ENUNCIADO.
Guillermo tiene un cierto número de bolas: entre $140$ i $150$ bolas. Cuando las coloca en grupos de ocho, le queda una sin agrupar, y lo mismo sucede si las coloca en grupos de 9 y de 12. ¿ Cuál es el número exacto de bolas que tiene ?.
SOLUCIÓN.
El número de bolas tiene que ser igual a un múltiplo común de $8$, $9$ y $12$ más una unidad, para que se cumpla que el resto de las divisiones de dicho número entre los respectivos divisores sea igual a $1$. El múltiplo común más pequeño de $8$, $9$ y $12$ es $\text{m.c.m}(8,9,2)=2^3 \cdot 3^2=72$, que es menor que $140$; si lo multiplicamos por $2$ obtendremos el múltiplo común consecutivo a $72$, que es $144$, que sí esta comprendido entre $140$ i $150$. Por tanto, el número exacto de bolas que tiene Guillermo es igual a $144+1=145$.
$\square$
jueves, 18 de octubre de 2018
Otro ejercicio de divisibilidad
ENUNCIADO. En una biblioteca hay un número de libros comprendido entre $240$ y $250$. Si los apilamos de cinco en cinco, quedan $3$ por apilar; y, si los apilamos de cuatro en cuatro, quedan $2$ por apilar. ¿ Cuál es el número de libros que hay en esa biblioteca ?
SOLUCIÓN. El número más entero positivo más pequeño que cumple las condiciones de los restos es $18$ ( el resto de la división de $18$ entre $5$ es $3$, y el de la división de $18$ entre $4$ es $2$ ); en efecto, probando números consecutivos y organizando los resultados en una tabla:
$\square$
SOLUCIÓN. El número más entero positivo más pequeño que cumple las condiciones de los restos es $18$ ( el resto de la división de $18$ entre $5$ es $3$, y el de la división de $18$ entre $4$ es $2$ ); en efecto, probando números consecutivos y organizando los resultados en una tabla:
n | resto de (n div 5) | resto de ( n div 4 ) ---------------------------------------------------------- 5 | 0 | 1 ---------------------------------------------------------- 6 | 1 | 2 ---------------------------------------------------------- 7 | 2 | 3 ---------------------------------------------------------- 8 | 3 | 0 ---------------------------------------------------------- 9 | 4 | 1 ---------------------------------------------------------- 10 | 0 | 2 ---------------------------------------------------------- 11 | 1 | 3 ---------------------------------------------------------- 12 | 2 | 0 ---------------------------------------------------------- 13 | 3 | 1 ---------------------------------------------------------- 14 | 4 | 2 ---------------------------------------------------------- 15 | 0 | 3 ---------------------------------------------------------- 16 | 1 | 0 ---------------------------------------------------------- 17 | 2 | 1 ---------------------------------------------------------- 18 | 3 | 2 ---------------------------------------------------------- ...Como $18$ es menor que $240$ ( y por supuesto menor que $250$ ) es claro que no es esa la solución al problema, pero sí está relacionada con ese número. Debemos encontrar otro número que sea mayor que $240$ y menor que $250$ que al ser dividido por $5$ y por $4$ también tenga restos $3$ y $2$, respectivamente. El mínimo común múltiplo de $18-3$ y de $18-2$ es $240$, esto es, el resto de las divisiones $240 \div 5$ y $240 \div 4$ es $0$, luego el resto de la división de $240+18$ entre $5$ es $3$, y el resto de la división de $240+18$ entre $4$ es $2$, lo que cumple las condiciones del enunciado. En consecuencia podemos afirmar que en la biblioteca hay exactamente $258$ libros.
$\square$
Un problema de divisibilidad
ENUNCIADO. Los alumnos de una clase se colocan en filas. Si en cada fila hay 3 alumnos, quedan 2 sin colocar. En cambio, si en cada fila se colocan 4 alumnos, solamente queda 1 alumno sin colocar. Se pide:
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?
SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que $4$. Probemos números mayores: veamos si $5$ cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división $5\div 3$ es $2$, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división $5 \div 4$ es $1$, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es $5$.
b) Como el resto de la división $5\div 3$ es $2$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-2) \div 3$ es $0$, y, como el resto de la división $5\div 4$ es $1$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-1) \div 4$ es $0$.
Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que $5$ y menores que $30$ ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por $3$ y por $4$ de los mismos sean respectivamente $2$ y $1$ -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de $3$ y $4$ ( que es $12$ ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.
Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de $12$ entre $3$ es $0$ y el resto de la división $12$ entre $4$ es $0$, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser $2$ y $1$, y no $0$; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente $12+5$ y $12\cdot 2 +5$, es decir, $17$ y $29$ ( los múltiplos de $12$ más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de $30$ alumnos, sería $12 \cdot 3 +5 = 41$].
Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, $17$ y $29$ ( menores que $30$ ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de $17$ entre $3$ es $2$, y el resto de la división de $29$ entre $4$ es $1$.
$\square$
a) El número mínimo de alumnos que podría tener esa clase
b) ¿ Es posible encontrar otros números de alumnos -- además del que se pide en el apartado anterior -- que podrían formar esa clase ?
