¿ Quants divisors té un determinat nombre natural ? ( artículo escrito en catalán )

Sovint, els alumnes de 1r es deixen divisors quan se'ls demana que, donat un nombre natural, trobin tots els nombres que el divideixen amb reste zero. Una manera d'evitar això és ensenyar-los a fer ús d'un diagrama d'arbre per tal que facin una cerca sistemàtica (vegeu l'exemple de la figura 1). Una vegada més es demostra aquí l'eficàcia en l'ús didàctic dels diagrames que, per altra banda, convida l'alumne a fer un exercici d'investigació i reflexió amb el treball elemental amb els nombres naturals.

Primer que tot, fan la descomposició factorial del nombre donat. Per exemple, donat el nombre natural 60, s'obté: 60 = 2² (3) (5). És força clar que els divisor de tres són, tres i u; els de 5, 1 i 5; i els de 2², 1, 2 i 4. Els productes de tots aquests divisors elementals entre ells, donaran tots els divisors de 60, sense que se'n descuidin cap.

A més a més, sense dibuixar-lo, hom pot fer un simple càlcul per saber quants divisors hi han abans de trobar-los: només caldrà multiplicar les multiplicitats de cada nivell: 3(2)(2) = 12 divisors. Això és especialment interessant en 1r curs d'ESO perquè els alumnes s'adonen de seguida dels principis del recompte, del princpio multiplicatiu i, per descomptat, també del principi de suma. $\square$

Consideremos cien bolas ordenadas en fila ...

ENUNCIADO:
Consideremos cien bolas ordenadas en fila, habiendo un hueco entre bola y bola.
a) ¿Cuántas bolas hay entre la quinta y la octava bola, ambas incluidas ? ¿ Cuántos huecos hay entre ellas?
b) ¿Cuántas bolas hay entre la undécima bola y la quincuagésimo séptima bola, ambas incluidas? ¿Cuántos huecos hay entre las dos bolas mencionadas?

SOLUCIÓN:
a) Entre la quinta y la sexta bolas, ambas incluidas, hay una bola intermedia ( la quinta bola, es decir $6-5=1$ bola entre las dos ), y, además, teniendo en cuenta las dos bolas de los extremos ( la quinta y la sexta ), contabilizamos un total de $(6-5)+2 = 1+2=3$ bolas. Pues bien, entre la quinta y la octava bolas ( ambas incluidas ) deberá haber $(8-5)+2=3+2=5$ bolas. Y, naturalmente, un hueco menos que el número de dichas bolas, es decir, $((8-5)+2)-1$ huecos, esto es, $5-1=4$ huecos.

b) Generalizando el procedimiento de recuento que hemos aplicado en el primer apartado: entre la $m$-ésima y la $n$-ésima bolas ( ambas incluidas, y siendo $m$ menor o igual que $n$ ) hay $(n-m)+2$ bolas y $((n-m)+2)-1$ huecos, esto es $(n-m)+1$ huecos, luego, particularizando entre la undécima y la quincuagésimo séptima bola hay $(57-11)+2=46+2=48$ bolas y $48-1=47$ huecos.

$\square$

Número de años que hay entre ...

ENUNCIADO:
a) Se sabe que Eratóstenes murió en el año $385$ a.C. y que Hypatia de Alejandría murió en en año $415$ d.C. ¿ Cuántos años, $n$, hay entre uno y otro evento ?
b) Albert Einstein nació en el año $1879$ y murió en el año $1955$. ¿ Cuántos años vivió ?
c) Euclides nació en el año $325$ a.C. y Pitágoras nació en el año $475$ a.C. ( Pitágoras nació en un siglo anterior al que nació Euclides ), ¿ Cuántos años hay entre estos dos eventos ?

SOLUCIÓN:
tengamos en cuenta que los años del calendario se ordenan de pasado a futuro de la siguiente forma:
... 3 a.C, 2 a.C., 1 a.C. 1 d.C. 2 d.C. ...Nota: Cuidado, el "año '0'" es, en nuestro calendario, el año 1 d.C.

