Ponemos separadores en una balda ...

En la balda de una estantería que tiene una longitud de $3\,\text{m}$ ponemos dos separadores, cada uno de los cuales dista la misma distancia de los extremos que la que dista entre los dos. ¿En cuántos tramos queda dividida la balda? ¿Cuál es la longitud de cada uno de los tramos en los que queda dividida?

Al haber $2$ separadores, la balda queda dividida en $2+1=3$ tramos, los cuales, según el enunciado, tienen la misma longitud, la cual es igual, por tanto, a la longitud de la balda, que es de $3\,\text{m}$ dividida entre $3$ trozos iguales, esto es, $$\dfrac{3\,\text{m}}{3\,\text{tramos}}=1\,\dfrac{\text{m}}{\text{tramo}}$$
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Razonando con números enteros y extrayendo conclusiones interesantes. Otro ejemplo: $0$ no es divisor de ningún número entero no nulo

¿Por qué $0$ no es divisor de ningún otro número entero distinto de cero?

Supongamos que sí lo sea e intentemos llegar a una contradicción. Si lo conseguimos, habremos demostrado la afirmación. Veamos: para cualquier número entero $m\neq 0$, si $0$ es divisor de $m$ (como hemos supuesto), entonces, por el teorema de la división de números enteros y por la definición de divisor, debería cumplirse que, existe un número entero $n$ tal que $m=0\cdot n+k$, con $k=0$ (por ser $0$, supuestamente, un divisor de $m$), esto es $m=0\cdot n$, pero el segundo miembro de la igualdad es $0$, pues $0\cdot n=0$, luego deducimos de ello que $m=0$, en contra de la suposición inicial, $m\neq 0$. En consecuencia, podemos afirmar que $0$ no es divisor de ningún número entero distinto de cero. $\diamond$

Conclusiones a partir de razonamientos con números enteros que, quizás, te sorprendan. Un ejemplo: 0 es múltiplo de cualquier número entero no nulo

¿Por qué la afirmación: cero es múltiplo de cualquier otro número entero distinto de cero es cierta?

Todo entero, $m$, distinto de cero, es divisor de $0$, ya que, de la división euclídea $0 \div m$, se tiene que $0=m\cdot 0+0$ (teorema de la división con números enteros), luego si $m\neq 0$ es divisor de $0$, entonces $0$ es múltiplo de $m$. $\diamond$

Teorema de la divisió euclídea (recordatorio para personas profesoras que trabajen en secundaria)

Recordemos el teorema de la división entera (euclídea): Para un número entero cualquiera $D$ (dividendo) y un número entero cualquiera $d$ (divisor) existen dos números enteros únicos, $c$ (cociente) y $r$ (resto) de manera que debe cumplirse las siguientes condiciones $D=d\cdot c+r$ y $0\le r \lt |d|$   $\diamond$

Ejemplo de división entera de un número entero positivo entre un número entero negativo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $5 \div (-3)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $-3$ da como resultado el número entero positivo que se acerca más a $5$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $5=-1\cdot (-3) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=5-(-1)\cdot (-3)=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2\lt |-3|=3$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre dos números enteros negativos

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-3 \div (-2)$?

Como el dividendo es negativo y el divisor también, el cociente ha de ser positivo; el número entero positivo que multiplicado por $-2$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-3$ es $2$, luego el cociente es $2$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-3=2\cdot (-2) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-3-2\cdot (-2)=-3+4=1$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $1\lt |-2|=2$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Un ejemplo de división entera entre un entero negativo y un entero positivo

Cuál es el resto y el cociente de la división entera $-2 \div 4$?

Como el dividendo es negativo y el divisor es positivo, el cociente ha de ser negativo; el número entero negativo que multiplicado por $4$ da como resultado el número (entero) que se acerca más a $-2$ es $-1$, luego el cociente es $-1$; y, de ahí, deberá cumplirse que $-2=4\cdot (-1) + r$, donde $r$ denota el resto, luego $r=-2-4\cdot (-1)=-2+4=2$, que es no negativo y menor o igual que el valor absoluto del divisor (en efecto, $2 \lt |4|=4$), como debe ser (teorema de la división euclídea). $\diamond$

Curiosidades con el resto de las divisiones enteras

Alguien afirma: El resto de la división entera de $2$ entre $4$ da resto igual a $2$. ¿Es eso cierto? Si es así, ¿por qué?

En efecto, es cierto, porque al ser el dividendo menor que el divisor, $2 \le 4$, el cociente de la división entera $2 \div 4$ es igual $0$, luego $2=0\cdot 4 +2$, por consiguiente el resto es $2$. $\diamond$

Acerca de cosas que cambian de manera periódica. Un ejemplo con los días de la semana. Una noción básica sobre aritmética modular

Hoy es miércoles. Es evidente que dentro de siete días volverá a ser miércoles, pues la semana consta de siete días. Hagámonos un pregunta interesante: ¿qué día de la semana será dentro de $80$ días?

