$\dfrac{(-33)}{30} \prec \dfrac{36}{30} \prec \dfrac{50}{30}$$ luego $$\dfrac{(-11)}{10} \prec \dfrac{6}{5} \prec \dfrac{5}{3}$$ esto es $$-\dfrac{11}{10} \prec \dfrac{6}{5} \prec \dfrac{5}{3}$$
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Expresión en forma mixta de una fracción impropia
ENUNCIADO. Expresar en forma mixta la siguiente fracción impropia y decir cuáles son los dos números enteros más próximos entre los que se sitúa en la recta numérica: $$\dfrac{19}{3}$$
SOLUCIÓN. Realizando la división entera $19 \div 3$ encontramos que $19=6\cdot 3 +1$, luego, dividiendo ambos miembros por $3$ llegamos a $$\dfrac{19}{3}=\dfrac{6\cdot 3}{3}+\dfrac{1}{3}$$ y simplificando el primer término del segundo miembro, obtenemos finalmente, $$\dfrac{19}{3}=6+\dfrac{1}{3}$$ con lo cual podemos afirmar que $$6 \prec \dfrac{19}{3} \prec 6+1$$ esto es $$6 \prec \dfrac{19}{3} \prec 7$$
$\square$
SOLUCIÓN. Realizando la división entera $19 \div 3$ encontramos que $19=6\cdot 3 +1$, luego, dividiendo ambos miembros por $3$ llegamos a $$\dfrac{19}{3}=\dfrac{6\cdot 3}{3}+\dfrac{1}{3}$$ y simplificando el primer término del segundo miembro, obtenemos finalmente, $$\dfrac{19}{3}=6+\dfrac{1}{3}$$ con lo cual podemos afirmar que $$6 \prec \dfrac{19}{3} \prec 6+1$$ esto es $$6 \prec \dfrac{19}{3} \prec 7$$
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domingo, 7 de mayo de 2017
Ordenando números racionales
ENUNCIADO. Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones, reduciéndolas previamente a común denominador: $$\dfrac{3}{20} \quad \quad \dfrac{7}{50} \quad \quad \dfrac{13}{100}$$
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Estimando el tiempo necesario para recorrer una cierta distancia (sin disminuir ni aumentar el ritmo de la marcha)
ENUNCIADO. Una excursionista recorre $2$ kilómetros en $45$ minutos (manteniendo el mismo paso y en terreno regular), ¿ cuánto tiempo empleará en recorrer $5$ kilómetros ?
SOLUCIÓN.
SOLUCIÓN.
Ejercicios sencillos de transcripción del lenguaje usual al lenguaje del álgebra
ENUNCIADO. Dados dos números, escribir en el lenguaje del álgebra: El cuadrado de la suma de dichos números
SOLUCIÓN. Designemos por $x$ e $y$ dichos números. La suma de los dos números se escribe como $x+y$. Entonces, la frase en cursiva ( el cuadrado de la suma ) se transcribe así $$(x+y)^2$$
$\square$
SOLUCIÓN. Designemos por $x$ e $y$ dichos números. La suma de los dos números se escribe como $x+y$. Entonces, la frase en cursiva ( el cuadrado de la suma ) se transcribe así $$(x+y)^2$$
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Ecuaciones con una incógnita y de primer grado
ENUNCIADO. Determínese el valor de $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad $$x-2=2-x$$
SOLUCIÓN.
$x-2=2-x$
$x-2+2=2-x+2$
$x+0=-x+2+2$
$x=-x+4$
$x+x=x-x+4$
$2\,x=0+4$
$2\,x=4$
$\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4$
$\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2}$
$1\cdot x=2$
$x=2$
$\square$
SOLUCIÓN.
$x-2=2-x$
$x-2+2=2-x+2$
$x+0=-x+2+2$
$x=-x+4$
$x+x=x-x+4$
$2\,x=0+4$
$2\,x=4$
$\dfrac{1}{2}\cdot 2\,x=\dfrac{1}{2}\cdot 4$
$\dfrac{2}{2}\,x=\dfrac{4}{2}$
$1\cdot x=2$
$x=2$
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