Haciendo algunas pruebas con números sencillos para las años del evento inicial y del evento final, vemos que para hacer los cálculos que nos llevan a determinar el número de años, $n$, entre el evento del año inicial y el evento del año final, debemos proceder de la siguiente forma:
Sean $i$ y $f$ los años inicial y final, entonces:

1) Si $i$ y $f$ son años de nuestra era ( d.C. ), $n = f-i$
2) Si $i$ y $f$ son años de la era anterior ( a.C. ), $n = i-f$
3) Si $i$ es de la era anterior (a.C.) y $f$ es de nuestra era ( a.C. ), $n=(i+f)-1$


Observación sobre el caso (3): esto es así porqué, en nuestro calendario, no se utiliza el '0' para empezar a contar los años, sino que el primero año de nuestra era, se designa como año '1' ( 1 d.C.); de haber utilizado el '0' para el año inicial de nuestra era, la fórmula del computo de años sería $n=i+f$. Y, de haber utilizado números enteros negativos para los años anteriores al año inicial ( suponiendo que hubiese sido el año '0' ) y el año final ( un número entero positivo, la fórmula sería $n=f-i$, recordando que, en el caso que nos ocupa, sería $i \prec 0$ )

Procedemos ahora a dar la respuesta a las preguntas del enunciado:
a) Estamos en el caso (3), luego $n=(385+415)-1= 799$ años ( pasaron $799$ años entre el año de la muerte de Eratóstenes y el año de la muerte de Hypatia de Alejandría )
b) Estamos, ahora, en el caso (1), luego $n=1955-1879=76$ años ( Albert Einstein tenía $76$ años cuando murió )
c) Esto nos lleva al caso (2), por tanto $n=475-325 = 150$ años ( pasaron $150$ años entre el año del nacimiento de Pitágoras y el año del nacimiento de Euclides )

$\square$

[autoría]

Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante ... ¿ qué pasó con el euro que parece que falta ?

ENUNCIADO:
Un grupo de tres alumnos han decido cenar juntos en un restaurante. A la hora de pagar la cuenta, el camarero les dice que cuesta en total 30 euros, y esa cantidad es la que le pagan; sin embargo, al hablar con el compañero de caja, éste le informa que ese día el restaurante rebaja 5 euros a cada grupo de tres comensales y que, por tanto, en lugar de 30 euros les va a costar 25 euros, por lo que se le entregan cinco monedas de 1 euro para devolver esa cantidad ( 5 euros ) a los tres clientes. Sin embargo, como el camarero no dispone de monedas pequeñas, no puede repartir las cinco monedas en partes iguales entre los tres, de modo que los tres amigos deciden solventar la situación ofreciéndole 2 euros de propina al camarero, quedándose sólo 3 euros para ellos ( una moneda de 1 euro para cada uno de los tres ).

Sin embargo, al hacer cuentas sobre la solución adoptada, uno de los tres clientes se encuentra con una pega que no sabe cómo resolver y que es la siguiente:
si, cada uno hemos pagado 10 euros ( entre los tres, 30 euros ) y nos han devuelto 1 euro, a cada uno nos habrá costado la cena 9 euros; sin embargo, 9 por tres es 27, más los 2 euros que hemos dado de propina al camarero hace un total de 29 euros ... Entonces, ¿ qué ha pasado con el euro que falta para llegar a los 30 euros ( que en un principio habíamos entregado entre los tres ) ?


SOLUCIÓN:
La explicación al enigma se encuentra en el modo erróneo de hacer las cuentas del cliente que nos plantea el problema. La forma correcta de plantear la situación es la siguiente: Los 2 euros de propina no se deben contabilizar como parte del coste de la cena, que es de 25 euros sino que hay que contarlos como un añadido al gasto que supone el pago de la cuenta; así, entre los tres se han gastado 25 + 2 = 27 euros, cantidad que corresponde, precisamente, a los 9·3=27 euros que han pagado entre los tres. $\square$

[autoría]

Unidades de medida que deben saber manejar con eficacia . ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Àrea d'un triangle

Per què l'àrea d'un triangle es calcula multiplicant la longitud d'un dels seus costats per l'altura corresponent i dividint el resultat per dos ?.

