Algoritmo 'ruso' ( o de duplicación y mediación ) para multiplicar dos números naturales

ENUNCIADO. Aplicar el algoritmo ruso de la multiplicación para hallar el producto $p$ de $a=26$ por $b=13$

SOLUCIÓN.
Observemos que desarrollando en serie de potencias de base $2$ el segundo factor, $13$, obtenemos $$13=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ esto es $$13=1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ luego el producto pedido es $$26\cdot 13=26 \cdot (1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3) =26+104+208=338$$ donde, en el último paso hemos empleado la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.

Organizaremos los cálculos de la siguiente forma

--------------------------------
 a=26           b=13    sumandos
--------------------------------
  26             13          
  13   impar     26         26 
   6             52         
   3   impar    104        104
   1   impar    208        208

                          =====
                        suma=338 ---> p

En la primera columna se anotan las mitades sucesivas, partiendo de $a$, y sin considerar el resto (de la división por $2$). En la segunda columna se anota si el número de la misma fila y de la primera columna es impar. En la tercera columna, y partiendo del segundo factor $b$, se van anotando el doble de los números que vamos obteniendo . Finalmente, en la cuarta columna, volvemos a escribir los números de la tercera, siempre que el numero de la primera y de la misma fila sea impar; éstos números son los que sumaremos para obtener $p$.

Así, pues, con la ayuda de dicha tabla, es fácil obtener el producto pedido, sin necesidad de recordar las tablas de multiplicar ( basta saber extraer la mitad ( mediar ), duplicar, y sumar ), así que, de manera muy mecánica, obtenemos $$a \cdot b = 26 \cdot 13 = 338$$

$\square$

Multiplicación de dos números naturales empleando el algoritmo egipcio

ENUNCIADO. Aplicar el algoritmo egipcio de la multiplicación para hallar el producto $p$ de $a=13$ por $b=24$

SOLUCIÓN.
Observemos que desarrollando en serie de potencias de base $2$ el primer factor, $13$, obtenemos $$13=1\cdot 2^0+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ esto es $$13=1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3$$ luego el producto pedido es $$13\cdot 24=(1+0\cdot 2^1+1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^3) \cdot 24=1+4\cdot 24 + 8\cdot 24=1+96+192$$ donde, en el último paso hemos empleado la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.

Organizaremos los cálculos de la siguiente forma

-----------------------------
  1              b=24
-----------------------------
  1        1      24      24    
  2               
  4        4      96      96
  8        8     192     192
        ====            =====
        a=13            p=312

En la primera columna se anotan los números $\{1=2^0,2,4,8,16,32,\ldots\}$. En la segunda, sólo los números de la primera columna que aparecen en el desarrollo en serie de potencias de base $2$ del primer factor, que es $13$ ( démonos cuenta que la suma de estos números ha de ser igual al primer factor, $13$ ). En la tercera columna se van anotando los números $\{24,48,96,192,\ldots\}$ que obtenemos doblando el segundo factor, el doble del doble del segundo factor, y así sucesivamente; tomando solamente los números que se corresponden a los seleccionados en la segunda columna. Finalmente, basta sumar los números de la tercera columna, disponiéndolos para más claridad en la cuarta columna.

Así, pues, con la ayuda de dicha tabla, es fácil obtener el producto pedido, sin necesidad de recordar las tablas de multiplicar ( basta saber sumar y doblar ) y de manera muy mecánica $$a \cdot b = 13 \cdot 24 = 312$$

$\square$

Repartiéndonos las nueces

ENUNCIADO. Hallar el cociente y el resto de la división $7\div 3$

SOLUCIÓN. Imaginemos que queremos repartir $7$ nueces ( dividendo ) entre $3$ personas (divisor ), de manera que a cada una le corresponda la misma cantidad de nueces ( cociente ). Sentemos a las tres personas alrededor de una mesa Si, por turnos, vamos asignando una nuez a cada persona hasta que las tres tengan el mismo número de nueces, veremos que a cada una le habremos dado $2$ nueces; por lo tanto el cociente es $2$. Así que el número de nueces que les habremos dado es $2\cdot 3=6$. Ahora bien, habrá quedado $7-3\cdot 2 = 1$ nuez por distribuir, dicha cantidad de nueces que no podemos repartir ( en este caso sólo una ) es el resto de la división.

Observemos que debe cumplirse que $7=3\cdot 2+1$, esto es, en un caso general podemos decir que el dividendo ha de ser igual al divisor por el cociente más el resto, siendo el resto necesariamente menor que el divisor. Bien, pues eso es lo que afirma el teorema de la división euclídea, para números naturales.

