sábado, 22 de diciembre de 2018
miércoles, 14 de noviembre de 2018
Un problema con fracciones
ENUNCIADO. Pilar está leyendo un libro. El primer día leyó 2/7 del libro; el segundo, la mitad de lo que le quedaba, y el tercero 3/5 del resto. Le faltan aún 70 páginas. ¿ Cuántas páginas tiene el libro ?.
SOLUCIÓN.
Fracción del libro que ha leído el primer día: $\dfrac{2}{7}$
Fracción del libro que ha leído el segundo día: $\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{7}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{14}$
Fracción del libro que ha leído durante los dos primeros días: $\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{9}{14}$
-oOo- Fracción del libro que ha leído el tercer día: $\dfrac{3}{5}\cdot \left( 1- \dfrac{9}{14}\right)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{5}{14}=\dfrac{3}{14}$
Fracción del libro que ha leído durante los tres primeros días: $\dfrac{9}{14}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}$
-oOo- Fracción del libro que aún no ha leído después del tercer día: $1-\dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{7}$-oOo- Entonces, si $70$ páginas es una séptima parte del libro, el libro entero tendrá siete veces ese número de páginas, esto es, $7\cdot 70=490$ páginas.
$\square$
SOLUCIÓN.
Fracción del libro que ha leído el primer día: $\dfrac{2}{7}$
Fracción del libro que ha leído el segundo día: $\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{2}{7}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{5}{7}=\dfrac{5}{14}$
Fracción del libro que ha leído durante los dos primeros días: $\dfrac{2}{7}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{14}=\dfrac{9}{14}$
Fracción del libro que ha leído durante los tres primeros días: $\dfrac{9}{14}+\dfrac{3}{14}=\dfrac{12}{14}=\dfrac{6}{7}$
$\square$
jueves, 18 de octubre de 2018
Divisibilidad
ENUNCIADO.
Guillermo tiene un cierto número de bolas: entre $140$ i $150$ bolas. Cuando las coloca en grupos de ocho, le queda una sin agrupar, y lo mismo sucede si las coloca en grupos de 9 y de 12. ¿ Cuál es el número exacto de bolas que tiene ?.
SOLUCIÓN.
El número de bolas tiene que ser igual a un múltiplo común de $8$, $9$ y $12$ más una unidad, para que se cumpla que el resto de las divisiones de dicho número entre los respectivos divisores sea igual a $1$. El múltiplo común más pequeño de $8$, $9$ y $12$ es $\text{m.c.m}(8,9,2)=2^3 \cdot 3^2=72$, que es menor que $140$; si lo multiplicamos por $2$ obtendremos el múltiplo común consecutivo a $72$, que es $144$, que sí esta comprendido entre $140$ i $150$. Por tanto, el número exacto de bolas que tiene Guillermo es igual a $144+1=145$.
$\square$
Guillermo tiene un cierto número de bolas: entre $140$ i $150$ bolas. Cuando las coloca en grupos de ocho, le queda una sin agrupar, y lo mismo sucede si las coloca en grupos de 9 y de 12. ¿ Cuál es el número exacto de bolas que tiene ?.
SOLUCIÓN.
El número de bolas tiene que ser igual a un múltiplo común de $8$, $9$ y $12$ más una unidad, para que se cumpla que el resto de las divisiones de dicho número entre los respectivos divisores sea igual a $1$. El múltiplo común más pequeño de $8$, $9$ y $12$ es $\text{m.c.m}(8,9,2)=2^3 \cdot 3^2=72$, que es menor que $140$; si lo multiplicamos por $2$ obtendremos el múltiplo común consecutivo a $72$, que es $144$, que sí esta comprendido entre $140$ i $150$. Por tanto, el número exacto de bolas que tiene Guillermo es igual a $144+1=145$.
$\square$
Otro ejercicio de divisibilidad
ENUNCIADO. En una biblioteca hay un número de libros comprendido entre $240$ y $250$. Si los apilamos de cinco en cinco, quedan $3$ por apilar; y, si los apilamos de cuatro en cuatro, quedan $2$ por apilar. ¿ Cuál es el número de libros que hay en esa biblioteca ?