SOLUCIÓN.
a) Es claro que el número pedido tiene que ser mayor que $4$. Probemos números mayores: veamos si $5$ cumple las condiciones. En efecto, el resto de la división $5\div 3$ es $2$, lo que está de acuerdo con la primera condición, y, el resto de la división $5 \div 4$ es $1$, luego también se cumple la segunda. Así, pues, el número mínimo de alumnos que podrían formar esa clase es $5$.
b) Como el resto de la división $5\div 3$ es $2$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-2) \div 3$ es $0$, y, como el resto de la división $5\div 4$ es $1$, entonces es evidente que el resto de la división $(5-1) \div 4$ es $0$.
Por consiguiente, los números pedidos de alumnos ( mayores que $5$ y menores que $30$ ) que también podrían formar esa clase -- recordemos que han de ser tales que el resto de las divisiones por $3$ y por $4$ de los mismos sean respectivamente $2$ y $1$ -- los hallaremos calculando, como paso previo, el mínimo común múltiplo de $3$ y $4$ ( que es $12$ ), pues algo tendrá que ver con él la solución del problema. Así que no hemos terminado todavía.
Debemos darnos cuenta ahora de que el resto de la división de $12$ entre $3$ es $0$ y el resto de la división $12$ entre $4$ es $0$, mientras que los restos de las divisiones con los números que buscamos han de ser $2$ y $1$, y no $0$; entonces, los números que buscamos tendrán que ser necesariamente $12+5$ y $12\cdot 2 +5$, es decir, $17$ y $29$ ( los múltiplos de $12$ más cinco unidades ), para que se satisfagan las condiciones de los restos ) [El siguiente número posible, si la clase tuviese más de $30$ alumnos, sería $12 \cdot 3 +5 = 41$].
Comprobación del resultado. Estos números que acabamos de encontrar, $17$ y $29$ ( menores que $30$ ), también cumplen las dos condiciones del enunciado: el resto de la división de $17$ entre $3$ es $2$, y el resto de la división de $29$ entre $4$ es $1$.
$\square$
jueves, 4 de octubre de 2018
Reglas de los signos para la multiplicación de números enteros
Consideremos $m$ y $n$ dos números enteros positivos cualesquiera.
Entonces, por la definición del opuesto de un número entero, se tiene que $-m\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(m)\prec 0$ y $-n\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(n)\prec 0$. Entonces, podemos decir que:
P1.
$m \cdot n \succ 0$
P2.
$(-m) \cdot n = (-1 \cdot m)\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot n) = - (m\cdot n) = \text{opuesto}(m \cdot n) \prec 0 $
y, por lo mismo, $m \cdot (-n) \prec 0$
Nota: otra forma de demostrar que $(-m) \cdot n \succ 0$ es la siguiente, como $(-m) \cdot n=(-m)+(-m)+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(-m)\prec 0$ y, de la misma manera, $m \cdot (-n) \succ 0$ puesto que $m \cdot (-n)=(-n)+(-n)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-n)\prec 0$
P3.
$(-m) \cdot (-n) = (-1 \cdot m)\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot (-n)) =$
$= - (m\cdot (-n) \overset{\text{P2}}{=} \text{opuesto}(m \cdot (-n)) \succ 0 $
$\square$
Observación 1: Se ha omitido el que $m$ o $n$ sean $0$, pues en tal caso, $m\cdot n = (-m)\cdot n = (-m)\cdot (-n)=0$
Observación 2: Es fácil ver que estas reglas de los signos para la multiplicación son también válidas para la división
$\square$
Entonces, por la definición del opuesto de un número entero, se tiene que $-m\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(m)\prec 0$ y $-n\overset{\text{def}}{=}\text{opuesto}(n)\prec 0$. Entonces, podemos decir que:
P1.
$m \cdot n \succ 0$
P2.
$(-m) \cdot n = (-1 \cdot m)\cdot n \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot n) = - (m\cdot n) = \text{opuesto}(m \cdot n) \prec 0 $
y, por lo mismo, $m \cdot (-n) \prec 0$
Nota: otra forma de demostrar que $(-m) \cdot n \succ 0$ es la siguiente, como $(-m) \cdot n=(-m)+(-m)+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(-m)\prec 0$ y, de la misma manera, $m \cdot (-n) \succ 0$ puesto que $m \cdot (-n)=(-n)+(-n)+\overset{\underbrace{m}}{\ldots}+(-n)\prec 0$
P3.
$(-m) \cdot (-n) = (-1 \cdot m)\cdot (-n) \overset{\text{asociativa}}{=} (-1) \cdot (m\cdot (-n)) =$
$= - (m\cdot (-n) \overset{\text{P2}}{=} \text{opuesto}(m \cdot (-n)) \succ 0 $
$\square$
Observación 1: Se ha omitido el que $m$ o $n$ sean $0$, pues en tal caso, $m\cdot n = (-m)\cdot n = (-m)\cdot (-n)=0$
Observación 2: Es fácil ver que estas reglas de los signos para la multiplicación son también válidas para la división
$\square$
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