$\square$

Ejercicios resueltos del segundo examen de los temas 1,2 y 3 de 1.º de ESO ( miércoles, 30/11/2016 )

[1|2|3|4|5|6|7]

Cálculo del máximo común divisor de dos números naturales, empleando las restas sucesivas

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $24$ y $18$, empleando el método de las restas sucesivas.

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que, dados dos números naturales $a$ y $b$, tales que $a \ge b$, entonces $\text{m.c.d.}(a,b)=a$ si $a=b$ y en caso contrario $\text{m.c.d.}(a,b)=\text{m.c.d}(\text{máx}\{a-b,b\},\text{mín}\{a-b,b\})$. Por consiguiente, podemos aplicar una y otra vez dicha propiedad hasta obtener una diferencia igual a $0$, en cuyo caso el proceso finaliza, concluyendo que el máximo común divisor es igual al actual minuendo ( que es igual al sustraendo ). Y organizando los cálculos en una tabla, encontramos:

minuendo    sustraendo    diferencia
--------    ----------    ----------
24             18            6
18              6           12
12              6            6
6               6            0 (fin)

Así, pues, obtenemos $$\text{m.c.d.}(24,18)=6$$
$\square$

Ejercicio de aplicación del método de los factores para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

ENUNCIADO. Descomponer en factores primos los números $180$, $30$ y $120$. A continuación, emplear las reglas \emph{de los factores} para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de estos tres números.

SOLUCIÓN.
$\text{m.c.d}(180,30,120)=\text{m.c.d}(2^2\cdot 3^2\cdot 5\,,\,2\cdot 3\cdot 5\,,\,2^3\cdot 3 \cdot 5)=2\cdot 3 \cdot 5 =30$

$\text{m.c.m}(180,30,120)=\text{m.c.m}(2^2\cdot 3^2\cdot 5\,,\,2\cdot 3\cdot 5\,,\,2^3\cdot 3 \cdot 5)=2^3 \cdot 3^2\cdot 5=360$

$\square$

Reflexionando sobre la división con números naturales

ENUNCIADO. Queremos distribuir $2451$ cromos entre $22$ niños, de manera que a cada niño le corresponda el mismo número de cromos que a los demás. ¿ Cuántos cromos debemos dar a cada niño ? ¿ Podremos repartir todos los cromos ? Cuántos cromos quedarán por repartir ?

SOLUCIÓN.
Las respuestas a estas preguntas vienen dadas por el resultado de la división euclídea $2451 \div 22$, en la que siendo $2451$ el dividendo, y $22$ el divisor, debemos calcular el cociente y el resto de dicha división.

Para ello, tenemos que tener en cuenta el teorema de la división euclídea ( en este caso, con números naturales ), que dice lo siguiente:
Dados dos números naturales $a$ y $b$, siendo $a \ge b$ ( denominamos a $a$, dividendo; y, a $b$, divisor ), entonces existen únicamente dos números naturales, $c$ ( al que llamamos cociente ) y $r$ ( al que llamamos resto ) que cumplen :
1. $a=b\cdot c+r$
2. $r\prec b$

Vamos a aplicarlo por tanto para calcular $c$ y $r$. Al hacerlo, pondremos en práctica el llamado algoritmo de la división con números naturales. Lo llevaremos a cabo en varios pasos, determinando en cada uno de los mismos las cifras de los respectivos órdenes de magnitud ( de mayor orden a menor orden ), que, en este caso concreto, y como vamos a ver enseguida, corresponden respectivamente a las centenas, decenas y unidades de $c$. El proceso acaba cuando se cumpla que la cantidad remanente de cromos sea menor que el número de niños. Organizaremos los cálculos en la siguiente tabla:

cantidad a repartir  número de cromos por niño   cromos que quedan por repartir
-------------------  -------------------------      ------------------------------
2451                         100                  2451-100\cdot 22 = 251 > 22
 251                          10               2451-110\cdot 22=31 > 22
  31                           1             2451-111\cdot 22=9 < 22 ( fin )

Concluimos, del último paso ( última línea de la tabla ), que $c=100+10+1=111$ y $r=9$. Y hemos terminado.
$\square$

Empleando el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números enteros

ENUNCIADO. Hallar el máximo común divisor de $28$ y $21$, empleando el algoritmo de Euclides. A continuación, y a partir de dicho resultado, calcular el mínimo común múltiplo.