Observemos que $80=11\cdot 7+3$, es decir, al hacer la división entera entre $80$ y $7$ resulta que el cociente es $11$ y el resto es $3$. Quiere decir ésto que, en $80$ días transcurren $11$ semanas y $3$ días más. Entonces, después de $11$ semanas volverá a ser miércoles (de la undécima semana), y, por tanto, el tercer día despues (de ese miércoles de la undécima semana), tendrá que ser el sábado (de esa misma undécima semana). Notemos que, para obtener la solución a este tipo de ejercicios (modulares) basta calcular el resto de la división.

Nota:
Notemos que en el caso que el resto que obtuviésemos fuese $0$ significaría que el último día del intervalo que transcurre volvería a coincidir con el mismo día de la semana del que partiésemos; por ejemplo, al cabo de $77$ días ($77$ es múltiplo de $7$, ques es la duración de una semana), volverá a ser miércoles, pues $77=11\cdot 7+0$. $\diamond$

¿Cuántos divisores positivos de $36$ hay?

¿Cuántos divisores tiene $36$? Vamos a responder a esta pregunta viendo primero cuáles son los divisores primos, para, después, calcular el número total de divisores, sin necesidad de decir quiénes son dichos divisores.

Observemos que los divisores primos de $36$ son $2$ y $3$; en efecto, al factorizar $36$, encontramos que $36=2^2\,\cdot 3^2$. Fijémonos ahora en los exponentes de las potencias de dichos números primos: $2$ para el exponente de la potencia de base $2$, y $2$ también para el exponente de base $3$; quiere decir ésto que hay tres divisores de $2^2$ (esto es, de $4$), que son $1$, $2$ y el propio $4$; y hay tres divisores de $3^2$ (esto es, de $49$), que son $1$, $3$ y el propio $9$. Si emparejamos los tres de un grupo de divisores con los tres del otro grupo de divisores —dibujar un sencillo diagrama de árbol puede ayudar en el caso de que no lo veamos claro— encontramos un total de $9$ divisores (y no hay ni más ni menos), ya que los tres de uno de los grupos de divisores por los otros tres del otro grupo ha de ser igual al número total de divisores de $36$.

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Observación: Démonos también cuenta de que el número total de divisores podemos calcularlo de un modo más rápido multiplicando los exponentes que aparecen en cada potencia con base un número primo (que aparecen en la factorización del número pedido), habiéndoles sumado préviamente la unidad, habida cuenta de que el $1$ es divisor de cualquier número, de ahí que salga repetido en los dos grupos de divisores que primero hemos encontrado( tanto del de $4$ como del de $9$). Entonces, pues, en el caso de $36$, vemos que hay $(2+1)\cdot (2+1)=3\cdot 3=9$ divisores positivos, como ya hemos visto arriba. Así, por ejemplo, el número total de divisores de $180$, que factorizado es igual a $2^2\cdot 3^2 \cdot 5^1$, tiene éste $(2+1)\cdot (2+1) \cdot (1+1)=18$ divisores positivos.

Nota: Si en lugar de interasarnos sólo por los divisores positivos, quisieramos saber el número total de divisores de dicho número (incluyendo los divisores negativos), bastaría multiplicar por $2$ el resultado obtenido, pues por cada divisor positivo, su opuesto también es divisor del número pedido; así, el número total de divisores de $32$ (teniendo en cuenta los positivos y, también, los negativos) es $9\cdot 2=18$. $\diamond$

Una cuestión sencilla sobre divisibilidad

¿Es $102$ divisible por $6$? Tratemos de responder a esta pregunta sin hacer explícitamente la división entre $6$ (para ver si el resto de la división es o no es igual a cero)

Es claro que $102$ es divisible por $2$, pues su última cifra, que es $2$, es par. Por otro lado, si sumamos todas las cifras de $102$, obtenemos $1+0+2=3$, que, desde luego, es múltiplo de sí mismo, es decir, de $3$, luego $102$ es también múltiplo de $3$. Y como $102$ es múltiplo de $2$ y de $3$, también lo es de $2\cdot 3$, esto es, es múltiplo de $6$.

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Observación: De lo dicho anteriormente podemos extraer una conclusión importante sobre la divisibilidad de un número y sus divisores. Si un cierto número es divisible por $m$ y también por $n$ (no importa si $m$ y $n$ son o no números primos), entonces también es divisible por $m\cdot n$. Por ejemplo, sabemos que $9$ y $4$ son divisores de $180$, luego dicho número también es divisible por $4\cdot 9=36$, lo cual podemos comprobar fácilmente. $\diamond$