SOLUCIÓN. El número más entero positivo más pequeño que cumple las condiciones de los restos es $18$ ( el resto de la división de $18$ entre $5$ es $3$, y el de la división de $18$ entre $4$ es $2$ ); en efecto, probando números consecutivos y organizando los resultados en una tabla:
$\square$
SOLUCIÓN. El número más entero positivo más pequeño que cumple las condiciones de los restos es $18$ ( el resto de la división de $18$ entre $5$ es $3$, y el de la división de $18$ entre $4$ es $2$ ); en efecto, probando números consecutivos y organizando los resultados en una tabla:
n | resto de (n div 5) | resto de ( n div 4 ) ---------------------------------------------------------- 5 | 0 | 1 ---------------------------------------------------------- 6 | 1 | 2 ---------------------------------------------------------- 7 | 2 | 3 ---------------------------------------------------------- 8 | 3 | 0 ---------------------------------------------------------- 9 | 4 | 1 ---------------------------------------------------------- 10 | 0 | 2 ---------------------------------------------------------- 11 | 1 | 3 ---------------------------------------------------------- 12 | 2 | 0 ---------------------------------------------------------- 13 | 3 | 1 ---------------------------------------------------------- 14 | 4 | 2 ---------------------------------------------------------- 15 | 0 | 3 ---------------------------------------------------------- 16 | 1 | 0 ---------------------------------------------------------- 17 | 2 | 1 ---------------------------------------------------------- 18 | 3 | 2 ---------------------------------------------------------- ...Como $18$ es menor que $240$ ( y por supuesto menor que $250$ ) es claro que no es esa la solución al problema, pero sí está relacionada con ese número. Debemos encontrar otro número que sea mayor que $240$ y menor que $250$ que al ser dividido por $5$ y por $4$ también tenga restos $3$ y $2$, respectivamente. El mínimo común múltiplo de $18-3$ y de $18-2$ es $240$, esto es, el resto de las divisiones $240 \div 5$ y $240 \div 4$ es $0$, luego el resto de la división de $240+18$ entre $5$ es $3$, y el resto de la división de $240+18$ entre $4$ es $2$, lo que cumple las condiciones del enunciado. En consecuencia podemos afirmar que en la biblioteca hay exactamente $258$ libros.
$\square$
Un problema de divisibilidad
ENUNCIADO. Los alumnos de una clase se colocan en filas. Si en cada fila hay 3 alumnos, quedan 2 sin colocar. En cambio, si en cada fila se colocan 4 alumnos, solamente queda 1 alumno sin colocar. Se pide:
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?
SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que $4$. Probemos números mayores: veamos si $5$ cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división $5\div 3$ es $2$, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división $5 \div 4$ es $1$, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es $5$.
b) Como el resto de la división $5\div 3$ es $2$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-2) \div 3$ es $0$, y, como el resto de la división $5\div 4$ es $1$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-1) \div 4$ es $0$.
Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que $5$ y menores que $30$ ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por $3$ y por $4$ de los mismos sean respectivamente $2$ y $1$ -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de $3$ y $4$ ( que es $12$ ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.
Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de $12$ entre $3$ es $0$ y el resto de la división $12$ entre $4$ es $0$, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser $2$ y $1$, y no $0$; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente $12+5$ y $12\cdot 2 +5$, es decir, $17$ y $29$ ( los múltiplos de $12$ más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de $30$ alumnos, sería $12 \cdot 3 +5 = 41$].
Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, $17$ y $29$ ( menores que $30$ ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de $17$ entre $3$ es $2$, y el resto de la división de $29$ entre $4$ es $1$.
$\square$
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?
SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que $4$. Probemos números mayores: veamos si $5$ cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división $5\div 3$ es $2$, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división $5 \div 4$ es $1$, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es $5$.
b) Como el resto de la división $5\div 3$ es $2$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-2) \div 3$ es $0$, y, como el resto de la división $5\div 4$ es $1$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-1) \div 4$ es $0$.
Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que $5$ y menores que $30$ ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por $3$ y por $4$ de los mismos sean respectivamente $2$ y $1$ -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de $3$ y $4$ ( que es $12$ ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.
Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de $12$ entre $3$ es $0$ y el resto de la división $12$ entre $4$ es $0$, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser $2$ y $1$, y no $0$; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente $12+5$ y $12\cdot 2 +5$, es decir, $17$ y $29$ ( los múltiplos de $12$ más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de $30$ alumnos, sería $12 \cdot 3 +5 = 41$].
Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, $17$ y $29$ ( menores que $30$ ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de $17$ entre $3$ es $2$, y el resto de la división de $29$ entre $4$ es $1$.
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jueves, 4 de octubre de 2018
Reglas de los signos para la multiplicación de números enteros
Consideremos $m$ y $n$ dos números enteros positivos cualesquiera.
Entonces, por la definición del opuesto de un número entero, se tiene que $-m\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(m)\prec 0$ y $-n\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(n)\prec 0$. Entonces, podemos decir que:
P1.
$m \cdot n \succ 0$
P2.
$(-m) \cdot n = (-1 \cdot m)\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot n) = - (m\cdot n) = \text{opuesto}(m \cdot n) \prec 0 $
y, por lo mismo, $m \cdot (-n) \prec 0$
Nota: otra forma de demostrar que $(-m) \cdot n \succ 0$ es la siguiente, como $(-m) \cdot n=(-m)+(-m)+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(-m)\prec 0$ y, de la misma manera, $m \cdot (-n) \succ 0$ puesto que $m \cdot (-n)=(-n)+(-n)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-n)\prec 0$
P3.
$(-m) \cdot (-n) = (-1 \cdot m)\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot (-n)) =$
$= - (m\cdot (-n) \overset{\text{P2}}{=} \text{opuesto}(m \cdot (-n)) \succ 0 $
$\square$
Observación 1: Se ha omitido el que $m$ o $n$ sean $0$, pues en tal caso, $m\cdot n = (-m)\cdot n = (-m)\cdot (-n)=0$
Observación 2: Es fácil ver que estas reglas de los signos para la multiplicación son también válidas para la división
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Entonces, por la definición del opuesto de un número entero, se tiene que $-m\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(m)\prec 0$ y $-n\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(n)\prec 0$. Entonces, podemos decir que:
P1.
$m \cdot n \succ 0$
P2.
$(-m) \cdot n = (-1 \cdot m)\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot n) = - (m\cdot n) = \text{opuesto}(m \cdot n) \prec 0 $
y, por lo mismo, $m \cdot (-n) \prec 0$
Nota: otra forma de demostrar que $(-m) \cdot n \succ 0$ es la siguiente, como $(-m) \cdot n=(-m)+(-m)+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(-m)\prec 0$ y, de la misma manera, $m \cdot (-n) \succ 0$ puesto que $m \cdot (-n)=(-n)+(-n)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-n)\prec 0$
P3.
$(-m) \cdot (-n) = (-1 \cdot m)\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot (-n)) =$
$= - (m\cdot (-n) \overset{\text{P2}}{=} \text{opuesto}(m \cdot (-n)) \succ 0 $
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Observación 1: Se ha omitido el que $m$ o $n$ sean $0$, pues en tal caso, $m\cdot n = (-m)\cdot n = (-m)\cdot (-n)=0$
Observación 2: Es fácil ver que estas reglas de los signos para la multiplicación son también válidas para la división
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domingo, 16 de septiembre de 2018
A propósito de relojes: una frase alegórica en la que aparece un reloj
Consideremos la siguiente afirmación: Dado un reloj analógico (de los de agujas) cuyo mecanismo esté parado, con las agujas en cualquier posición, éstas señalan la hora correcta dos veces al día. ¿Es eso cierto eso? Desde luego que sí, pues la hora señalada por la posición de las agujas del reloj coincidirá, en un período de 24 horas, con la hora correcta dos veces al día: una primera vez entre el mediodía y las doce de la noche, y, una segunda vez entre las doce de la noche y el mediodía del día siguiente; y, así, eternamente. Desde luego, es una trivialidad. Y, por supuesto, sobra decir que el reloj parado ya no sirve para medir el paso del tiempo; es decir, ya no es tal "reloj", lo cual ha dado pie a fraguar esta frase, utilizada como alegoría para hacer hincapié en la falsedad de supuestos logros que inadvertidamente pudieran pasar por novedosos, careciendo éstos sin embargo del menor interés y no aportando nada en realidad.
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