Si us fixeu en la figura us adonareu del per què. L'àrea del triangle (1) és igual a la meitat de la del paral·lelogram (2) que obtenim traçant una paral·lela al costat AB que passi per C. Per altra banda, l'àrea de (2) és igual a l'àrea del rectangle (3) ja que escapcem la punta esquerra del paral·lelogram i l'empeguem a la dreta (l'àrea, evidentment, no canvia). Per tant, l'àrea del triangle de partida (1) ha de ser igual a la meitat de l'àrea del rectangle (3), amb la qual cosa podrem escriure:


$$\text{Àrea} \; = \; \dfrac{AB \cdot CP}{2}$$

Propietat d'invariància de l'àrea d'un triangle (donada una base):
Si reflexionem una mica més, del que hem dit se'n desprèn que si desplacem el punt $C$ damunt d'una recta paral·lela a la base $AB$ els triangles que anem obtenint tenen tots la mateixa àrea (observeu la figura de sota).

¿ Qué es una expresión algebraica ? ... ( Artículo escrito en catalán )

Una expressió algèbrica consta d'un conjunt de lletres que anomenem variables (representen quantitats indeterminades) i també inclou nombres i operacions aritmètiques. Per exemple, 4x2y4-3xy2+2x+y+5 és una expressió algèbrica on x i y són les variables. La resolució algèbrica d'un problema consisteix precisament a determinar els valors que prenen aquestes variables per poder satisfer les condicions de l'enunciat del problema. Una expressió algèbrica pot estar formada per la suma de diverses "parts sumands" que anomenem termes. L'exemple anterior consta de 5 termes. Cada terme consta d'una part numèrica (coeficient) i una part literal (on intervenen símbols no numèrics o lletres que anomenem variables algèbriques [tot i que, a vegades, també poden ser paràmetres]); aquesta part literal pot constar de diversos factors multiplicats entre sí (quan intervé més d'una variable). Observació: En algunes expressions apareixen també altres símbols que, malgrat no representar cap variable, fan el paper de coeficients o bé d'exponents; aquests símbols s'anomenen paràmetres. Per exemple, l'expressió kx+2 és una expressió amb una sola variable (en el primer terme), el coeficient de la qual és el paràmetre k. No apareixeran, però, expressions amb paràmetres durant aquest curs. A l'exemple en negreta (on intervenen dues variables), el coeficient del primer terme és 4 i la seva part litaral és x2y4 que consta de dos factors: x2 i y4; el coeficient del segon és -3 i la seva part literal és xy2 que té dos factors: x i y2; el coeficient del tercer terme és 2 (i té només un factor, x, la part literal del terme); el coeficient del quart és 1, i la seva part literal és y. L'últim terme, 5, no té part literal i, per això, s'anomena terme independent. Un terme és de tipus polinòmic si la base de la potència és una variable i l'exponent un nombre. Observació: Hi ha expressions que tenen termes que no són de tipus polinòmic; per exemple un factor com ara 4x (que no apareix a l'exemple) és de tipus exponencial, no pas polinòmic. Aquest tipus d'expressions apareixeran en cursos venidors, però no durant l'actual. Si els termes són de tipus polinòmic es caracteritzen pel seu grau. El grau d'un factor polinòmic és el valor de l'exponent. Com que un terme pot constar de diversos factors, cada un, amb una variable diferent com a base de la potència, distingirem entre: a) grau absolut d'un terme: és igual a la suma dels exponents de les potències que, com a factors, constitueixen el terme b) grau relatiu (a una determinada variable) d'un terme: és igual al valor de l'exponent del factor que tingui com a base la variable seleccionada. Si, a més a més del coeficient, un terme consta d'un factor amb una sola variable (un sol factor literal), no cal parlar de grau relatiu del terme o grau absolut: el grau del terme és igual al valor de l'exponent de la potència del factor. Direm que dos termes són semblants si tenen la mateixa part literal. Per exemple, els termes 6x2 i 3x2 són semblant perquè tenen la mateixa part literal x2 . Naturalment, si dos termes són semblants es poden sumar; els termes als quals ens acabem de referir 6x2 i 3x2 es poden representar per un sol terme 9x2 que és igual a la suma de tots dos 6x2 + 3x2 .

[nota del autor]