Ejercicios de proporcionalidad

[nota del autor]

Un pintor pinta un determinado muro en $2$ horas. Otro pintor pinta el mismo muro en $3$ horas. Si trabajaran juntos, sin estorbarse uno al otro, ¿cuánto tiempo se tardaría en pintar el muro?

ENUNCIADO:
Un pintor pinta un determinado muro en $2$ horas. Otro pintor pinta el mismo muro en $3$ horas. Si trabajaran juntos, sin estorbarse uno al otro, ¿ cuánto tiempo se tardaría en pintar el muro ?

SOLUCIÓN:
El primer pintor pinta $\dfrac{1}{2}$ muro en $1$ hora; y, en la misma hora, el segundo pintor pinta $\dfrac{1}{3}$ del muro. Entonces, si trabajan simultáneamente, pintarán $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$, esto es, $\dfrac{5}{6}$ del muro.

Como la parte pintada es directamente proporcional al tiempo empleado, podemos plantear la siguiente proporción ( en la que $t$ denota e tiempo necesario para emplear todo el muro, es decir $6$ de $6$ partes en el que podemos dividirlo ),
$$\dfrac{t}{6/6}=\dfrac{1}{5/6}$$
despejando la incógnita, obtenemos $t=\dfrac{6}{5}$ horas, es decir $1$ hora y $1/5$ parte de una hora, o lo que es lo mismo, $1$ hora y $12$ minutos. $\square$

Porcentaje de una rebaja

ENUNCIADO:
En unas rebajas, hemos pagado $11$ euros por un artículo cuyo precio ( antes de las rebajas ) era de $14$ euros. ¿Cuál ha sido el tanto por ciento de descuento?

SOLUCIÓN:
Denotemos por $Y$ la magnitud disminución del valor del artículo (el valor original menos la cantidad que pagamos) y por $X$ la magnitud tanto por ciento de descuento. Como existe una relación de proporción directa entre ambas,
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
que, con los datos del problema, podemos escribir así
$$\dfrac{|11-14|}{14}=\dfrac{y_2}{100}$$
Despejando $y_2$, que es el tanto por ciento de descuento pedido, obtenemos
$$y_2=\dfrac{3 \cdot 100}{14}$$
esto es
$$y_2 \approx 21,43\,\%$$
$\square$

Porcentaje de disminución de una cantidad

ENUNCIADO:
El precio de un artículo de consumo era de $3,10$ euros. En la actualidad, es de $2,90$ euros. ¿A qué tanto por ciento corresponde dicha disminución?

SOLUCIÓN:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes: $Y$ disminución del precio del artículo, e $X$ precio base ( precio original ) del artículo,
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
con lo cual, entiendo que la variación del precio del artículo ( que en este caso es negativa ) la podemos dar en valor absoluto,
$$\dfrac{|2,90-3,10|}{3,10}=\dfrac{y_2}{100}$$
de donde, despejando $y_2$, que es el tanto por ciento de disminución, obtenemos $$y_2=\dfrac{0,20 \cdot 100}{3,10} = \dfrac{20}{3,10} \approx 6,45 \%$$

OBSERVACIÓN:
Cuando la variación del precio se repite con cierta periodicidad y con el mismo tanto por ciento de disminución ( o bien de aumento ), se habla de tasa de variación de una cantidad; ésta es positiva si se trata de un aumento o bien es negativa si se trata de una disminución. Observemos que al calcular la variación, en este problema, la hemos dado en valor absoluto, sin embargo, podríamos haberla dado con el signo correspondiente, que sería negativo, pues $2,90-3,10=-0,20$.

Así, es también correcto hablar de una tasa de variación de $-0,0645$ ( expresado en tanto por uno ); sin embargo, al expresarla, en este problema, como un tanto por ciento, se ha preferido prescindir del signo menos ( característico de la disminución ) subrayando, eso sí, que dicho porcentaje corresponde a una disminución.

En el problema anterior, en cambio, al tratarse de un aumento, podemos hablar de una tasa de variación positiva, de $+0,125$ ( en tanto por unidad ).


$\square$

Tanto por ciento de aumento de una cierta cantidad

ENUNCIADO:
El precio de un artículo de consumo era de $2,00$ euros. En la actualidad, es de $2,25$ euros. ¿A qué tanto por ciento corresponde dicho aumento?

SOLUCIÓN:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes: $Y$ aumento del precio del artículo, e $X$ precio base ( precio original ) del artículo,
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
con lo cual
$$\dfrac{2,25-2,00}{2,00}=\dfrac{y_2}{100}$$
de donde, despejando $y_2$, que es el tanto por ciento de aumento, obtenemos $$y_2=\dfrac{0,25 \cdot 100}{2,00} = \dfrac{25}{2}=12,5\,\%$$
$\square$

¿Cuál es el tanto por ciento que corresponde a $12$ unidades de un total de $48$?

ENUNCIADO:
¿Cuál es el tanto por ciento que corresponde a $12$ unidades de un total de $48$?

SOLUCIÓN:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes: $X$ cantidad total, e $Y$ parte del total,
$$\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$
con lo cual
$$\dfrac{12}{48}=\dfrac{y_2}{100}$$
de donde, despejando $y_2$, que es el tanto por ciento pedido, obtenemos $$y_2=\dfrac{12 \cdot 100}{48} = \dfrac{100}{4}=25\,\%$$
$\square$

Ecuaciones de primer grado y resolución de problemas con ayuda del álgebra