Encontrando divisores de un número natural

ENUNCIADO. Encontrar los divisores de $60$

SOLUCIÓN. Vamos a encontrarlos. Descomponiendo $60$ en factores primos, $$60=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$$ que podemos expresar de la forma $$60=2^2\cdot 3 \cdot 5 $$ Entonces, los divisores de $2^2=4$, que son $1,2$ y $4$, son también divisores de $60$; además de $3$ y $5$. Pero hay más: los números que se obtienen de la multiplicación de cada uno de los divisores de $4$ por $3$, también han de ser divisores de $60$, éstos son $3\cdot 2=6$ y $3\cdot 4=12$. Y también lo son los números que resultan de la multiplicación de los divisores de $4$ por $5$, esto es $2\cdot 5=10$ y $4\cdot 5=20$; además del resultado del producto de los divisores $3$ y $5$, que es $15$, y de, por supuesto, el propio $60$.

En resumen, los números naturales divisores de $60$ son los números que forman el siguiente conjunto $$\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$$ $\square$

Ejercicio para encontrar los divisores de un número natural

ENUNCIADO. Encontrar los divisores de $30$

SOLUCIÓN. Desde luego, $1$ y el propio $30$ son divisores de $30$, pero naturalmente, hay más. Vamos a encontrarlos. Descomponiendo $30$ en factores primos, $$30=2 \cdot 3 \cdot 5$$ Entonces, $2$, $3$ y $5$ son divisores de $30$, pero también lo son los productos que resultan de combinarse éstos entre sí, esto es, $$2\cdot 3=6$$ $$2 \cdot 5=10$$ $$3 \cdot 5=15$$ y $$2 \cdot 3 \cdot 5=30$$ que ya hemos mencionado al principio. En resumen, los números naturales divisores de $30$ son los números que forman el siguiente conjunto $$\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$$ $\square$

L'enigma de la làmpada i els tres interruptors

Enunciat: En una habitació hi ha una làmpada. La porta de l'habitació està tancada i no té finestres. A l'exterior, hi ha tres interruptors en la posició d'apagat. Només un dels tres encén i apaga la bombeta; els altres són falsos. Podem accionar els interruptors, canviant-los de la posició d'apagat a encès i viceversa tantes vegades com vulguem. Com podem determinar quin dels tres interruptors és el bo obrint una sola vegada l'habitació ?. Aclariments: No s'hi val a mirar per sota la porta, ni mirar el comptador elèctric per veure quan corre més o menys ràpid. Com ja s'ha explicat, només podem obrir l'habitació una sola vegada i, a partir del que observem, caldrà seguir un raonament deductiu que ens porti a determinar quin és l'interruptor vertader. Solució: Posem un dels tres interruptors (qualsevol dels tres) en posició d'encesa i el deixem així l'estona suficient perquè s'escalfi la bombeta de la làmpada. Tot seguit, el tornem a deixar en posició d'apagat. A continuació, posem en posició d'encès un dels altres dos interruptors (qualsevol dels altres dos) i, deixant-lo en aquesta posició (d'encesa), obrim l'habitació. Si la bombeta està encesa, és evident que l'interruptor que acabem d'accionar (i que està en posició d'encesa) és el bo; si la bombeta està apagada ens hi aproparem i la tocarem: si està calenta, l'interruptor bo és el primer que hem accionat en la posició d'encesa durant una estona, en cas contrari, l'interruptor vertader és el que encara no havíem escollit per fer la prova. $\square$