SOLUCIÓN.
Recordemos la siguiente propiedad:
Dados dos números enteros $a$ y $b$, siendo $a \ge b$; y considerando la división euclídea $a\div b$, donde $r$ es el resto de la misma, entonces $\text{m.c.d}(a,b)=b$ si $r=0$; y, si $r\neq 0$, entonces $\text{m.c.d}(a,b)=\text{m.c.d}(b,r)$.

El algoritmo de Euclides consiste pues en aplicar dicha propiedad, una y otra vez, realizando divisiones sucesivas, de tal modo que, en cada paso, el nuevo dividendo sea el antiguo divisor y el nuevo divisor el antiguo resto, hasta llegar a una división con resto igual a cero. Llegados a este punto, el máximo común divisor ha de ser igual al divisor en dicho paso, finalizando así el algoritmo.

Podemos organizar los cálculos de las divisiones sucesivas en una tabla. Así, para los números dados en este ejercicio, obtenemos

    dividendo        divisor      resto
   ----------        -------     ------
      28               21          7
      21                7          0

luego $$\text{m.c.d}(28,21)=7$$

Calculemos a continuación el mínimo común múltiplo de $28$ y $11$. Como ya conocemos el máximo común divisor, que es $7$, vamos a utilizar otra propiedad que también hemos estudiado:

Dados dos números enteros $a$ y $b$, entonces se cumple que $$\text{m.c.m}(a,b)\cdot \text{m.c.d.}(a,b)=a\cdot b$$ Para los números dados, tenemos pues que $$\text{m.c.m}(28,21) \cdot 7=28\cdot 21$$ por tanto $$\text{m.c.m.}(28,21)=28\cdot 21 \div 7 = 84$$

$\square$

Operaciones combinadas con la suma, el producto, el valor absoluto y el opuesto de números enteros

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada: $$\left|\text{opuesto}(3)\right|\cdot 2 - \text{opuesto}(\left|-2\right|\cdot 3)$$

SOLUCIÓN.
$\left|\text{opuesto}(3)\right|\cdot 2 - \text{opuesto}(\left|-2\right|\cdot 3)$
  $=\left|-3\right|\cdot 2 - \text{opuesto}(2\cdot 3)$
    $=3\cdot 2 - \text{opuesto}(6)$
      $=3\cdot 2 +\text{opuesto}\left( \text{opuesto}(6)\right)$
        $=6 + 6$
          $=12$
$\square$

Operando con números enteros

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación combinada $$(1-4)\cdot 5+(-6)\div (-2)+(-1)\cdot (-4)+(-28)\div 7$$

SOLUCIÓN.
$(1-4)\cdot 5+(-6)\div (-2)+(-1)\cdot (-4)+(-28)\div 7$
  $=-3\cdot 5+3+4+(-4)$
    $=-15+3+4+(-4)$
      $=-12+4+(-4)$
        $=-12+(4+(-4))$
          $=-12+0$
            $=-12$
$\square$

Construyendo cuadrados con piezas rectangulares

ENUNCIADO. Considérese un número ilimitado de piezas planas iguales de forma rectangular, cada una de las cuales mide $10$ milímetros de ancho y $15$ milímetros de largo. Juntando dichas piezas en filas y columnas, queremos formar el menor cuadrado posible.
a ) ¿ Cuál será la longitud del lado de dicho cuadrado ?
b ) ¿ Cuántas piezas necesitaremos para formarlo ?

SOLUCIÓN.
a)
La longitud del lado de un cuadrado cualquiera que así se forme ha de ser múltiplo común de las longitudes de los lados de las piezas rectangulares que juntamos; como, además, nos interesa el menor cuadrado posible, la longitud del lado $\ell$ de dicho cuadrado mínimo ha de ser igual al menor múltiplo común, esto es, al mínimo común múltiplo de $10$ y $15$ $$\text{m.c.m}(10,15)=\text{m.c.m}({2\cdot 5, 3 \cdot 5})=2\cdot 3 \cdot 5 = 30$$ Así que $$\ell=30\;\text{milímetros}$$

b)
Tomemos ahora una de las piezas rectangulares, de $10$ milímetros de ancho y $15$ milímetros de largo. El número de veces que el lado de $10$ milímetros queda comprendido por el lado del cuadrado, que acabamos de ver que es de $30$ milímetros, es $30\div 10=3$; y el número de veces que el lado de $15$ milímetros queda comprendido por el lado de dicho cuadrado es $30\div 15=2$. Por consiguiente, el número de rectángulos que necesitaremos juntar ( lado con lado, a lo largo y a lo ancho ) para formar el cuadrado es: $$3\cdot 2=6 \;\text{rectángulos}$$
$\square$